Theorem dochsordN 40701

Description: Strict ordering law for orthocomplement. (Contributed by NM, 12-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
doch11.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
doch11.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
doch11.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
doch11.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
doch11.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
doch11.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dochsordN	⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊊ 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌) ⊊ ( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem dochsordN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		doch11.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		doch11.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
3		doch11.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		doch11.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5		doch11.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
6		doch11.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dochord 40697	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊆ 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)))
8	1, 2, 3, 4, 6, 5	doch11 40700	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘𝑌) = ( ⊥ ‘𝑋) ↔ 𝑌 = 𝑋))
9		eqcom 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑌 = 𝑋 ↔ 𝑋 = 𝑌)
10	8, 9	bitr2di 288	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌) = ( ⊥ ‘𝑋)))
11	10	necon3bid 2977	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ≠ 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌) ≠ ( ⊥ ‘𝑋)))
12	7, 11	anbi12d 630	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) ↔ (( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ≠ ( ⊥ ‘𝑋))))
13		df-pss 3959	. 2 ⊢ (𝑋 ⊊ 𝑌 ↔ (𝑋 ⊆ 𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
14		df-pss 3959	. 2 ⊢ (( ⊥ ‘𝑌) ⊊ ( ⊥ ‘𝑋) ↔ (( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋) ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ≠ ( ⊥ ‘𝑋)))
15	12, 13, 14	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊊ 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌) ⊊ ( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932   ⊆ wss 3940   ⊊ wpss 3941  ran crn 5667  ‘cfv 6533  HLchlt 38676  LHypclh 39311  DIsoHcdih 40555  ocHcoch 40674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-riotaBAD 38279

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-0g 17385  df-proset 18249  df-poset 18267  df-plt 18284  df-lub 18300  df-glb 18301  df-join 18302  df-meet 18303  df-p0 18379  df-p1 18380  df-lat 18386  df-clat 18453  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-submnd 18703  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20578  df-lmod 20697  df-lss 20768  df-lsp 20808  df-lvec 20940  df-oposet 38502  df-ol 38504  df-oml 38505  df-covers 38592  df-ats 38593  df-atl 38624  df-cvlat 38648  df-hlat 38677  df-llines 38825  df-lplanes 38826  df-lvols 38827  df-lines 38828  df-psubsp 38830  df-pmap 38831  df-padd 39123  df-lhyp 39315  df-laut 39316  df-ldil 39431  df-ltrn 39432  df-trl 39486  df-tendo 40082  df-edring 40084  df-disoa 40356  df-dvech 40406  df-dib 40466  df-dic 40500  df-dih 40556  df-doch 40675

This theorem is referenced by: (None)