Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochsordN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochsordN 37333
Description: Strict ordering law for orthocomplement. (Contributed by NM, 12-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
doch11.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
doch11.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
doch11.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
doch11.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
doch11.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝐼)
doch11.y (𝜑𝑌 ∈ ran 𝐼)
Assertion
Ref Expression
dochsordN (𝜑 → (𝑋𝑌 ↔ ( 𝑌) ⊊ ( 𝑋)))

Proof of Theorem dochsordN
StepHypRef Expression
1 doch11.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 doch11.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
3 doch11.o . . . 4 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4 doch11.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
5 doch11.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝐼)
6 doch11.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ran 𝐼)
71, 2, 3, 4, 5, 6dochord 37329 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑌 ↔ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)))
81, 2, 3, 4, 6, 5doch11 37332 . . . . 5 (𝜑 → (( 𝑌) = ( 𝑋) ↔ 𝑌 = 𝑋))
9 eqcom 2772 . . . . 5 (𝑌 = 𝑋𝑋 = 𝑌)
108, 9syl6rbb 279 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ↔ ( 𝑌) = ( 𝑋)))
1110necon3bid 2981 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑌 ↔ ( 𝑌) ≠ ( 𝑋)))
127, 11anbi12d 624 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝑌𝑋𝑌) ↔ (( 𝑌) ⊆ ( 𝑋) ∧ ( 𝑌) ≠ ( 𝑋))))
13 df-pss 3750 . 2 (𝑋𝑌 ↔ (𝑋𝑌𝑋𝑌))
14 df-pss 3750 . 2 (( 𝑌) ⊊ ( 𝑋) ↔ (( 𝑌) ⊆ ( 𝑋) ∧ ( 𝑌) ≠ ( 𝑋)))
1512, 13, 143bitr4g 305 1 (𝜑 → (𝑋𝑌 ↔ ( 𝑌) ⊊ ( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wss 3734  wpss 3735  ran crn 5280  cfv 6070  HLchlt 35309  LHypclh 35943  DIsoHcdih 37187  ocHcoch 37306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-riotaBAD 34912
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-tpos 7557  df-undef 7604  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-oadd 7770  df-er 7949  df-map 8064  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-5 11340  df-6 11341  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-fz 12537  df-struct 16135  df-ndx 16136  df-slot 16137  df-base 16139  df-sets 16140  df-ress 16141  df-plusg 16230  df-mulr 16231  df-sca 16233  df-vsca 16234  df-0g 16371  df-proset 17197  df-poset 17215  df-plt 17227  df-lub 17243  df-glb 17244  df-join 17245  df-meet 17246  df-p0 17308  df-p1 17309  df-lat 17315  df-clat 17377  df-mgm 17511  df-sgrp 17553  df-mnd 17564  df-submnd 17605  df-grp 17695  df-minusg 17696  df-sbg 17697  df-subg 17858  df-cntz 18016  df-lsm 18318  df-cmn 18464  df-abl 18465  df-mgp 18760  df-ur 18772  df-ring 18819  df-oppr 18893  df-dvdsr 18911  df-unit 18912  df-invr 18942  df-dvr 18953  df-drng 19021  df-lmod 19137  df-lss 19205  df-lsp 19247  df-lvec 19378  df-oposet 35135  df-ol 35137  df-oml 35138  df-covers 35225  df-ats 35226  df-atl 35257  df-cvlat 35281  df-hlat 35310  df-llines 35457  df-lplanes 35458  df-lvols 35459  df-lines 35460  df-psubsp 35462  df-pmap 35463  df-padd 35755  df-lhyp 35947  df-laut 35948  df-ldil 36063  df-ltrn 36064  df-trl 36118  df-tendo 36714  df-edring 36716  df-disoa 36988  df-dvech 37038  df-dib 37098  df-dic 37132  df-dih 37188  df-doch 37307
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator