Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochord 38615
Description: Ordering law for orthocomplement. (Contributed by NM, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
doch11.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
doch11.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
doch11.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
doch11.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
doch11.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝐼)
doch11.y (𝜑𝑌 ∈ ran 𝐼)
Assertion
Ref Expression
dochord (𝜑 → (𝑋𝑌 ↔ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)))

Proof of Theorem dochord
StepHypRef Expression
1 doch11.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 doch11.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ran 𝐼)
4 doch11.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 eqid 2824 . . . . . 6 ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 doch11.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
7 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
84, 5, 6, 7dihrnss 38523 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → 𝑌 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
91, 3, 8syl2anc 587 . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
109adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑌 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
11 simpr 488 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑋𝑌)
12 doch11.o . . . 4 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
134, 5, 7, 12dochss 38610 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) → ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋))
142, 10, 11, 13syl3anc 1368 . 2 ((𝜑𝑋𝑌) → ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋))
151adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
16 doch11.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝐼)
174, 5, 6, 7dihrnss 38523 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
181, 16, 17syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
194, 6, 5, 7, 12dochcl 38598 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → ( 𝑋) ∈ ran 𝐼)
201, 18, 19syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ( 𝑋) ∈ ran 𝐼)
214, 5, 6, 7dihrnss 38523 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑋) ∈ ran 𝐼) → ( 𝑋) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
221, 20, 21syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ( 𝑋) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
2322adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( 𝑋) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
24 simpr 488 . . . 4 ((𝜑 ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋))
254, 5, 7, 12dochss 38610 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑋) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)))
2615, 23, 24, 25syl3anc 1368 . . 3 ((𝜑 ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)))
274, 6, 12dochoc 38612 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
281, 16, 27syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
2928adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
304, 6, 12dochoc 38612 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
311, 3, 30syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
3231adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
3326, 29, 323sstr3d 3999 . 2 ((𝜑 ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → 𝑋𝑌)
3414, 33impbida 800 1 (𝜑 → (𝑋𝑌 ↔ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3919  ran crn 5543  cfv 6343  Basecbs 16483  HLchlt 36595  LHypclh 37229  DVecHcdvh 38323  DIsoHcdih 38473  ocHcoch 38592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-riotaBAD 36198
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-undef 7935  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-0g 16715  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-p1 17650  df-lat 17656  df-clat 17718  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-lsm 18761  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-dvr 19436  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lvec 19875  df-oposet 36421  df-ol 36423  df-oml 36424  df-covers 36511  df-ats 36512  df-atl 36543  df-cvlat 36567  df-hlat 36596  df-llines 36743  df-lplanes 36744  df-lvols 36745  df-lines 36746  df-psubsp 36748  df-pmap 36749  df-padd 37041  df-lhyp 37233  df-laut 37234  df-ldil 37349  df-ltrn 37350  df-trl 37404  df-tendo 38000  df-edring 38002  df-disoa 38274  df-dvech 38324  df-dib 38384  df-dic 38418  df-dih 38474  df-doch 38593
This theorem is referenced by:  dochord2N  38616  dochord3  38617  doch11  38618  dochsordN  38619  dochsatshpb  38697  hdmapoc  39176
  Copyright terms: Public domain W3C validator