Theorem dochlss 41476

Description: A subspace orthocomplement is a subspace of the DVecH vector space. (Contributed by NM, 22-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochlss.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochlss.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochlss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochlss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dochlss.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dochlss	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem dochlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochlss.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochlss.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochlss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		dochlss.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	dochcl 41475	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
7		dochlss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
8	1, 3, 2, 7	dihrnlss 41399	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝑆)
9	6, 8	syldan 591	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  ran crn 5622  ‘cfv 6488  Basecbs 17124  LSubSpclss 20868  HLchlt 39472  LHypclh 40106  DVecHcdvh 41200  DIsoHcdih 41350  ocHcoch 41469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-riotaBAD 39075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-tpos 8164  df-undef 8211  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-map 8760  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-fz 13412  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-0g 17349  df-proset 18204  df-poset 18223  df-plt 18238  df-lub 18254  df-glb 18255  df-join 18256  df-meet 18257  df-p0 18333  df-p1 18334  df-lat 18342  df-clat 18409  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-submnd 18696  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-subg 19040  df-cntz 19233  df-lsm 19552  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20063  df-rng 20075  df-ur 20104  df-ring 20157  df-oppr 20259  df-dvdsr 20279  df-unit 20280  df-invr 20310  df-dvr 20323  df-drng 20650  df-lmod 20799  df-lss 20869  df-lsp 20909  df-lvec 21041  df-oposet 39298  df-ol 39300  df-oml 39301  df-covers 39388  df-ats 39389  df-atl 39420  df-cvlat 39444  df-hlat 39473  df-llines 39620  df-lplanes 39621  df-lvols 39622  df-lines 39623  df-psubsp 39625  df-pmap 39626  df-padd 39918  df-lhyp 40110  df-laut 40111  df-ldil 40226  df-ltrn 40227  df-trl 40281  df-tendo 40877  df-edring 40879  df-disoa 41151  df-dvech 41201  df-dib 41261  df-dic 41295  df-dih 41351  df-doch 41470

This theorem is referenced by:  dochspocN  41502  dochsncom  41504  dochshpncl  41506  djhexmid  41533  dochsatshp  41573  dochsatshpb  41574  dochshpsat  41576  dochkrsat  41577  dochexmidlem2  41583  dochexmidlem5  41586  dochexmidlem7  41588  dochexmidlem8  41589  dochexmid  41590  dochfl1  41598  dochkr1  41600  dochkr1OLDN  41601  lcfl4N  41617  lclkrlem2a  41629  lclkrlem2o  41643  lclkrlem2v  41650  lclkrslem2  41660  lcfrlem5  41668  lcfrlem6  41669  lcfrlem19  41683  lcfrlem20  41684  lcfrlem23  41687  lcfrlem25  41689  lcfrlem26  41690  lcfrlem35  41699  lcfrlem36  41700  lcfr  41707  mapdrvallem2  41767  mapd0  41787  hgmapvvlem3  42047  hdmapglem7a  42049  hdmapoc  42053