![]() |
Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > elrrx2linest2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The line passing through the two different points ๐ and ๐ in a real Euclidean space of dimension 2 in another "standard form" (usually with (๐โ1) = ๐ฅ and (๐โ2) = ๐ฆ). (Contributed by AV, 23-Feb-2023.) |
Ref | Expression |
---|---|
rrx2linest2.i | โข ๐ผ = {1, 2} |
rrx2linest2.e | โข ๐ธ = (โ^โ๐ผ) |
rrx2linest2.p | โข ๐ = (โ โm ๐ผ) |
rrx2linest2.l | โข ๐ฟ = (LineMโ๐ธ) |
rrx2linest2.a | โข ๐ด = ((๐โ2) โ (๐โ2)) |
rrx2linest2.b | โข ๐ต = ((๐โ1) โ (๐โ1)) |
rrx2linest2.c | โข ๐ถ = (((๐โ2) ยท (๐โ1)) โ ((๐โ1) ยท (๐โ2))) |
Ref | Expression |
---|---|
elrrx2linest2 | โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บ โ (๐๐ฟ๐) โ (๐บ โ ๐ โง ((๐ด ยท (๐บโ1)) + (๐ต ยท (๐บโ2))) = ๐ถ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | rrx2linest2.i | . . . 4 โข ๐ผ = {1, 2} | |
2 | rrx2linest2.e | . . . 4 โข ๐ธ = (โ^โ๐ผ) | |
3 | rrx2linest2.p | . . . 4 โข ๐ = (โ โm ๐ผ) | |
4 | rrx2linest2.l | . . . 4 โข ๐ฟ = (LineMโ๐ธ) | |
5 | rrx2linest2.a | . . . 4 โข ๐ด = ((๐โ2) โ (๐โ2)) | |
6 | rrx2linest2.b | . . . 4 โข ๐ต = ((๐โ1) โ (๐โ1)) | |
7 | rrx2linest2.c | . . . 4 โข ๐ถ = (((๐โ2) ยท (๐โ1)) โ ((๐โ1) ยท (๐โ2))) | |
8 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | rrx2linest2 46920 | . . 3 โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐๐ฟ๐) = {๐ โ ๐ โฃ ((๐ด ยท (๐โ1)) + (๐ต ยท (๐โ2))) = ๐ถ}) |
9 | 8 | eleq2d 2820 | . 2 โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บ โ (๐๐ฟ๐) โ ๐บ โ {๐ โ ๐ โฃ ((๐ด ยท (๐โ1)) + (๐ต ยท (๐โ2))) = ๐ถ})) |
10 | fveq1 6845 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐บ โ (๐โ1) = (๐บโ1)) | |
11 | 10 | oveq2d 7377 | . . . . 5 โข (๐ = ๐บ โ (๐ด ยท (๐โ1)) = (๐ด ยท (๐บโ1))) |
12 | fveq1 6845 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐บ โ (๐โ2) = (๐บโ2)) | |
13 | 12 | oveq2d 7377 | . . . . 5 โข (๐ = ๐บ โ (๐ต ยท (๐โ2)) = (๐ต ยท (๐บโ2))) |
14 | 11, 13 | oveq12d 7379 | . . . 4 โข (๐ = ๐บ โ ((๐ด ยท (๐โ1)) + (๐ต ยท (๐โ2))) = ((๐ด ยท (๐บโ1)) + (๐ต ยท (๐บโ2)))) |
15 | 14 | eqeq1d 2735 | . . 3 โข (๐ = ๐บ โ (((๐ด ยท (๐โ1)) + (๐ต ยท (๐โ2))) = ๐ถ โ ((๐ด ยท (๐บโ1)) + (๐ต ยท (๐บโ2))) = ๐ถ)) |
16 | 15 | elrab 3649 | . 2 โข (๐บ โ {๐ โ ๐ โฃ ((๐ด ยท (๐โ1)) + (๐ต ยท (๐โ2))) = ๐ถ} โ (๐บ โ ๐ โง ((๐ด ยท (๐บโ1)) + (๐ต ยท (๐บโ2))) = ๐ถ)) |
