Theorem hdmaprnlem10N 40730

Description: Lemma for hdmaprnN 40735. Show 𝑠 is in the range of 𝑆. (Contributed by NM, 29-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmaprnlem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem1.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem1.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmaprnlem1.se	⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve	⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue	⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.un	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
hdmaprnlem1.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprnlem1.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
hdmaprnlem1.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmaprnlem1.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
hdmaprnlem3e.p	⊢ + = (+g‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
hdmaprnlem10N	⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝑉 (𝑆‘𝑡) = 𝑠)

Distinct variable groups:   𝑡, ✚   𝑡,𝐿   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡, 0   𝑡, +   𝑡,𝑆   𝑡,𝑈   𝑡,𝑉   𝜑,𝑡   𝑡,𝑠,𝑢,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑠)   𝐶(𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)   𝐷(𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)   + (𝑣,𝑢,𝑠)   ✚ (𝑣,𝑢,𝑠)   𝑄(𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)   𝑆(𝑣,𝑢,𝑠)   𝑈(𝑣,𝑢,𝑠)   𝐻(𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)   𝐿(𝑣,𝑢,𝑠)   𝑀(𝑣,𝑢,𝑠)   𝑁(𝑣,𝑢,𝑠)   𝑉(𝑣,𝑢,𝑠)   𝑊(𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)   0 (𝑣,𝑢,𝑠)

Proof of Theorem hdmaprnlem10N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmaprnlem1.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmaprnlem1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmaprnlem1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmaprnlem1.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5		hdmaprnlem1.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		hdmaprnlem1.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
7		hdmaprnlem1.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmaprnlem1.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
9		hdmaprnlem1.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		hdmaprnlem1.se	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
11		hdmaprnlem1.ve	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑣 ∈ 𝑉)
12		hdmaprnlem1.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
13		hdmaprnlem1.ue	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑢 ∈ 𝑉)
14		hdmaprnlem1.un	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
15		hdmaprnlem1.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
16		hdmaprnlem1.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
17		hdmaprnlem1.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
18		hdmaprnlem1.a	. . 3 ⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
19		hdmaprnlem3e.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑈)
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	hdmaprnlem3eN 40729	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 })(𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))
21	9	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }) ∧ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
22	10	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }) ∧ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))) → 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
23	11	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }) ∧ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))) → 𝑣 ∈ 𝑉)
24	12	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }) ∧ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
25	13	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }) ∧ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))) → 𝑢 ∈ 𝑉)
26	14	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }) ∧ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))) → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
27		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }) ∧ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))) → 𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 15, 16, 17, 18, 27	hdmaprnlem4tN 40723	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }) ∧ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))) → 𝑡 ∈ 𝑉)
29		simprr 772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }) ∧ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))) → (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 15, 16, 17, 18, 27, 19, 29	hdmaprnlem9N 40728	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }) ∧ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))) → 𝑠 = (𝑆‘𝑡))
31	30	eqcomd 2739	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }) ∧ (𝐿‘{((𝑆‘𝑢) ✚ 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))) → (𝑆‘𝑡) = 𝑠)
32	20, 28, 31	reximssdv 3173	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝑉 (𝑆‘𝑡) = 𝑠)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3071   ∖ cdif 3946  {csn 4629  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  0_gc0g 17385  LSpanclspn 20582  HLchlt 38220  LHypclh 38855  DVecHcdvh 39949  LCDualclcd 40457  mapdcmpd 40495  HDMapchdma 40663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-riotaBAD 37823

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-undef 8258  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-0g 17387  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-oppg 19210  df-lsm 19504  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lvec 20714  df-lsatoms 37846  df-lshyp 37847  df-lcv 37889  df-lfl 37928  df-lkr 37956  df-ldual 37994  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370  df-lvols 38371  df-lines 38372  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976  df-trl 39030  df-tgrp 39614  df-tendo 39626  df-edring 39628  df-dveca 39874  df-disoa 39900  df-dvech 39950  df-dib 40010  df-dic 40044  df-dih 40100  df-doch 40219  df-djh 40266  df-lcdual 40458  df-mapd 40496  df-hvmap 40628  df-hdmap1 40664  df-hdmap 40665

This theorem is referenced by:  hdmaprnlem11N  40731