Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnlem10N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmaprnlem10N 41269
Description: Lemma for hdmaprnN 41274. Show 𝑠 is in the range of 𝑆. (Contributed by NM, 29-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprnlem1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmaprnlem1.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmaprnlem1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmaprnlem1.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
hdmaprnlem1.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmaprnlem1.l 𝐿 = (LSpanβ€˜πΆ)
hdmaprnlem1.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmaprnlem1.s 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmaprnlem1.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmaprnlem1.se (πœ‘ β†’ 𝑠 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve (πœ‘ β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.e (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑣})) = (πΏβ€˜{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue (πœ‘ β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
hdmaprnlem1.un (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑒 ∈ (π‘β€˜{𝑣}))
hdmaprnlem1.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
hdmaprnlem1.q 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
hdmaprnlem1.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
hdmaprnlem1.a ✚ = (+gβ€˜πΆ)
hdmaprnlem3e.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
hdmaprnlem10N (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 (π‘†β€˜π‘‘) = 𝑠)
Distinct variable groups:   𝑑, ✚   𝑑,𝐿   𝑑,𝑀   𝑑,𝑁   𝑑, 0   𝑑, +   𝑑,𝑆   𝑑,π‘ˆ   𝑑,𝑉   πœ‘,𝑑   𝑑,𝑠,𝑒,𝑣
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,𝑒,𝑠)   𝐢(𝑣,𝑒,𝑑,𝑠)   𝐷(𝑣,𝑒,𝑑,𝑠)   + (𝑣,𝑒,𝑠)   ✚ (𝑣,𝑒,𝑠)   𝑄(𝑣,𝑒,𝑑,𝑠)   𝑆(𝑣,𝑒,𝑠)   π‘ˆ(𝑣,𝑒,𝑠)   𝐻(𝑣,𝑒,𝑑,𝑠)   𝐾(𝑣,𝑒,𝑑,𝑠)   𝐿(𝑣,𝑒,𝑠)   𝑀(𝑣,𝑒,𝑠)   𝑁(𝑣,𝑒,𝑠)   𝑉(𝑣,𝑒,𝑠)   π‘Š(𝑣,𝑒,𝑑,𝑠)   0 (𝑣,𝑒,𝑠)

Proof of Theorem hdmaprnlem10N
StepHypRef Expression
1 hdmaprnlem1.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hdmaprnlem1.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 hdmaprnlem1.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 hdmaprnlem1.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
5 hdmaprnlem1.c . . 3 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 hdmaprnlem1.l . . 3 𝐿 = (LSpanβ€˜πΆ)
7 hdmaprnlem1.m . . 3 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 hdmaprnlem1.s . . 3 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 hdmaprnlem1.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
10 hdmaprnlem1.se . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑠 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑄}))
11 hdmaprnlem1.ve . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
12 hdmaprnlem1.e . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑣})) = (πΏβ€˜{𝑠}))
13 hdmaprnlem1.ue . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
14 hdmaprnlem1.un . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑒 ∈ (π‘β€˜{𝑣}))
15 hdmaprnlem1.d . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
16 hdmaprnlem1.q . . 3 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
17 hdmaprnlem1.o . . 3 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
18 hdmaprnlem1.a . . 3 ✚ = (+gβ€˜πΆ)
19 hdmaprnlem3e.p . . 3 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19hdmaprnlem3eN 41268 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ((π‘β€˜{𝑣}) βˆ– { 0 })(πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) = (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑒 + 𝑑)})))
219adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ ((π‘β€˜{𝑣}) βˆ– { 0 }) ∧ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) = (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑒 + 𝑑)})))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2210adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ ((π‘β€˜{𝑣}) βˆ– { 0 }) ∧ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) = (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑒 + 𝑑)})))) β†’ 𝑠 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑄}))
2311adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ ((π‘β€˜{𝑣}) βˆ– { 0 }) ∧ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) = (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑒 + 𝑑)})))) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
2412adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ ((π‘β€˜{𝑣}) βˆ– { 0 }) ∧ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) = (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑒 + 𝑑)})))) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑣})) = (πΏβ€˜{𝑠}))
2513adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ ((π‘β€˜{𝑣}) βˆ– { 0 }) ∧ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) = (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑒 + 𝑑)})))) β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
2614adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ ((π‘β€˜{𝑣}) βˆ– { 0 }) ∧ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) = (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑒 + 𝑑)})))) β†’ Β¬ 𝑒 ∈ (π‘β€˜{𝑣}))
27 simprl 770 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ ((π‘β€˜{𝑣}) βˆ– { 0 }) ∧ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) = (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑒 + 𝑑)})))) β†’ 𝑑 ∈ ((π‘β€˜{𝑣}) βˆ– { 0 }))
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 15, 16, 17, 18, 27hdmaprnlem4tN 41262 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ ((π‘β€˜{𝑣}) βˆ– { 0 }) ∧ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) = (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑒 + 𝑑)})))) β†’ 𝑑 ∈ 𝑉)
29 simprr 772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ ((π‘β€˜{𝑣}) βˆ– { 0 }) ∧ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) = (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑒 + 𝑑)})))) β†’ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) = (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑒 + 𝑑)})))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 15, 16, 17, 18, 27, 19, 29hdmaprnlem9N 41267 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ ((π‘β€˜{𝑣}) βˆ– { 0 }) ∧ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) = (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑒 + 𝑑)})))) β†’ 𝑠 = (π‘†β€˜π‘‘))
3130eqcomd 2733 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ ((π‘β€˜{𝑣}) βˆ– { 0 }) ∧ (πΏβ€˜{((π‘†β€˜π‘’) ✚ 𝑠)}) = (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑒 + 𝑑)})))) β†’ (π‘†β€˜π‘‘) = 𝑠)
3220, 28, 31reximssdv 3167 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 (π‘†β€˜π‘‘) = 𝑠)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3065   βˆ– cdif 3941  {csn 4624  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  +gcplusg 17224  0gc0g 17412  LSpanclspn 20844  HLchlt 38759  LHypclh 39394  DVecHcdvh 40488  LCDualclcd 40996  mapdcmpd 41034  HDMapchdma 41202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-riotaBAD 38362
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-0g 17414  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-proset 18278  df-poset 18296  df-plt 18313  df-lub 18329  df-glb 18330  df-join 18331  df-meet 18332  df-p0 18408  df-p1 18409  df-lat 18415  df-clat 18482  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-cntz 19259  df-oppg 19288  df-lsm 19582  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-drng 20615  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-lvec 20977  df-lsatoms 38385  df-lshyp 38386  df-lcv 38428  df-lfl 38467  df-lkr 38495  df-ldual 38533  df-oposet 38585  df-ol 38587  df-oml 38588  df-covers 38675  df-ats 38676  df-atl 38707  df-cvlat 38731  df-hlat 38760  df-llines 38908  df-lplanes 38909  df-lvols 38910  df-lines 38911  df-psubsp 38913  df-pmap 38914  df-padd 39206  df-lhyp 39398  df-laut 39399  df-ldil 39514  df-ltrn 39515  df-trl 39569  df-tgrp 40153  df-tendo 40165  df-edring 40167  df-dveca 40413  df-disoa 40439  df-dvech 40489  df-dib 40549  df-dic 40583  df-dih 40639  df-doch 40758  df-djh 40805  df-lcdual 40997  df-mapd 41035  df-hvmap 41167  df-hdmap1 41203  df-hdmap 41204
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem11N  41270
  Copyright terms: Public domain W3C validator