Theorem dochn0nv 41999

Description: An orthocomplement is nonzero iff the double orthocomplement is not the whole vector space. (Contributed by NM, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochn0nv.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochn0nv.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochn0nv.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochn0nv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochn0nv.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochn0nv.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochn0nv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dochn0nv	⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘𝑋) ≠ { 0 } ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑉))

Proof of Theorem dochn0nv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochn0nv.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dochn0nv.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
3		dochn0nv.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
5		dochn0nv.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		dochn0nv.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		dochn0nv.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
8	3, 4, 5, 6, 7	dochcl 41977	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
9	1, 2, 8	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
10	3, 4, 7	dochoc 41991	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑋))
11	1, 9, 10	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑋))
12		dochn0nv.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
13	3, 5, 7, 6, 12	doch1 41983	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑉) = { 0 })
14	1, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑉) = { 0 })
15	11, 14	eqeq12d 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑉) ↔ ( ⊥ ‘𝑋) = { 0 }))
16	3, 5, 6, 7	dochssv 41979	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
17	1, 2, 16	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
18	3, 4, 5, 6, 7	dochcl 41977	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
19	1, 17, 18	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
20	3, 4, 5, 6	dih1rn 41911	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
21	1, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
22	3, 4, 7, 1, 19, 21	doch11 41997	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑉) ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉))
23	15, 22	bitr3d 283	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘𝑋) = { 0 } ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉))
24	23	necon3bid 3001	1 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘𝑋) ≠ { 0 } ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3904  {csn 4582  ran crn 5648  ‘cfv 6521  Basecbs 17245  0_gc0g 17468  HLchlt 39974  LHypclh 40608  DVecHcdvh 41702  DIsoHcdih 41852  ocHcoch 41971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-riotaBAD 39577

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-0g 17470  df-proset 18326  df-poset 18345  df-plt 18360  df-lub 18376  df-glb 18377  df-join 18378  df-meet 18379  df-p0 18455  df-p1 18456  df-lat 18464  df-clat 18531  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-subg 19165  df-cntz 19357  df-lsm 19676  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-ring 20285  df-oppr 20386  df-dvdsr 20406  df-unit 20407  df-invr 20437  df-dvr 20450  df-drng 20781  df-lmod 20929  df-lss 20999  df-lsp 21039  df-lvec 21170  df-oposet 39800  df-ol 39802  df-oml 39803  df-covers 39890  df-ats 39891  df-atl 39922  df-cvlat 39946  df-hlat 39975  df-llines 40122  df-lplanes 40123  df-lvols 40124  df-lines 40125  df-psubsp 40127  df-pmap 40128  df-padd 40420  df-lhyp 40612  df-laut 40613  df-ldil 40728  df-ltrn 40729  df-trl 40783  df-tendo 41379  df-edring 41381  df-disoa 41653  df-dvech 41703  df-dib 41763  df-dic 41797  df-dih 41853  df-doch 41972

This theorem is referenced by:  dochsnnz  42074  dochsatshpb  42076  dochkrsat  42079  dochkrsat2  42080  dochsnkrlem1  42093