Theorem dochn0nv 41352

Description: An orthocomplement is nonzero iff the double orthocomplement is not the whole vector space. (Contributed by NM, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochn0nv.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochn0nv.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochn0nv.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochn0nv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochn0nv.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochn0nv.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochn0nv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dochn0nv	⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘𝑋) ≠ { 0 } ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑉))

Proof of Theorem dochn0nv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochn0nv.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dochn0nv.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
3		dochn0nv.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
5		dochn0nv.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		dochn0nv.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		dochn0nv.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
8	3, 4, 5, 6, 7	dochcl 41330	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
9	1, 2, 8	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
10	3, 4, 7	dochoc 41344	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑋))
11	1, 9, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑋))
12		dochn0nv.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
13	3, 5, 7, 6, 12	doch1 41336	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑉) = { 0 })
14	1, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑉) = { 0 })
15	11, 14	eqeq12d 2750	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑉) ↔ ( ⊥ ‘𝑋) = { 0 }))
16	3, 5, 6, 7	dochssv 41332	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
17	1, 2, 16	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
18	3, 4, 5, 6, 7	dochcl 41330	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
19	1, 17, 18	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
20	3, 4, 5, 6	dih1rn 41264	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
21	1, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
22	3, 4, 7, 1, 19, 21	doch11 41350	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑉) ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉))
23	15, 22	bitr3d 281	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘𝑋) = { 0 } ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉))
24	23	necon3bid 2975	1 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘𝑋) ≠ { 0 } ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   ⊆ wss 3931  {csn 4606  ran crn 5666  ‘cfv 6541  Basecbs 17230  0_gc0g 17456  HLchlt 39326  LHypclh 39961  DVecHcdvh 41055  DIsoHcdih 41205  ocHcoch 41324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-riotaBAD 38929

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-tpos 8233  df-undef 8280  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13530  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17254  df-plusg 17287  df-mulr 17288  df-sca 17290  df-vsca 17291  df-0g 17458  df-proset 18311  df-poset 18330  df-plt 18345  df-lub 18361  df-glb 18362  df-join 18363  df-meet 18364  df-p0 18440  df-p1 18441  df-lat 18447  df-clat 18514  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-subg 19111  df-cntz 19305  df-lsm 19623  df-cmn 19769  df-abl 19770  df-mgp 20107  df-rng 20119  df-ur 20148  df-ring 20201  df-oppr 20303  df-dvdsr 20326  df-unit 20327  df-invr 20357  df-dvr 20370  df-drng 20700  df-lmod 20829  df-lss 20899  df-lsp 20939  df-lvec 21071  df-oposet 39152  df-ol 39154  df-oml 39155  df-covers 39242  df-ats 39243  df-atl 39274  df-cvlat 39298  df-hlat 39327  df-llines 39475  df-lplanes 39476  df-lvols 39477  df-lines 39478  df-psubsp 39480  df-pmap 39481  df-padd 39773  df-lhyp 39965  df-laut 39966  df-ldil 40081  df-ltrn 40082  df-trl 40136  df-tendo 40732  df-edring 40734  df-disoa 41006  df-dvech 41056  df-dib 41116  df-dic 41150  df-dih 41206  df-doch 41325

This theorem is referenced by:  dochsnnz  41427  dochsatshpb  41429  dochkrsat  41432  dochkrsat2  41433  dochsnkrlem1  41446