Theorem lcdlss2N 42241

Description: Subspaces of a dual vector space of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 13-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdlss2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdlss2.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdlss2.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐶)
lcdlss2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐶)
lcdlss2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdlss2.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcdlss2.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
lcdlss2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
lcdlss2N	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝑉))

Proof of Theorem lcdlss2N

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdlss2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ ((ocH‘𝐾)‘𝑊) = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdlss2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
4		lcdlss2.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝐶)
5		lcdlss2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2762	. . 3 ⊢ (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
7		eqid 2762	. . 3 ⊢ (LKer‘𝑈) = (LKer‘𝑈)
8		lcdlss2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
9		lcdlss2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
10		eqid 2762	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}
11		lcdlss2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	lcdlss 42240	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑇 ∩ 𝒫 {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
13		lcdlss2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐶)
14	1, 2, 3, 13, 5, 6, 7, 10, 11	lcdvbase 42214	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
15	14	pweqd 4572	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑉 = 𝒫 {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)})
16	15	ineq2d 4172	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝒫 𝑉) = (𝑇 ∩ 𝒫 {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ (((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘(((ocH‘𝐾)‘𝑊)‘((LKer‘𝑈)‘𝑓))) = ((LKer‘𝑈)‘𝑓)}))
17	12, 16	eqtr4d 2800	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑇 ∩ 𝒫 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  {crab 3414   ∩ cin 3903  𝒫 cpw 4555  ‘cfv 6521  Basecbs 17245  LSubSpclss 20995  LFnlclfn 39678  LKerclk 39706  LDualcld 39744  HLchlt 39971  LHypclh 40605  DVecHcdvh 41699  ocHcoch 41968  LCDualclcd 42207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-riotaBAD 39574

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-0g 17470  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-proset 18326  df-poset 18345  df-plt 18360  df-lub 18376  df-glb 18377  df-join 18378  df-meet 18379  df-p0 18455  df-p1 18456  df-lat 18464  df-clat 18531  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-subg 19165  df-cntz 19357  df-oppg 19386  df-lsm 19676  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20228  df-ring 20281  df-oppr 20382  df-dvdsr 20402  df-unit 20403  df-invr 20433  df-dvr 20446  df-nzr 20559  df-rlreg 20740  df-domn 20741  df-drng 20777  df-lmod 20926  df-lss 20996  df-lsp 21036  df-lvec 21167  df-lsatoms 39597  df-lshyp 39598  df-lcv 39640  df-lfl 39679  df-lkr 39707  df-ldual 39745  df-oposet 39797  df-ol 39799  df-oml 39800  df-covers 39887  df-ats 39888  df-atl 39919  df-cvlat 39943  df-hlat 39972  df-llines 40119  df-lplanes 40120  df-lvols 40121  df-lines 40122  df-psubsp 40124  df-pmap 40125  df-padd 40417  df-lhyp 40609  df-laut 40610  df-ldil 40725  df-ltrn 40726  df-trl 40780  df-tgrp 41364  df-tendo 41376  df-edring 41378  df-dveca 41624  df-disoa 41650  df-dvech 41700  df-dib 41760  df-dic 41794  df-dih 41850  df-doch 41969  df-djh 42016  df-lcdual 42208

This theorem is referenced by: (None)