Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  djhj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djhj 40769
Description: DVecH vector space closed subspace join in terms of lattice join. (Contributed by NM, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
djhj.k ∨ = (joinβ€˜πΎ)
djhj.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
djhj.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
djhj.j 𝐽 = ((joinHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
djhj.w (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
djhj.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝐼)
djhj.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ran 𝐼)
Assertion
Ref Expression
djhj (πœ‘ β†’ (β—‘πΌβ€˜(π‘‹π½π‘Œ)) = ((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∨ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ)))

Proof of Theorem djhj
StepHypRef Expression
1 djhj.k . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2 djhj.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 djhj.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 djhj.j . . . 4 𝐽 = ((joinHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 djhj.w . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
6 djhj.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝐼)
7 djhj.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ran 𝐼)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7djhjlj 40768 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘‹π½π‘Œ) = (πΌβ€˜((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∨ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ))))
98fveq2d 6886 . 2 (πœ‘ β†’ (β—‘πΌβ€˜(π‘‹π½π‘Œ)) = (β—‘πΌβ€˜(πΌβ€˜((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∨ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ)))))
105simpld 494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
1110hllatd 38728 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
12 eqid 2724 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
1312, 2, 3dihcnvcl 40636 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
145, 6, 13syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1512, 2, 3dihcnvcl 40636 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
165, 7, 15syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1712, 1latjcl 18396 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∨ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1811, 14, 16, 17syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∨ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1912, 2, 3dihcnvid1 40637 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∨ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (β—‘πΌβ€˜(πΌβ€˜((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∨ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ)))) = ((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∨ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ)))
205, 18, 19syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (β—‘πΌβ€˜(πΌβ€˜((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∨ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ)))) = ((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∨ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ)))
219, 20eqtrd 2764 1 (πœ‘ β†’ (β—‘πΌβ€˜(π‘‹π½π‘Œ)) = ((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∨ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β—‘ccnv 5666  ran crn 5668  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17145  joincjn 18268  Latclat 18388  HLchlt 38714  LHypclh 39349  DIsoHcdih 40593  joinHcdjh 40759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-riotaBAD 38317
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-0g 17388  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19042  df-cntz 19225  df-lsm 19548  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-rng 20050  df-ur 20079  df-ring 20132  df-oppr 20228  df-dvdsr 20251  df-unit 20252  df-invr 20282  df-dvr 20295  df-drng 20581  df-lmod 20700  df-lss 20771  df-lsp 20811  df-lvec 20943  df-lsatoms 38340  df-oposet 38540  df-ol 38542  df-oml 38543  df-covers 38630  df-ats 38631  df-atl 38662  df-cvlat 38686  df-hlat 38715  df-llines 38863  df-lplanes 38864  df-lvols 38865  df-lines 38866  df-psubsp 38868  df-pmap 38869  df-padd 39161  df-lhyp 39353  df-laut 39354  df-ldil 39469  df-ltrn 39470  df-trl 39524  df-tendo 40120  df-edring 40122  df-disoa 40394  df-dvech 40444  df-dib 40504  df-dic 40538  df-dih 40594  df-doch 40713  df-djh 40760
This theorem is referenced by:  djhcvat42  40780
  Copyright terms: Public domain W3C validator