Theorem lcdlmod 41874

Description: The dual vector space of functionals with closed kernels is a left module. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdlmod.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdlmod.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdlmod.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcdlmod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)

Proof of Theorem lcdlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdlmod.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcdlmod.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdlmod.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlvec 41873	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
5		lveclmod 21060	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ LVec → 𝐶 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  LModclmod 20813  LVecclvec 21056  HLchlt 39632  LHypclh 40266  LCDualclcd 41868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-riotaBAD 39235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-undef 8215  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-fz 13426  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-0g 17363  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-proset 18219  df-poset 18238  df-plt 18253  df-lub 18269  df-glb 18270  df-join 18271  df-meet 18272  df-p0 18348  df-p1 18349  df-lat 18357  df-clat 18424  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-cntz 19248  df-oppg 19277  df-lsm 19567  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-rng 20090  df-ur 20119  df-ring 20172  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-nzr 20448  df-rlreg 20629  df-domn 20630  df-drng 20666  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-lsp 20925  df-lvec 21057  df-lsatoms 39258  df-lshyp 39259  df-lcv 39301  df-lfl 39340  df-lkr 39368  df-ldual 39406  df-oposet 39458  df-ol 39460  df-oml 39461  df-covers 39548  df-ats 39549  df-atl 39580  df-cvlat 39604  df-hlat 39633  df-llines 39780  df-lplanes 39781  df-lvols 39782  df-lines 39783  df-psubsp 39785  df-pmap 39786  df-padd 40078  df-lhyp 40270  df-laut 40271  df-ldil 40386  df-ltrn 40387  df-trl 40441  df-tgrp 41025  df-tendo 41037  df-edring 41039  df-dveca 41285  df-disoa 41311  df-dvech 41361  df-dib 41421  df-dic 41455  df-dih 41511  df-doch 41630  df-djh 41677  df-lcdual 41869

This theorem is referenced by:  lcdvscl  41887  lcdlssvscl  41888  lcdvsass  41889  lcd0vcl  41896  lcd0vs  41897  lcdvs0N  41898  lcdvsub  41899  lcdvsubval  41900  mapdcv  41942  mapdincl  41943  mapdin  41944  mapdlsmcl  41945  mapdlsm  41946  mapdcnvatN  41948  mapdspex  41950  mapdn0  41951  mapdindp  41953  mapdpglem2  41955  mapdpglem2a  41956  mapdpglem3  41957  mapdpglem5N  41959  mapdpglem6  41960  mapdpglem8  41961  mapdpglem12  41965  mapdpglem13  41966  mapdpglem21  41974  mapdpglem30a  41977  mapdpglem30b  41978  mapdpglem27  41981  mapdpglem28  41983  mapdpglem30  41984  mapdpglem31  41985  mapdheq2  42011  mapdh6aN  42017  mapdh6bN  42019  mapdh6cN  42020  mapdh6dN  42021  mapdh6hN  42025  hdmap1l6a  42091  hdmap1l6b  42093  hdmap1l6c  42094  hdmap1l6d  42095  hdmap1l6h  42099  hdmap10  42122  hdmapeq0  42126  hdmapneg  42128  hdmap11  42130  hdmaprnlem3N  42132  hdmaprnlem3uN  42133  hdmaprnlem7N  42137  hdmaprnlem8N  42138  hdmaprnlem9N  42139  hdmaprnlem3eN  42140  hdmaprnlem16N  42144  hdmap14lem2a  42149  hdmap14lem4a  42153  hdmap14lem6  42155  hdmap14lem8  42157  hdmap14lem13  42162  hgmapval1  42175  hgmapadd  42176  hgmapmul  42177  hgmaprnlem2N  42179  hgmaprnlem4N  42181  hdmaplkr  42195