Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochord 39765
Description: Ordering law for orthocomplement. (Contributed by NM, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
doch11.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
doch11.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
doch11.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
doch11.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
doch11.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝐼)
doch11.y (𝜑𝑌 ∈ ran 𝐼)
Assertion
Ref Expression
dochord (𝜑 → (𝑋𝑌 ↔ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)))

Proof of Theorem dochord
StepHypRef Expression
1 doch11.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 doch11.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ran 𝐼)
4 doch11.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 eqid 2736 . . . . . 6 ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 doch11.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
7 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
84, 5, 6, 7dihrnss 39673 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → 𝑌 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
91, 3, 8syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
109adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑌 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
11 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑋𝑌)
12 doch11.o . . . 4 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
134, 5, 7, 12dochss 39760 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∧ 𝑋𝑌) → ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋))
142, 10, 11, 13syl3anc 1371 . 2 ((𝜑𝑋𝑌) → ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋))
151adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
16 doch11.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝐼)
174, 5, 6, 7dihrnss 39673 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
181, 16, 17syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
194, 6, 5, 7, 12dochcl 39748 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → ( 𝑋) ∈ ran 𝐼)
201, 18, 19syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ( 𝑋) ∈ ran 𝐼)
214, 5, 6, 7dihrnss 39673 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑋) ∈ ran 𝐼) → ( 𝑋) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
221, 20, 21syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ( 𝑋) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
2322adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( 𝑋) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
24 simpr 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋))
254, 5, 7, 12dochss 39760 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑋) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)))
2615, 23, 24, 25syl3anc 1371 . . 3 ((𝜑 ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( ‘( 𝑋)) ⊆ ( ‘( 𝑌)))
274, 6, 12dochoc 39762 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
281, 16, 27syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
2928adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
304, 6, 12dochoc 39762 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
311, 3, 30syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
3231adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
3326, 29, 323sstr3d 3988 . 2 ((𝜑 ∧ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)) → 𝑋𝑌)
3414, 33impbida 799 1 (𝜑 → (𝑋𝑌 ↔ ( 𝑌) ⊆ ( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3908  ran crn 5632  cfv 6493  Basecbs 17037  HLchlt 37744  LHypclh 38379  DVecHcdvh 39473  DIsoHcdih 39623  ocHcoch 39742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-riotaBAD 37347
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-tpos 8149  df-undef 8196  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-struct 16973  df-sets 16990  df-slot 17008  df-ndx 17020  df-base 17038  df-ress 17067  df-plusg 17100  df-mulr 17101  df-sca 17103  df-vsca 17104  df-0g 17277  df-proset 18138  df-poset 18156  df-plt 18173  df-lub 18189  df-glb 18190  df-join 18191  df-meet 18192  df-p0 18268  df-p1 18269  df-lat 18275  df-clat 18342  df-mgm 18451  df-sgrp 18500  df-mnd 18511  df-submnd 18556  df-grp 18705  df-minusg 18706  df-sbg 18707  df-subg 18878  df-cntz 19050  df-lsm 19371  df-cmn 19517  df-abl 19518  df-mgp 19850  df-ur 19867  df-ring 19914  df-oppr 19996  df-dvdsr 20017  df-unit 20018  df-invr 20048  df-dvr 20059  df-drng 20134  df-lmod 20271  df-lss 20340  df-lsp 20380  df-lvec 20511  df-oposet 37570  df-ol 37572  df-oml 37573  df-covers 37660  df-ats 37661  df-atl 37692  df-cvlat 37716  df-hlat 37745  df-llines 37893  df-lplanes 37894  df-lvols 37895  df-lines 37896  df-psubsp 37898  df-pmap 37899  df-padd 38191  df-lhyp 38383  df-laut 38384  df-ldil 38499  df-ltrn 38500  df-trl 38554  df-tendo 39150  df-edring 39152  df-disoa 39424  df-dvech 39474  df-dib 39534  df-dic 39568  df-dih 39624  df-doch 39743
This theorem is referenced by:  dochord2N  39766  dochord3  39767  doch11  39768  dochsordN  39769  dochsatshpb  39847  hdmapoc  40326
  Copyright terms: Public domain W3C validator