Theorem hvmap1o2 41742

Description: The vector to functional map provides a bijection from nonzero vectors 𝑉 to nonzero functionals with closed kernels 𝐶. (Contributed by NM, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvmap1o2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hvmap1o2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hvmap1o2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hvmap1o2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hvmap1o2.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hvmap1o2.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
hvmap1o2.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐶)
hvmap1o2.m	⊢ 𝑀 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hvmap1o2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
hvmap1o2	⊢ (𝜑 → 𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐹 ∖ {𝑂}))

Proof of Theorem hvmap1o2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmap1o2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		hvmap1o2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		hvmap1o2.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		hvmap1o2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		eqid 2740	. . 3 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
7		eqid 2740	. . 3 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
8		eqid 2740	. . 3 ⊢ (LDual‘𝑈) = (LDual‘𝑈)
9		eqid 2740	. . 3 ⊢ (0g‘(LDual‘𝑈)) = (0g‘(LDual‘𝑈))
10		eqid 2740	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}
11		hvmap1o2.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
12		hvmap1o2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	hvmap1o 41740	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∖ {(0g‘(LDual‘𝑈))}))
14		hvmap1o2.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
15		hvmap1o2.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
16	1, 2, 14, 15, 3, 6, 7, 10, 12	lcdvbase 41570	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
17		hvmap1o2.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐶)
18	1, 3, 8, 9, 14, 17, 12	lcd0v2 41589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (0g‘(LDual‘𝑈)))
19	18	sneqd 4660	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑂} = {(0g‘(LDual‘𝑈))})
20	16, 19	difeq12d 4150	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∖ {𝑂}) = ({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∖ {(0g‘(LDual‘𝑈))}))
21		f1oeq3 6855	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝑂}) = ({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∖ {(0g‘(LDual‘𝑈))}) → (𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐹 ∖ {𝑂}) ↔ 𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∖ {(0g‘(LDual‘𝑈))})))
22	20, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐹 ∖ {𝑂}) ↔ 𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∖ {(0g‘(LDual‘𝑈))})))
23	13, 22	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐹 ∖ {𝑂}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443   ∖ cdif 3973  {csn 4648  –1-1-onto→wf1o 6575  ‘cfv 6576  Basecbs 17278  0_gc0g 17519  LFnlclfn 39033  LKerclk 39061  LDualcld 39099  HLchlt 39326  LHypclh 39961  DVecHcdvh 41055  ocHcoch 41324  LCDualclcd 41563  HVMapchvm 41733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5304  ax-sep 5318  ax-nul 5325  ax-pow 5384  ax-pr 5448  ax-un 7773  ax-cnex 11243  ax-resscn 11244  ax-1cn 11245  ax-icn 11246  ax-addcl 11247  ax-addrcl 11248  ax-mulcl 11249  ax-mulrcl 11250  ax-mulcom 11251  ax-addass 11252  ax-mulass 11253  ax-distr 11254  ax-i2m1 11255  ax-1ne0 11256  ax-1rid 11257  ax-rnegex 11258  ax-rrecex 11259  ax-cnre 11260  ax-pre-lttri 11261  ax-pre-lttrn 11262  ax-pre-ltadd 11263  ax-pre-mulgt0 11264  ax-riotaBAD 38929

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4933  df-int 4972  df-iun 5018  df-iin 5019  df-br 5168  df-opab 5230  df-mpt 5251  df-tr 5285  df-id 5594  df-eprel 5600  df-po 5608  df-so 5609  df-fr 5653  df-we 5655  df-xp 5707  df-rel 5708  df-cnv 5709  df-co 5710  df-dm 5711  df-rn 5712  df-res 5713  df-ima 5714  df-pred 6335  df-ord 6401  df-on 6402  df-lim 6403  df-suc 6404  df-iota 6528  df-fun 6578  df-fn 6579  df-f 6580  df-f1 6581  df-fo 6582  df-f1o 6583  df-fv 6584  df-riota 7407  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7717  df-om 7907  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-tpos 8270  df-undef 8317  df-frecs 8325  df-wrecs 8356  df-recs 8430  df-rdg 8469  df-1o 8525  df-2o 8526  df-er 8766  df-map 8889  df-en 9007  df-dom 9008  df-sdom 9009  df-fin 9010  df-pnf 11329  df-mnf 11330  df-xr 11331  df-ltxr 11332  df-le 11333  df-sub 11526  df-neg 11527  df-nn 12299  df-2 12361  df-3 12362  df-4 12363  df-5 12364  df-6 12365  df-n0 12559  df-z 12646  df-uz 12911  df-fz 13579  df-struct 17214  df-sets 17231  df-slot 17249  df-ndx 17261  df-base 17279  df-ress 17308  df-plusg 17344  df-mulr 17345  df-sca 17347  df-vsca 17348  df-0g 17521  df-mre 17664  df-mrc 17665  df-acs 17667  df-proset 18385  df-poset 18403  df-plt 18420  df-lub 18436  df-glb 18437  df-join 18438  df-meet 18439  df-p0 18515  df-p1 18516  df-lat 18522  df-clat 18589  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18839  df-grp 18996  df-minusg 18997  df-sbg 18998  df-subg 19183  df-cntz 19377  df-oppg 19406  df-lsm 19698  df-cmn 19844  df-abl 19845  df-mgp 20182  df-rng 20200  df-ur 20229  df-ring 20282  df-oppr 20380  df-dvdsr 20403  df-unit 20404  df-invr 20434  df-dvr 20447  df-nzr 20559  df-rlreg 20736  df-domn 20737  df-drng 20773  df-lmod 20902  df-lss 20973  df-lsp 21013  df-lvec 21145  df-lsatoms 38952  df-lshyp 38953  df-lcv 38995  df-lfl 39034  df-lkr 39062  df-ldual 39100  df-oposet 39152  df-ol 39154  df-oml 39155  df-covers 39242  df-ats 39243  df-atl 39274  df-cvlat 39298  df-hlat 39327  df-llines 39475  df-lplanes 39476  df-lvols 39477  df-lines 39478  df-psubsp 39480  df-pmap 39481  df-padd 39773  df-lhyp 39965  df-laut 39966  df-ldil 40081  df-ltrn 40082  df-trl 40136  df-tgrp 40720  df-tendo 40732  df-edring 40734  df-dveca 40980  df-disoa 41006  df-dvech 41056  df-dib 41116  df-dic 41150  df-dih 41206  df-doch 41325  df-djh 41372  df-lcdual 41564  df-hvmap 41734

This theorem is referenced by:  hvmapcl2  41743