Theorem hdmaprnlem4tN 40113

Description: Lemma for hdmaprnN 40125. TODO: This lemma doesn't quite pay for itself even though used six times. Maybe prove this directly instead. (Contributed by NM, 27-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmaprnlem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem1.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem1.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmaprnlem1.se	⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve	⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.un	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
hdmaprnlem1.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprnlem1.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
hdmaprnlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmaprnlem1.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
hdmaprnlem1.t2	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
hdmaprnlem4tN	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ 𝑉)

Proof of Theorem hdmaprnlem4tN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmaprnlem1.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmaprnlem1.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmaprnlem1.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 39371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5		hdmaprnlem1.ve	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝑉)
6	5	snssd 4755	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑣} ⊆ 𝑉)
7		hdmaprnlem1.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
8		hdmaprnlem1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
9	7, 8	lspssv 20343	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑣} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ⊆ 𝑉)
10	4, 6, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ⊆ 𝑉)
11	10	ssdifssd 4088	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }) ⊆ 𝑉)
12		hdmaprnlem1.t2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
13	11, 12	sseldd 3932	1 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  {csn 4572  ‘cfv 6473  Basecbs 17001  +_gcplusg 17051  0_gc0g 17239  LModclmod 20221  LSpanclspn 20331  HLchlt 37610  LHypclh 38245  DVecHcdvh 39339  LCDualclcd 39847  mapdcmpd 39885  HDMapchdma 40053

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-riotaBAD 37213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-tpos 8104  df-undef 8151  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-er 8561  df-map 8680  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-fz 13333  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-0g 17241  df-proset 18102  df-poset 18120  df-plt 18137  df-lub 18153  df-glb 18154  df-join 18155  df-meet 18156  df-p0 18232  df-p1 18233  df-lat 18239  df-clat 18306  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-grp 18668  df-minusg 18669  df-sbg 18670  df-mgp 19808  df-ur 19825  df-ring 19872  df-oppr 19949  df-dvdsr 19970  df-unit 19971  df-invr 20001  df-dvr 20012  df-drng 20087  df-lmod 20223  df-lss 20292  df-lsp 20332  df-lvec 20463  df-oposet 37436  df-ol 37438  df-oml 37439  df-covers 37526  df-ats 37527  df-atl 37558  df-cvlat 37582  df-hlat 37611  df-llines 37759  df-lplanes 37760  df-lvols 37761  df-lines 37762  df-psubsp 37764  df-pmap 37765  df-padd 38057  df-lhyp 38249  df-laut 38250  df-ldil 38365  df-ltrn 38366  df-trl 38420  df-tendo 39016  df-edring 39018  df-dvech 39340

This theorem is referenced by:  hdmaprnlem6N  40115  hdmaprnlem7N  40116  hdmaprnlem8N  40117  hdmaprnlem9N  40118  hdmaprnlem3eN  40119  hdmaprnlem10N  40120