Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem18 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem18 39990
Description: Lemma for lcfr 40015. (Contributed by NM, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem17.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem17.p + = (+g𝑈)
lcfrlem17.z 0 = (0g𝑈)
lcfrlem17.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem17.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
lcfrlem17.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem17.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem18 (𝜑 → ( ‘{𝑋, 𝑌}) = (( ‘{𝑋}) ∩ ( ‘{𝑌})))

Proof of Theorem lcfrlem18
StepHypRef Expression
1 df-pr 4587 . . 3 {𝑋, 𝑌} = ({𝑋} ∪ {𝑌})
21fveq2i 6842 . 2 ( ‘{𝑋, 𝑌}) = ( ‘({𝑋} ∪ {𝑌}))
3 lcfrlem17.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
4 lcfrlem17.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
54eldifad 3920 . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
65snssd 4767 . . 3 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
7 lcfrlem17.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
87eldifad 3920 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
98snssd 4767 . . 3 (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
10 lcfrlem17.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11 lcfrlem17.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12 lcfrlem17.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
13 lcfrlem17.o . . . 4 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
1410, 11, 12, 13dochdmj1 39820 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉 ∧ {𝑌} ⊆ 𝑉) → ( ‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = (( ‘{𝑋}) ∩ ( ‘{𝑌})))
153, 6, 9, 14syl3anc 1371 . 2 (𝜑 → ( ‘({𝑋} ∪ {𝑌})) = (( ‘{𝑋}) ∩ ( ‘{𝑌})))
162, 15eqtrid 2788 1 (𝜑 → ( ‘{𝑋, 𝑌}) = (( ‘{𝑋}) ∩ ( ‘{𝑌})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  cdif 3905  cun 3906  cin 3907  wss 3908  {csn 4584  {cpr 4586  cfv 6493  Basecbs 17075  +gcplusg 17125  0gc0g 17313  LSpanclspn 20417  LSAtomsclsa 37403  HLchlt 37779  LHypclh 38414  DVecHcdvh 39508  ocHcoch 39777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-riotaBAD 37382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-tpos 8153  df-undef 8200  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-map 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-fz 13417  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-0g 17315  df-proset 18176  df-poset 18194  df-plt 18211  df-lub 18227  df-glb 18228  df-join 18229  df-meet 18230  df-p0 18306  df-p1 18307  df-lat 18313  df-clat 18380  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-submnd 18594  df-grp 18743  df-minusg 18744  df-sbg 18745  df-subg 18916  df-cntz 19088  df-lsm 19409  df-cmn 19555  df-abl 19556  df-mgp 19888  df-ur 19905  df-ring 19952  df-oppr 20034  df-dvdsr 20055  df-unit 20056  df-invr 20086  df-dvr 20097  df-drng 20172  df-lmod 20309  df-lss 20378  df-lsp 20418  df-lvec 20549  df-lsatoms 37405  df-oposet 37605  df-ol 37607  df-oml 37608  df-covers 37695  df-ats 37696  df-atl 37727  df-cvlat 37751  df-hlat 37780  df-llines 37928  df-lplanes 37929  df-lvols 37930  df-lines 37931  df-psubsp 37933  df-pmap 37934  df-padd 38226  df-lhyp 38418  df-laut 38419  df-ldil 38534  df-ltrn 38535  df-trl 38589  df-tendo 39185  df-edring 39187  df-disoa 39459  df-dvech 39509  df-dib 39569  df-dic 39603  df-dih 39659  df-doch 39778
This theorem is referenced by:  lcfrlem24  39996
  Copyright terms: Public domain W3C validator