Theorem dochord 42347

Description: Ordering law for orthocomplement. (Contributed by NM, 12-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
doch11.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
doch11.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
doch11.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
doch11.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
doch11.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
doch11.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dochord	⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊆ 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem dochord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		doch11.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		doch11.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
4		doch11.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		doch11.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
8	4, 5, 6, 7	dihrnss 42255	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → 𝑌 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
9	1, 3, 8	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
10	9	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑌 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
11		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝑌)
12		doch11.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
13	4, 5, 7, 12	dochss 42342	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
14	2, 10, 11, 13	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
15	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		doch11.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
17	4, 5, 6, 7	dihrnss 42255	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
18	1, 16, 17	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
19	4, 6, 5, 7, 12	dochcl 42330	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
20	1, 18, 19	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
21	4, 5, 6, 7	dihrnss 42255	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
22	1, 20, 21	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
23	22	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
24		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
25	4, 5, 7, 12	dochss 42342	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
26	15, 23, 24, 25	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
27	4, 6, 12	dochoc 42344	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
28	1, 16, 27	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
29	28	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
30	4, 6, 12	dochoc 42344	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
31	1, 3, 30	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
32	31	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
33	26, 29, 32	3sstr3d 3984	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → 𝑋 ⊆ 𝑌)
34	14, 33	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊆ 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3898  ran crn 5648  ‘cfv 6527  Basecbs 17349  HLchlt 40327  LHypclh 40961  DVecHcdvh 42055  DIsoHcdih 42205  ocHcoch 42324

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-riotaBAD 39930

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8221  df-undef 8268  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-fz 13610  df-struct 17287  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ress 17371  df-plusg 17403  df-mulr 17404  df-sca 17406  df-vsca 17407  df-0g 17574  df-proset 18430  df-poset 18449  df-plt 18464  df-lub 18480  df-glb 18481  df-join 18482  df-meet 18483  df-p0 18559  df-p1 18560  df-lat 18568  df-clat 18635  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-submnd 18941  df-grp 19109  df-minusg 19110  df-sbg 19111  df-subg 19295  df-cntz 19493  df-lsm 19812  df-cmn 19958  df-abl 19959  df-mgp 20323  df-rng 20337  df-ur 20370  df-ring 20423  df-oppr 20529  df-dvdsr 20549  df-unit 20550  df-invr 20580  df-dvr 20593  df-drng 20944  df-lmod 21099  df-lss 21169  df-lsp 21209  df-lvec 21340  df-oposet 40153  df-ol 40155  df-oml 40156  df-covers 40243  df-ats 40244  df-atl 40275  df-cvlat 40299  df-hlat 40328  df-llines 40475  df-lplanes 40476  df-lvols 40477  df-lines 40478  df-psubsp 40480  df-pmap 40481  df-padd 40773  df-lhyp 40965  df-laut 40966  df-ldil 41081  df-ltrn 41082  df-trl 41136  df-tendo 41732  df-edring 41734  df-disoa 42006  df-dvech 42056  df-dib 42116  df-dic 42150  df-dih 42206  df-doch 42325

This theorem is used by:  dochord2N  42348  dochord3  42349  doch11  42350  dochsordN  42351  dochsatshpb  42429  hdmapoc  42908