Theorem lcdlmod 40511

Description: The dual vector space of functionals with closed kernels is a left module. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdlmod.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdlmod.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdlmod.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcdlmod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)

Proof of Theorem lcdlmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdlmod.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcdlmod.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdlmod.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlvec 40510	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
5		lveclmod 20717	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ LVec → 𝐶 ∈ LMod)
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  LModclmod 20471  LVecclvec 20713  HLchlt 38268  LHypclh 38903  LCDualclcd 40505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-riotaBAD 37871

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-undef 8258  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-0g 17387  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-oppg 19210  df-lsm 19504  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lvec 20714  df-lsatoms 37894  df-lshyp 37895  df-lcv 37937  df-lfl 37976  df-lkr 38004  df-ldual 38042  df-oposet 38094  df-ol 38096  df-oml 38097  df-covers 38184  df-ats 38185  df-atl 38216  df-cvlat 38240  df-hlat 38269  df-llines 38417  df-lplanes 38418  df-lvols 38419  df-lines 38420  df-psubsp 38422  df-pmap 38423  df-padd 38715  df-lhyp 38907  df-laut 38908  df-ldil 39023  df-ltrn 39024  df-trl 39078  df-tgrp 39662  df-tendo 39674  df-edring 39676  df-dveca 39922  df-disoa 39948  df-dvech 39998  df-dib 40058  df-dic 40092  df-dih 40148  df-doch 40267  df-djh 40314  df-lcdual 40506

This theorem is referenced by:  lcdvscl  40524  lcdlssvscl  40525  lcdvsass  40526  lcd0vcl  40533  lcd0vs  40534  lcdvs0N  40535  lcdvsub  40536  lcdvsubval  40537  mapdcv  40579  mapdincl  40580  mapdin  40581  mapdlsmcl  40582  mapdlsm  40583  mapdcnvatN  40585  mapdspex  40587  mapdn0  40588  mapdindp  40590  mapdpglem2  40592  mapdpglem2a  40593  mapdpglem3  40594  mapdpglem5N  40596  mapdpglem6  40597  mapdpglem8  40598  mapdpglem12  40602  mapdpglem13  40603  mapdpglem21  40611  mapdpglem30a  40614  mapdpglem30b  40615  mapdpglem27  40618  mapdpglem28  40620  mapdpglem30  40621  mapdpglem31  40622  mapdheq2  40648  mapdh6aN  40654  mapdh6bN  40656  mapdh6cN  40657  mapdh6dN  40658  mapdh6hN  40662  hdmap1l6a  40728  hdmap1l6b  40730  hdmap1l6c  40731  hdmap1l6d  40732  hdmap1l6h  40736  hdmap10  40759  hdmapeq0  40763  hdmapneg  40765  hdmap11  40767  hdmaprnlem3N  40769  hdmaprnlem3uN  40770  hdmaprnlem7N  40774  hdmaprnlem8N  40775  hdmaprnlem9N  40776  hdmaprnlem3eN  40777  hdmaprnlem16N  40781  hdmap14lem2a  40786  hdmap14lem4a  40790  hdmap14lem6  40792  hdmap14lem8  40794  hdmap14lem13  40799  hgmapval1  40812  hgmapadd  40813  hgmapmul  40814  hgmaprnlem2N  40816  hgmaprnlem4N  40818  hdmaplkr  40832