Theorem lcdlmod 42530

Description: The dual vector space of functionals with closed kernels is a left module. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdlmod.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdlmod.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdlmod.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcdlmod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)

Proof of Theorem lcdlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdlmod.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcdlmod.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdlmod.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlvec 42529	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
5		lveclmod 21320	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ LVec → 𝐶 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6535  LModclmod 21074  LVecclvec 21316  HLchlt 40288  LHypclh 40922  LCDualclcd 42524

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-riotaBAD 39891

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8229  df-undef 8276  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-fz 13587  df-struct 17264  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-ress 17348  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-sca 17383  df-vsca 17384  df-0g 17551  df-mre 17695  df-mrc 17696  df-acs 17698  df-proset 18407  df-poset 18426  df-plt 18441  df-lub 18457  df-glb 18458  df-join 18459  df-meet 18460  df-p0 18536  df-p1 18537  df-lat 18545  df-clat 18612  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-submnd 18918  df-grp 19086  df-minusg 19087  df-sbg 19088  df-subg 19272  df-cntz 19470  df-oppg 19499  df-lsm 19789  df-cmn 19935  df-abl 19936  df-mgp 20300  df-rng 20314  df-ur 20347  df-ring 20400  df-oppr 20506  df-dvdsr 20526  df-unit 20527  df-invr 20557  df-dvr 20570  df-nzr 20702  df-rlreg 20885  df-domn 20886  df-drng 20921  df-lmod 21076  df-lss 21146  df-lsp 21186  df-lvec 21317  df-lsatoms 39914  df-lshyp 39915  df-lcv 39957  df-lfl 39996  df-lkr 40024  df-ldual 40062  df-oposet 40114  df-ol 40116  df-oml 40117  df-covers 40204  df-ats 40205  df-atl 40236  df-cvlat 40260  df-hlat 40289  df-llines 40436  df-lplanes 40437  df-lvols 40438  df-lines 40439  df-psubsp 40441  df-pmap 40442  df-padd 40734  df-lhyp 40926  df-laut 40927  df-ldil 41042  df-ltrn 41043  df-trl 41097  df-tgrp 41681  df-tendo 41693  df-edring 41695  df-dveca 41941  df-disoa 41967  df-dvech 42017  df-dib 42077  df-dic 42111  df-dih 42167  df-doch 42286  df-djh 42333  df-lcdual 42525

This theorem is used by:  lcdvscl  42543  lcdlssvscl  42544  lcdvsass  42545  lcd0vcl  42552  lcd0vs  42553  lcdvs0N  42554  lcdvsub  42555  lcdvsubval  42556  mapdcv  42598  mapdincl  42599  mapdin  42600  mapdlsmcl  42601  mapdlsm  42602  mapdcnvatN  42604  mapdspex  42606  mapdn0  42607  mapdindp  42609  mapdpglem2  42611  mapdpglem2a  42612  mapdpglem3  42613  mapdpglem5N  42615  mapdpglem6  42616  mapdpglem8  42617  mapdpglem12  42621  mapdpglem13  42622  mapdpglem21  42630  mapdpglem30a  42633  mapdpglem30b  42634  mapdpglem27  42637  mapdpglem28  42639  mapdpglem30  42640  mapdpglem31  42641  mapdheq2  42667  mapdh6aN  42673  mapdh6bN  42675  mapdh6cN  42676  mapdh6dN  42677  mapdh6hN  42681  hdmap1l6a  42747  hdmap1l6b  42749  hdmap1l6c  42750  hdmap1l6d  42751  hdmap1l6h  42755  hdmap10  42778  hdmapeq0  42782  hdmapneg  42784  hdmap11  42786  hdmaprnlem3N  42788  hdmaprnlem3uN  42789  hdmaprnlem7N  42793  hdmaprnlem8N  42794  hdmaprnlem9N  42795  hdmaprnlem3eN  42796  hdmaprnlem16N  42800  hdmap14lem2a  42805  hdmap14lem4a  42809  hdmap14lem6  42811  hdmap14lem8  42813  hdmap14lem13  42818  hgmapval1  42831  hgmapadd  42832  hgmapmul  42833  hgmaprnlem2N  42835  hgmaprnlem4N  42837  hdmaplkr  42851