Theorem cphnmcl 24644

Description: The norm of a vector is a member of the scalar field in a subcomplex pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmsq.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
nmsq.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
nmsq.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
cphnmcl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
cphnmcl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cphnmcl	⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem cphnmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmsq.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		nmsq.h	. . 3 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
3		nmsq.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝑊)
4		cphnmcl.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		cphnmcl.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
6	1, 2, 3, 4, 5	cphnmf 24643	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑁:𝑉⟶𝐾)
7	6	ffvelcdmda 7072	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6533  Basecbs 17128  Scalarcsca 17184  ·_𝑖cip 17186  normcnm 24016  ℂPreHilccph 24614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171  ax-pre-sup 11172  ax-addf 11173  ax-mulf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-tpos 8195  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-er 8688  df-map 8807  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-sup 9421  df-inf 9422  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-div 11856  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-4 12261  df-5 12262  df-6 12263  df-7 12264  df-8 12265  df-9 12266  df-n0 12457  df-z 12543  df-dec 12662  df-uz 12807  df-q 12917  df-rp 12959  df-xneg 13076  df-xadd 13077  df-xmul 13078  df-ico 13314  df-fz 13469  df-seq 13951  df-exp 14012  df-cj 15030  df-re 15031  df-im 15032  df-sqrt 15166  df-abs 15167  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17129  df-ress 17158  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-0g 17371  df-topgen 17373  df-mgm 18545  df-sgrp 18594  df-mnd 18605  df-grp 18799  df-subg 18977  df-ghm 19058  df-cmn 19616  df-mgp 19949  df-ur 19966  df-ring 20018  df-cring 20019  df-oppr 20104  df-dvdsr 20125  df-unit 20126  df-drng 20269  df-subrg 20312  df-lmhm 20584  df-lvec 20665  df-sra 20736  df-rgmod 20737  df-psmet 20872  df-xmet 20873  df-met 20874  df-bl 20875  df-mopn 20876  df-cnfld 20881  df-phl 21114  df-top 22327  df-topon 22344  df-topsp 22366  df-bases 22380  df-xms 23757  df-ms 23758  df-nm 24022  df-ngp 24023  df-nlm 24026  df-cph 24616

This theorem is referenced by:  4cphipval2  24690