Theorem hvmap1o2 41745

Description: The vector to functional map provides a bijection from nonzero vectors 𝑉 to nonzero functionals with closed kernels 𝐶. (Contributed by NM, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvmap1o2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hvmap1o2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hvmap1o2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hvmap1o2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hvmap1o2.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hvmap1o2.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
hvmap1o2.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐶)
hvmap1o2.m	⊢ 𝑀 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hvmap1o2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
hvmap1o2	⊢ (𝜑 → 𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐹 ∖ {𝑂}))

Proof of Theorem hvmap1o2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmap1o2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		hvmap1o2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		hvmap1o2.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		hvmap1o2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		eqid 2736	. . 3 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
7		eqid 2736	. . 3 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
8		eqid 2736	. . 3 ⊢ (LDual‘𝑈) = (LDual‘𝑈)
9		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘(LDual‘𝑈)) = (0g‘(LDual‘𝑈))
10		eqid 2736	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}
11		hvmap1o2.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
12		hvmap1o2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	hvmap1o 41743	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∖ {(0g‘(LDual‘𝑈))}))
14		hvmap1o2.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
15		hvmap1o2.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
16	1, 2, 14, 15, 3, 6, 7, 10, 12	lcdvbase 41573	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
17		hvmap1o2.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐶)
18	1, 3, 8, 9, 14, 17, 12	lcd0v2 41592	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (0g‘(LDual‘𝑈)))
19	18	sneqd 4636	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑂} = {(0g‘(LDual‘𝑈))})
20	16, 19	difeq12d 4126	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∖ {𝑂}) = ({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∖ {(0g‘(LDual‘𝑈))}))
21		f1oeq3 6836	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝑂}) = ({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∖ {(0g‘(LDual‘𝑈))}) → (𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐹 ∖ {𝑂}) ↔ 𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∖ {(0g‘(LDual‘𝑈))})))
22	20, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐹 ∖ {𝑂}) ↔ 𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∖ {(0g‘(LDual‘𝑈))})))
23	13, 22	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐹 ∖ {𝑂}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3435   ∖ cdif 3947  {csn 4624  –1-1-onto→wf1o 6558  ‘cfv 6559  Basecbs 17243  0_gc0g 17480  LFnlclfn 39036  LKerclk 39064  LDualcld 39102  HLchlt 39329  LHypclh 39964  DVecHcdvh 41058  ocHcoch 41327  LCDualclcd 41566  HVMapchvm 41736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228  ax-riotaBAD 38932

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-of 7694  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-tpos 8247  df-undef 8294  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-2o 8503  df-er 8741  df-map 8864  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12875  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-ress 17271  df-plusg 17306  df-mulr 17307  df-sca 17309  df-vsca 17310  df-0g 17482  df-mre 17625  df-mrc 17626  df-acs 17628  df-proset 18336  df-poset 18355  df-plt 18371  df-lub 18387  df-glb 18388  df-join 18389  df-meet 18390  df-p0 18466  df-p1 18467  df-lat 18473  df-clat 18540  df-mgm 18649  df-sgrp 18728  df-mnd 18744  df-submnd 18793  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-sbg 18952  df-subg 19137  df-cntz 19331  df-oppg 19360  df-lsm 19650  df-cmn 19796  df-abl 19797  df-mgp 20134  df-rng 20146  df-ur 20175  df-ring 20228  df-oppr 20326  df-dvdsr 20349  df-unit 20350  df-invr 20380  df-dvr 20393  df-nzr 20505  df-rlreg 20686  df-domn 20687  df-drng 20723  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-lvec 21094  df-lsatoms 38955  df-lshyp 38956  df-lcv 38998  df-lfl 39037  df-lkr 39065  df-ldual 39103  df-oposet 39155  df-ol 39157  df-oml 39158  df-covers 39245  df-ats 39246  df-atl 39277  df-cvlat 39301  df-hlat 39330  df-llines 39478  df-lplanes 39479  df-lvols 39480  df-lines 39481  df-psubsp 39483  df-pmap 39484  df-padd 39776  df-lhyp 39968  df-laut 39969  df-ldil 40084  df-ltrn 40085  df-trl 40139  df-tgrp 40723  df-tendo 40735  df-edring 40737  df-dveca 40983  df-disoa 41009  df-dvech 41059  df-dib 41119  df-dic 41153  df-dih 41209  df-doch 41328  df-djh 41375  df-lcdual 41567  df-hvmap 41737

This theorem is referenced by:  hvmapcl2  41746