Theorem dochkrshp2 39056

Description: Properties of the closure of the kernel of a functional. (Contributed by NM, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochkrshp2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochkrshp2.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochkrshp2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochkrshp2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochkrshp2.y	⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
dochkrshp2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochkrshp2.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochkrshp2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochkrshp2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dochkrshp2	⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ↔ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺) ∧ (𝐿‘𝐺) ∈ 𝑌)))

Proof of Theorem dochkrshp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochkrshp2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dochkrshp2.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochkrshp2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochkrshp2.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		dochkrshp2.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
6		dochkrshp2.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7		dochkrshp2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8		dochkrshp2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		dochkrshp2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	dochkrshp 39055	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∈ 𝑌))
11	1, 2, 3, 6, 5, 7, 8, 9	dochlkr 39054	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∈ 𝑌 ↔ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺) ∧ (𝐿‘𝐺) ∈ 𝑌)))
12	10, 11	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ↔ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺) ∧ (𝐿‘𝐺) ∈ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2935  ‘cfv 6349  Basecbs 16598  LSHypclsh 36644  LFnlclfn 36726  LKerclk 36754  HLchlt 37019  LHypclh 37653  DVecHcdvh 38747  ocHcoch 39016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-riotaBAD 36622

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-tpos 7933  df-undef 7980  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-er 8332  df-map 8451  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-4 11793  df-5 11794  df-6 11795  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337  df-fz 12994  df-struct 16600  df-ndx 16601  df-slot 16602  df-base 16604  df-sets 16605  df-ress 16606  df-plusg 16693  df-mulr 16694  df-sca 16696  df-vsca 16697  df-0g 16830  df-proset 17666  df-poset 17684  df-plt 17696  df-lub 17712  df-glb 17713  df-join 17714  df-meet 17715  df-p0 17777  df-p1 17778  df-lat 17784  df-clat 17846  df-mgm 17980  df-sgrp 18029  df-mnd 18040  df-submnd 18085  df-grp 18234  df-minusg 18235  df-sbg 18236  df-subg 18406  df-cntz 18577  df-lsm 18891  df-cmn 19038  df-abl 19039  df-mgp 19371  df-ur 19383  df-ring 19430  df-oppr 19507  df-dvdsr 19525  df-unit 19526  df-invr 19556  df-dvr 19567  df-drng 19635  df-lmod 19767  df-lss 19835  df-lsp 19875  df-lvec 20006  df-lsatoms 36645  df-lshyp 36646  df-lfl 36727  df-lkr 36755  df-oposet 36845  df-ol 36847  df-oml 36848  df-covers 36935  df-ats 36936  df-atl 36967  df-cvlat 36991  df-hlat 37020  df-llines 37167  df-lplanes 37168  df-lvols 37169  df-lines 37170  df-psubsp 37172  df-pmap 37173  df-padd 37465  df-lhyp 37657  df-laut 37658  df-ldil 37773  df-ltrn 37774  df-trl 37828  df-tendo 38424  df-edring 38426  df-disoa 38698  df-dvech 38748  df-dib 38808  df-dic 38842  df-dih 38898  df-doch 39017

This theorem is referenced by:  dochkrshp3  39057