Theorem dochlss 40030

Description: A subspace orthocomplement is a subspace of the DVecH vector space. (Contributed by NM, 22-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochlss.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochlss.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochlss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochlss.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dochlss.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dochlss	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem dochlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochlss.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochlss.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochlss.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		dochlss.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	dochcl 40029	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
7		dochlss.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
8	1, 3, 2, 7	dihrnlss 39953	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝑆)
9	6, 8	syldan 591	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3944  ran crn 5670  ‘cfv 6532  Basecbs 17126  LSubSpclss 20491  HLchlt 38025  LHypclh 38660  DVecHcdvh 39754  DIsoHcdih 39904  ocHcoch 40023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-riotaBAD 37628

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-tpos 8193  df-undef 8240  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-0g 17369  df-proset 18230  df-poset 18248  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-p1 18361  df-lat 18367  df-clat 18434  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-subg 18975  df-cntz 19147  df-lsm 19468  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-oppr 20102  df-dvdsr 20123  df-unit 20124  df-invr 20154  df-dvr 20165  df-drng 20267  df-lmod 20422  df-lss 20492  df-lsp 20532  df-lvec 20663  df-oposet 37851  df-ol 37853  df-oml 37854  df-covers 37941  df-ats 37942  df-atl 37973  df-cvlat 37997  df-hlat 38026  df-llines 38174  df-lplanes 38175  df-lvols 38176  df-lines 38177  df-psubsp 38179  df-pmap 38180  df-padd 38472  df-lhyp 38664  df-laut 38665  df-ldil 38780  df-ltrn 38781  df-trl 38835  df-tendo 39431  df-edring 39433  df-disoa 39705  df-dvech 39755  df-dib 39815  df-dic 39849  df-dih 39905  df-doch 40024

This theorem is referenced by:  dochspocN  40056  dochsncom  40058  dochshpncl  40060  djhexmid  40087  dochsatshp  40127  dochsatshpb  40128  dochshpsat  40130  dochkrsat  40131  dochexmidlem2  40137  dochexmidlem5  40140  dochexmidlem7  40142  dochexmidlem8  40143  dochexmid  40144  dochfl1  40152  dochkr1  40154  dochkr1OLDN  40155  lcfl4N  40171  lclkrlem2a  40183  lclkrlem2o  40197  lclkrlem2v  40204  lclkrslem2  40214  lcfrlem5  40222  lcfrlem6  40223  lcfrlem19  40237  lcfrlem20  40238  lcfrlem23  40241  lcfrlem25  40243  lcfrlem26  40244  lcfrlem35  40253  lcfrlem36  40254  lcfr  40261  mapdrvallem2  40321  mapd0  40341  hgmapvvlem3  40601  hdmapglem7a  40603  hdmapoc  40607