Theorem dochn0nv 41422

Description: An orthocomplement is nonzero iff the double orthocomplement is not the whole vector space. (Contributed by NM, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochn0nv.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochn0nv.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochn0nv.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochn0nv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochn0nv.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochn0nv.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochn0nv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dochn0nv	⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘𝑋) ≠ { 0 } ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑉))

Proof of Theorem dochn0nv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochn0nv.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dochn0nv.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
3		dochn0nv.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
5		dochn0nv.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		dochn0nv.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7		dochn0nv.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
8	3, 4, 5, 6, 7	dochcl 41400	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
9	1, 2, 8	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
10	3, 4, 7	dochoc 41414	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑋))
11	1, 9, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑋))
12		dochn0nv.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
13	3, 5, 7, 6, 12	doch1 41406	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑉) = { 0 })
14	1, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑉) = { 0 })
15	11, 14	eqeq12d 2747	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑉) ↔ ( ⊥ ‘𝑋) = { 0 }))
16	3, 5, 6, 7	dochssv 41402	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
17	1, 2, 16	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
18	3, 4, 5, 6, 7	dochcl 41400	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
19	1, 17, 18	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
20	3, 4, 5, 6	dih1rn 41334	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
21	1, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
22	3, 4, 7, 1, 19, 21	doch11 41420	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑉) ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉))
23	15, 22	bitr3d 281	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘𝑋) = { 0 } ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉))
24	23	necon3bid 2972	1 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘𝑋) ≠ { 0 } ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ≠ 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ⊆ wss 3897  {csn 4573  ran crn 5615  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  0_gc0g 17343  HLchlt 39397  LHypclh 40031  DVecHcdvh 41125  DIsoHcdih 41275  ocHcoch 41394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-riotaBAD 39000

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-undef 8203  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-0g 17345  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-clat 18405  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-subg 19036  df-cntz 19229  df-lsm 19548  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-invr 20306  df-dvr 20319  df-drng 20646  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-lsp 20905  df-lvec 21037  df-oposet 39223  df-ol 39225  df-oml 39226  df-covers 39313  df-ats 39314  df-atl 39345  df-cvlat 39369  df-hlat 39398  df-llines 39545  df-lplanes 39546  df-lvols 39547  df-lines 39548  df-psubsp 39550  df-pmap 39551  df-padd 39843  df-lhyp 40035  df-laut 40036  df-ldil 40151  df-ltrn 40152  df-trl 40206  df-tendo 40802  df-edring 40804  df-disoa 41076  df-dvech 41126  df-dib 41186  df-dic 41220  df-dih 41276  df-doch 41395

This theorem is referenced by:  dochsnnz  41497  dochsatshpb  41499  dochkrsat  41502  dochkrsat2  41503  dochsnkrlem1  41516