17 | 9, 16 | bitrdi 287 | 1 โข ((๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐บ โ (๐๐ฟ๐) โ (๐บ โ ๐ โง ((๐ด ยท (๐บโ1)) + (๐ต ยท (๐บโ2))) = ๐ถ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ wne 2940 {crab 3406 {cpr 4592 โcfv 6500 (class class class)co 7361 โm cmap 8771 โcr 11058 1c1 11060 + caddc 11062 ยท cmul 11064 โ cmin 11393 2c2 12216 โ^crrx 24770 LineMcline 46903 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5246 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pow 5324 ax-pr 5388 ax-un 7676 ax-cnex 11115 ax-resscn 11116 ax-1cn 11117 ax-icn 11118 ax-addcl 11119 ax-addrcl 11120 ax-mulcl 11121 ax-mulrcl 11122 ax-mulcom 11123 ax-addass 11124 ax-mulass 11125 ax-distr 11126 ax-i2m1 11127 ax-1ne0 11128 ax-1rid 11129 ax-rnegex 11130 ax-rrecex 11131 ax-cnre 11132 ax-pre-lttri 11133 ax-pre-lttrn 11134 ax-pre-ltadd 11135 ax-pre-mulgt0 11136 ax-pre-sup 11137 ax-addf 11138 ax-mulf 11139 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3933 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-tp 4595 df-op 4597 df-uni 4870 df-iun 4960 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-tr 5227 df-id 5535 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5592 df-we 5594 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-pred 6257 df-ord 6324 df-on 6325 df-lim 6326 df-suc 6327 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-riota 7317 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-of 7621 df-om 7807 df-1st 7925 df-2nd 7926 df-supp 8097 df-tpos 8161 df-frecs 8216 df-wrecs 8247 df-recs 8321 df-rdg 8360 df-1o 8416 df-er 8654 df-map 8773 df-ixp 8842 df-en 8890 df-dom 8891 df-sdom 8892 df-fin 8893 df-fsupp 9312 df-sup 9386 df-pnf 11199 df-mnf 11200 df-xr 11201 df-ltxr 11202 df-le 11203 df-sub 11395 df-neg 11396 df-div 11821 df-nn 12162 df-2 12224 df-3 12225 df-4 12226 df-5 12227 df-6 12228 df-7 12229 df-8 12230 df-9 12231 df-n0 12422 df-z 12508 df-dec 12627 df-uz 12772 df-rp 12924 df-fz 13434 df-seq 13916 df-exp 13977 df-cj 14993 df-re 14994 df-im 14995 df-sqrt 15129 df-abs 15130 df-struct 17027 df-sets 17044 df-slot 17062 df-ndx 17074 df-base 17092 df-ress 17121 df-plusg 17154 df-mulr 17155 df-starv 17156 df-sca 17157 df-vsca 17158 df-ip 17159 df-tset 17160 df-ple 17161 df-ds 17163 df-unif 17164 df-hom 17165 df-cco 17166 df-0g 17331 df-prds 17337 df-pws 17339 df-mgm 18505 df-sgrp 18554 df-mnd 18565 df-mhm 18609 df-grp 18759 df-minusg 18760 df-sbg 18761 df-subg 18933 df-ghm 19014 df-cmn 19572 df-mgp 19905 df-ur 19922 df-ring 19974 df-cring 19975 df-oppr 20057 df-dvdsr 20078 df-unit 20079 df-invr 20109 df-dvr 20120 df-rnghom 20156 df-drng 20221 df-field 20222 df-subrg 20262 df-staf 20347 df-srng 20348 df-lmod 20367 df-lss 20437 df-sra 20678 df-rgmod 20679 df-cnfld 20820 df-refld 21032 df-dsmm 21161 df-frlm 21176 df-tng 23963 df-tcph 24556 df-rrx 24772 df-line 46905 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |