Theorem dochocsn 40791

Description: The double orthocomplement of a singleton is its span. (Contributed by NM, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochocsn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochocsn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochocsn.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochocsn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochocsn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dochocsn.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochocsn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dochocsn	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑋})) = (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem dochocsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochocsn.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dochocsn.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochocsn.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochocsn.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		dochocsn.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
6		dochocsn.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		dochocsn.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8	7	snssd 4808	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8	dochocsp 40789	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝑁‘{𝑋})) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
10	9	fveq2d 6895	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑁‘{𝑋}))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑋})))
11		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
12	1, 2, 4, 5, 11	dihlsprn 40741	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
13	6, 7, 12	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
14	1, 11, 3	dochoc 40777	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
15	6, 13, 14	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘{𝑋}))
16	10, 15	eqtr3d 2769	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑋})) = (𝑁‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {csn 4624  ran crn 5673  ‘cfv 6542  Basecbs 17171  LSpanclspn 20844  HLchlt 38759  LHypclh 39394  DVecHcdvh 40488  DIsoHcdih 40638  ocHcoch 40757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-riotaBAD 38362

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-0g 17414  df-proset 18278  df-poset 18296  df-plt 18313  df-lub 18329  df-glb 18330  df-join 18331  df-meet 18332  df-p0 18408  df-p1 18409  df-lat 18415  df-clat 18482  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-cntz 19259  df-lsm 19582  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-drng 20615  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-lvec 20977  df-lsatoms 38385  df-oposet 38585  df-ol 38587  df-oml 38588  df-covers 38675  df-ats 38676  df-atl 38707  df-cvlat 38731  df-hlat 38760  df-llines 38908  df-lplanes 38909  df-lvols 38910  df-lines 38911  df-psubsp 38913  df-pmap 38914  df-padd 39206  df-lhyp 39398  df-laut 39399  df-ldil 39514  df-ltrn 39515  df-trl 39569  df-tendo 40165  df-edring 40167  df-disoa 40439  df-dvech 40489  df-dib 40549  df-dic 40583  df-dih 40639  df-doch 40758

This theorem is referenced by:  dochsnnz  40860  lcfl8b  40914  lclkrlem2c  40919  lcfrlem23  40975  lcfrlem26  40978  lcfrlem36  40988  mapdval4N  41042  mapdsn  41051  hdmapglem7a  41337