Theorem lcfl5a 41120

Description: Property of a functional with a closed kernel. TODO: Make lcfl5 41119 etc. obsolete and rewrite without 𝐶 hypothesis? (Contributed by NM, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfl5a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl5a.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl5a.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl5a.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl5a.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl5a.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl5a.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfl5a.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lcfl5a	⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺) ↔ (𝐿‘𝐺) ∈ ran 𝐼))

Proof of Theorem lcfl5a

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2725	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
2		lcfl5a.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
3	1, 2	lcfl1 41115	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
4		lcfl5a.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		lcfl5a.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6		lcfl5a.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7		lcfl5a.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		lcfl5a.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9		lcfl5a.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
10		lcfl5a.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 10, 2	lcfl5 41119	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)} ↔ (𝐿‘𝐺) ∈ ran 𝐼))
12	3, 11	bitr3d 280	1 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺) ↔ (𝐿‘𝐺) ∈ ran 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3418  ran crn 5679  ‘cfv 6549  LFnlclfn 38679  LKerclk 38707  HLchlt 38972  LHypclh 39607  DVecHcdvh 40701  DIsoHcdih 40851  ocHcoch 40970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-riotaBAD 38575

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-undef 8279  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17135  df-sets 17152  df-slot 17170  df-ndx 17182  df-base 17200  df-ress 17229  df-plusg 17265  df-mulr 17266  df-sca 17268  df-vsca 17269  df-0g 17442  df-proset 18306  df-poset 18324  df-plt 18341  df-lub 18357  df-glb 18358  df-join 18359  df-meet 18360  df-p0 18436  df-p1 18437  df-lat 18443  df-clat 18510  df-mgm 18619  df-sgrp 18698  df-mnd 18714  df-submnd 18760  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919  df-subg 19103  df-cntz 19297  df-lsm 19620  df-cmn 19766  df-abl 19767  df-mgp 20104  df-rng 20122  df-ur 20151  df-ring 20204  df-oppr 20302  df-dvdsr 20325  df-unit 20326  df-invr 20356  df-dvr 20369  df-drng 20655  df-lmod 20774  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-lvec 21017  df-lfl 38680  df-lkr 38708  df-oposet 38798  df-ol 38800  df-oml 38801  df-covers 38888  df-ats 38889  df-atl 38920  df-cvlat 38944  df-hlat 38973  df-llines 39121  df-lplanes 39122  df-lvols 39123  df-lines 39124  df-psubsp 39126  df-pmap 39127  df-padd 39419  df-lhyp 39611  df-laut 39612  df-ldil 39727  df-ltrn 39728  df-trl 39782  df-tendo 40378  df-edring 40380  df-disoa 40652  df-dvech 40702  df-dib 40762  df-dic 40796  df-dih 40852  df-doch 40971

This theorem is referenced by:  lclkrslem2  41161