Theorem lcdlmod 39613

Description: The dual vector space of functionals with closed kernels is a left module. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdlmod.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdlmod.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdlmod.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcdlmod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)

Proof of Theorem lcdlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdlmod.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcdlmod.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdlmod.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlvec 39612	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
5		lveclmod 20377	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ LVec → 𝐶 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6437  LModclmod 20132  LVecclvec 20373  HLchlt 37371  LHypclh 38005  LCDualclcd 39607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-riotaBAD 36974

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-of 7542  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-tpos 8051  df-undef 8098  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-er 8507  df-map 8626  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-fz 13249  df-struct 16857  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-ress 16951  df-plusg 16984  df-mulr 16985  df-sca 16987  df-vsca 16988  df-0g 17161  df-mre 17304  df-mrc 17305  df-acs 17307  df-proset 18022  df-poset 18040  df-plt 18057  df-lub 18073  df-glb 18074  df-join 18075  df-meet 18076  df-p0 18152  df-p1 18153  df-lat 18159  df-clat 18226  df-mgm 18335  df-sgrp 18384  df-mnd 18395  df-submnd 18440  df-grp 18589  df-minusg 18590  df-sbg 18591  df-subg 18761  df-cntz 18932  df-oppg 18959  df-lsm 19250  df-cmn 19397  df-abl 19398  df-mgp 19730  df-ur 19747  df-ring 19794  df-oppr 19871  df-dvdsr 19892  df-unit 19893  df-invr 19923  df-dvr 19934  df-drng 20002  df-lmod 20134  df-lss 20203  df-lsp 20243  df-lvec 20374  df-lsatoms 36997  df-lshyp 36998  df-lcv 37040  df-lfl 37079  df-lkr 37107  df-ldual 37145  df-oposet 37197  df-ol 37199  df-oml 37200  df-covers 37287  df-ats 37288  df-atl 37319  df-cvlat 37343  df-hlat 37372  df-llines 37519  df-lplanes 37520  df-lvols 37521  df-lines 37522  df-psubsp 37524  df-pmap 37525  df-padd 37817  df-lhyp 38009  df-laut 38010  df-ldil 38125  df-ltrn 38126  df-trl 38180  df-tgrp 38764  df-tendo 38776  df-edring 38778  df-dveca 39024  df-disoa 39050  df-dvech 39100  df-dib 39160  df-dic 39194  df-dih 39250  df-doch 39369  df-djh 39416  df-lcdual 39608

This theorem is referenced by:  lcdvscl  39626  lcdlssvscl  39627  lcdvsass  39628  lcd0vcl  39635  lcd0vs  39636  lcdvs0N  39637  lcdvsub  39638  lcdvsubval  39639  mapdcv  39681  mapdincl  39682  mapdin  39683  mapdlsmcl  39684  mapdlsm  39685  mapdcnvatN  39687  mapdspex  39689  mapdn0  39690  mapdindp  39692  mapdpglem2  39694  mapdpglem2a  39695  mapdpglem3  39696  mapdpglem5N  39698  mapdpglem6  39699  mapdpglem8  39700  mapdpglem12  39704  mapdpglem13  39705  mapdpglem21  39713  mapdpglem30a  39716  mapdpglem30b  39717  mapdpglem27  39720  mapdpglem28  39722  mapdpglem30  39723  mapdpglem31  39724  mapdheq2  39750  mapdh6aN  39756  mapdh6bN  39758  mapdh6cN  39759  mapdh6dN  39760  mapdh6hN  39764  hdmap1l6a  39830  hdmap1l6b  39832  hdmap1l6c  39833  hdmap1l6d  39834  hdmap1l6h  39838  hdmap10  39861  hdmapeq0  39865  hdmapneg  39867  hdmap11  39869  hdmaprnlem3N  39871  hdmaprnlem3uN  39872  hdmaprnlem7N  39876  hdmaprnlem8N  39877  hdmaprnlem9N  39878  hdmaprnlem3eN  39879  hdmaprnlem16N  39883  hdmap14lem2a  39888  hdmap14lem4a  39892  hdmap14lem6  39894  hdmap14lem8  39896  hdmap14lem13  39901  hgmapval1  39914  hgmapadd  39915  hgmapmul  39916  hgmaprnlem2N  39918  hgmaprnlem4N  39920  hdmaplkr  39934