Theorem lcdlss2N 41329

Description: Subspaces of a dual vector space of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdlss2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdlss2.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdlss2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐶)
lcdlss2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐶)
lcdlss2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdlss2.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcdlss2.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
lcdlss2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcdlss2N	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝑉))

Proof of Theorem lcdlss2N

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdlss2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2726	. . 3 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdlss2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
4		lcdlss2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐶)
5		lcdlss2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2726	. . 3 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
7		eqid 2726	. . 3 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
8		lcdlss2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
9		lcdlss2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
10		eqid 2726	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}
11		lcdlss2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	lcdlss 41328	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑇 ∩ 𝒫 {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
13		lcdlss2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐶)
14	1, 2, 3, 13, 5, 6, 7, 10, 11	lcdvbase 41302	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
15	14	pweqd 4614	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑉 = 𝒫 {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
16	15	ineq2d 4210	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝒫 𝑉) = (𝑇 ∩ 𝒫 {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
17	12, 16	eqtr4d 2769	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3419   ∩ cin 3945  𝒫 cpw 4597  ‘cfv 6543  Basecbs 17205  LSubSpclss 20901  LFnlclfn 38765  LKerclk 38793  LDualcld 38831  HLchlt 39058  LHypclh 39693  DVecHcdvh 40787  ocHcoch 41056  LCDualclcd 41295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-riotaBAD 38661

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8230  df-undef 8277  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12256  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-n0 12516  df-z 12602  df-uz 12866  df-fz 13530  df-struct 17141  df-sets 17158  df-slot 17176  df-ndx 17188  df-base 17206  df-ress 17235  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-0g 17448  df-mre 17591  df-mrc 17592  df-acs 17594  df-proset 18312  df-poset 18330  df-plt 18347  df-lub 18363  df-glb 18364  df-join 18365  df-meet 18366  df-p0 18442  df-p1 18443  df-lat 18449  df-clat 18516  df-mgm 18625  df-sgrp 18704  df-mnd 18720  df-submnd 18766  df-grp 18923  df-minusg 18924  df-sbg 18925  df-subg 19110  df-cntz 19304  df-oppg 19333  df-lsm 19627  df-cmn 19773  df-abl 19774  df-mgp 20111  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-oppr 20309  df-dvdsr 20332  df-unit 20333  df-invr 20363  df-dvr 20376  df-nzr 20488  df-rlreg 20665  df-domn 20666  df-drng 20702  df-lmod 20831  df-lss 20902  df-lsp 20942  df-lvec 21074  df-lsatoms 38684  df-lshyp 38685  df-lcv 38727  df-lfl 38766  df-lkr 38794  df-ldual 38832  df-oposet 38884  df-ol 38886  df-oml 38887  df-covers 38974  df-ats 38975  df-atl 39006  df-cvlat 39030  df-hlat 39059  df-llines 39207  df-lplanes 39208  df-lvols 39209  df-lines 39210  df-psubsp 39212  df-pmap 39213  df-padd 39505  df-lhyp 39697  df-laut 39698  df-ldil 39813  df-ltrn 39814  df-trl 39868  df-tgrp 40452  df-tendo 40464  df-edring 40466  df-dveca 40712  df-disoa 40738  df-dvech 40788  df-dib 40848  df-dic 40882  df-dih 40938  df-doch 41057  df-djh 41104  df-lcdual 41296

This theorem is referenced by: (None)