Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochn0nv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochn0nv 38551
 Description: An orthocomplement is nonzero iff the double orthocomplement is not the whole vector space. (Contributed by NM, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochn0nv.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochn0nv.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochn0nv.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochn0nv.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochn0nv.z 0 = (0g𝑈)
dochn0nv.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dochn0nv.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
dochn0nv (𝜑 → (( 𝑋) ≠ { 0 } ↔ ( ‘( 𝑋)) ≠ 𝑉))

Proof of Theorem dochn0nv
StepHypRef Expression
1 dochn0nv.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dochn0nv.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
3 dochn0nv.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 eqid 2821 . . . . . . 7 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
5 dochn0nv.u . . . . . . 7 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 dochn0nv.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑈)
7 dochn0nv.o . . . . . . 7 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
83, 4, 5, 6, 7dochcl 38529 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ( 𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
91, 2, 8syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ( 𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
103, 4, 7dochoc 38543 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ‘( ‘( 𝑋))) = ( 𝑋))
111, 9, 10syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ( ‘( ‘( 𝑋))) = ( 𝑋))
12 dochn0nv.z . . . . . 6 0 = (0g𝑈)
133, 5, 7, 6, 12doch1 38535 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( 𝑉) = { 0 })
141, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → ( 𝑉) = { 0 })
1511, 14eqeq12d 2837 . . 3 (𝜑 → (( ‘( ‘( 𝑋))) = ( 𝑉) ↔ ( 𝑋) = { 0 }))
163, 5, 6, 7dochssv 38531 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ( 𝑋) ⊆ 𝑉)
171, 2, 16syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ( 𝑋) ⊆ 𝑉)
183, 4, 5, 6, 7dochcl 38529 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑋) ⊆ 𝑉) → ( ‘( 𝑋)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
191, 17, 18syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ( ‘( 𝑋)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
203, 4, 5, 6dih1rn 38463 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
211, 20syl 17 . . . 4 (𝜑𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
223, 4, 7, 1, 19, 21doch11 38549 . . 3 (𝜑 → (( ‘( ‘( 𝑋))) = ( 𝑉) ↔ ( ‘( 𝑋)) = 𝑉))
2315, 22bitr3d 284 . 2 (𝜑 → (( 𝑋) = { 0 } ↔ ( ‘( 𝑋)) = 𝑉))
2423necon3bid 3051 1 (𝜑 → (( 𝑋) ≠ { 0 } ↔ ( ‘( 𝑋)) ≠ 𝑉))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007   ⊆ wss 3910  {csn 4540  ran crn 5529  ‘cfv 6328  Basecbs 16461  0gc0g 16691  HLchlt 36526  LHypclh 37160  DVecHcdvh 38254  DIsoHcdih 38404  ocHcoch 38523 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-riotaBAD 36129 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-tpos 7867  df-undef 7914  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-sca 16559  df-vsca 16560  df-0g 16693  df-proset 17516  df-poset 17534  df-plt 17546  df-lub 17562  df-glb 17563  df-join 17564  df-meet 17565  df-p0 17627  df-p1 17628  df-lat 17634  df-clat 17696  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-submnd 17935  df-grp 18084  df-minusg 18085  df-sbg 18086  df-subg 18254  df-cntz 18425  df-lsm 18739  df-cmn 18886  df-abl 18887  df-mgp 19218  df-ur 19230  df-ring 19277  df-oppr 19351  df-dvdsr 19369  df-unit 19370  df-invr 19400  df-dvr 19411  df-drng 19479  df-lmod 19611  df-lss 19679  df-lsp 19719  df-lvec 19850  df-oposet 36352  df-ol 36354  df-oml 36355  df-covers 36442  df-ats 36443  df-atl 36474  df-cvlat 36498  df-hlat 36527  df-llines 36674  df-lplanes 36675  df-lvols 36676  df-lines 36677  df-psubsp 36679  df-pmap 36680  df-padd 36972  df-lhyp 37164  df-laut 37165  df-ldil 37280  df-ltrn 37281  df-trl 37335  df-tendo 37931  df-edring 37933  df-disoa 38205  df-dvech 38255  df-dib 38315  df-dic 38349  df-dih 38405  df-doch 38524 This theorem is referenced by:  dochsnnz  38626  dochsatshpb  38628  dochkrsat  38631  dochkrsat2  38632  dochsnkrlem1  38645
 Copyright terms: Public domain W3C validator