Theorem doch11 37954

Description: Orthocomplement is one-to-one. (Contributed by NM, 12-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
doch11.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
doch11.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
doch11.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
doch11.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
doch11.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
doch11.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
doch11	⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘𝑋) = ( ⊥ ‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem doch11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		doch11.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		doch11.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
3		doch11.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		doch11.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5		doch11.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
6		doch11.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dochord 37951	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ⊆ 𝑋 ↔ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)))
8	1, 2, 3, 4, 6, 5	dochord 37951	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊆ 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)))
9	7, 8	anbi12d 621	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))))
10		eqcom 2785	. . . 4 ⊢ (𝑋 = 𝑌 ↔ 𝑌 = 𝑋)
11		eqss 3875	. . . 4 ⊢ (𝑌 = 𝑋 ↔ (𝑌 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌))
12	10, 11	bitri 267	. . 3 ⊢ (𝑋 = 𝑌 ↔ (𝑌 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌))
13		eqss 3875	. . 3 ⊢ (( ⊥ ‘𝑋) = ( ⊥ ‘𝑌) ↔ (( ⊥ ‘𝑋) ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)))
14	9, 12, 13	3bitr4g 306	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 = 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘𝑋) = ( ⊥ ‘𝑌)))
15	14	bicomd 215	1 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘𝑋) = ( ⊥ ‘𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ⊆ wss 3831  ran crn 5409  ‘cfv 6190  HLchlt 35931  LHypclh 36565  DIsoHcdih 37809  ocHcoch 37928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-riotaBAD 35534

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-iin 4796  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-tpos 7697  df-undef 7744  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-oadd 7911  df-er 8091  df-map 8210  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-fz 12712  df-struct 16344  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-sets 16349  df-ress 16350  df-plusg 16437  df-mulr 16438  df-sca 16440  df-vsca 16441  df-0g 16574  df-proset 17399  df-poset 17417  df-plt 17429  df-lub 17445  df-glb 17446  df-join 17447  df-meet 17448  df-p0 17510  df-p1 17511  df-lat 17517  df-clat 17579  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-submnd 17807  df-grp 17897  df-minusg 17898  df-sbg 17899  df-subg 18063  df-cntz 18221  df-lsm 18525  df-cmn 18671  df-abl 18672  df-mgp 18966  df-ur 18978  df-ring 19025  df-oppr 19099  df-dvdsr 19117  df-unit 19118  df-invr 19148  df-dvr 19159  df-drng 19230  df-lmod 19361  df-lss 19429  df-lsp 19469  df-lvec 19600  df-oposet 35757  df-ol 35759  df-oml 35760  df-covers 35847  df-ats 35848  df-atl 35879  df-cvlat 35903  df-hlat 35932  df-llines 36079  df-lplanes 36080  df-lvols 36081  df-lines 36082  df-psubsp 36084  df-pmap 36085  df-padd 36377  df-lhyp 36569  df-laut 36570  df-ldil 36685  df-ltrn 36686  df-trl 36740  df-tendo 37336  df-edring 37338  df-disoa 37610  df-dvech 37660  df-dib 37720  df-dic 37754  df-dih 37810  df-doch 37929

This theorem is referenced by:  dochsordN  37955  dochn0nv  37956  dochsatshp  38032  dochshpsat  38035  lclkrlem2a  38088  lcfrlem16  38139  mapdrvallem2  38226