Theorem hvmap1o2 41715

Description: The vector to functional map provides a bijection from nonzero vectors 𝑉 to nonzero functionals with closed kernels 𝐶. (Contributed by NM, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvmap1o2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hvmap1o2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hvmap1o2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hvmap1o2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hvmap1o2.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hvmap1o2.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
hvmap1o2.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐶)
hvmap1o2.m	⊢ 𝑀 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hvmap1o2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
hvmap1o2	⊢ (𝜑 → 𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐹 ∖ {𝑂}))

Proof of Theorem hvmap1o2

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmap1o2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		hvmap1o2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		hvmap1o2.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		hvmap1o2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		eqid 2740	. . 3 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
7		eqid 2740	. . 3 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
8		eqid 2740	. . 3 ⊢ (LDual‘𝑈) = (LDual‘𝑈)
9		eqid 2740	. . 3 ⊢ (0g‘(LDual‘𝑈)) = (0g‘(LDual‘𝑈))
10		eqid 2740	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}
11		hvmap1o2.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
12		hvmap1o2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	hvmap1o 41713	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∖ {(0g‘(LDual‘𝑈))}))
14		hvmap1o2.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
15		hvmap1o2.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
16	1, 2, 14, 15, 3, 6, 7, 10, 12	lcdvbase 41543	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
17		hvmap1o2.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐶)
18	1, 3, 8, 9, 14, 17, 12	lcd0v2 41562	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (0g‘(LDual‘𝑈)))
19	18	sneqd 4660	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑂} = {(0g‘(LDual‘𝑈))})
20	16, 19	difeq12d 4150	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∖ {𝑂}) = ({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∖ {(0g‘(LDual‘𝑈))}))
21		f1oeq3 6847	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∖ {𝑂}) = ({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∖ {(0g‘(LDual‘𝑈))}) → (𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐹 ∖ {𝑂}) ↔ 𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∖ {(0g‘(LDual‘𝑈))})))
22	20, 21	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐹 ∖ {𝑂}) ↔ 𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} ∖ {(0g‘(LDual‘𝑈))})))
23	13, 22	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀:(𝑉 ∖ { 0 })–1-1-onto→(𝐹 ∖ {𝑂}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443   ∖ cdif 3973  {csn 4648  –1-1-onto→wf1o 6567  ‘cfv 6568  Basecbs 17252  0_gc0g 17493  LFnlclfn 39006  LKerclk 39034  LDualcld 39072  HLchlt 39299  LHypclh 39934  DVecHcdvh 41028  ocHcoch 41297  LCDualclcd 41536  HVMapchvm 41706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7764  ax-cnex 11234  ax-resscn 11235  ax-1cn 11236  ax-icn 11237  ax-addcl 11238  ax-addrcl 11239  ax-mulcl 11240  ax-mulrcl 11241  ax-mulcom 11242  ax-addass 11243  ax-mulass 11244  ax-distr 11245  ax-i2m1 11246  ax-1ne0 11247  ax-1rid 11248  ax-rnegex 11249  ax-rrecex 11250  ax-cnre 11251  ax-pre-lttri 11252  ax-pre-lttrn 11253  ax-pre-ltadd 11254  ax-pre-mulgt0 11255  ax-riotaBAD 38902

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5650  df-we 5652  df-xp 5701  df-rel 5702  df-cnv 5703  df-co 5704  df-dm 5705  df-rn 5706  df-res 5707  df-ima 5708  df-pred 6327  df-ord 6393  df-on 6394  df-lim 6395  df-suc 6396  df-iota 6520  df-fun 6570  df-fn 6571  df-f 6572  df-f1 6573  df-fo 6574  df-f1o 6575  df-fv 6576  df-riota 7399  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7708  df-om 7898  df-1st 8024  df-2nd 8025  df-tpos 8261  df-undef 8308  df-frecs 8316  df-wrecs 8347  df-recs 8421  df-rdg 8460  df-1o 8516  df-2o 8517  df-er 8757  df-map 8880  df-en 8998  df-dom 8999  df-sdom 9000  df-fin 9001  df-pnf 11320  df-mnf 11321  df-xr 11322  df-ltxr 11323  df-le 11324  df-sub 11516  df-neg 11517  df-nn 12288  df-2 12350  df-3 12351  df-4 12352  df-5 12353  df-6 12354  df-n0 12548  df-z 12634  df-uz 12898  df-fz 13562  df-struct 17188  df-sets 17205  df-slot 17223  df-ndx 17235  df-base 17253  df-ress 17282  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-0g 17495  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-proset 18359  df-poset 18377  df-plt 18394  df-lub 18410  df-glb 18411  df-join 18412  df-meet 18413  df-p0 18489  df-p1 18490  df-lat 18496  df-clat 18563  df-mgm 18672  df-sgrp 18751  df-mnd 18767  df-submnd 18813  df-grp 18970  df-minusg 18971  df-sbg 18972  df-subg 19157  df-cntz 19351  df-oppg 19380  df-lsm 19672  df-cmn 19818  df-abl 19819  df-mgp 20156  df-rng 20174  df-ur 20203  df-ring 20256  df-oppr 20354  df-dvdsr 20377  df-unit 20378  df-invr 20408  df-dvr 20421  df-nzr 20533  df-rlreg 20710  df-domn 20711  df-drng 20747  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-lvec 21119  df-lsatoms 38925  df-lshyp 38926  df-lcv 38968  df-lfl 39007  df-lkr 39035  df-ldual 39073  df-oposet 39125  df-ol 39127  df-oml 39128  df-covers 39215  df-ats 39216  df-atl 39247  df-cvlat 39271  df-hlat 39300  df-llines 39448  df-lplanes 39449  df-lvols 39450  df-lines 39451  df-psubsp 39453  df-pmap 39454  df-padd 39746  df-lhyp 39938  df-laut 39939  df-ldil 40054  df-ltrn 40055  df-trl 40109  df-tgrp 40693  df-tendo 40705  df-edring 40707  df-dveca 40953  df-disoa 40979  df-dvech 41029  df-dib 41089  df-dic 41123  df-dih 41179  df-doch 41298  df-djh 41345  df-lcdual 41537  df-hvmap 41707

This theorem is referenced by:  hvmapcl2  41716