Theorem ply1mulrtss 33571

Description: The roots of a factor 𝐹 are also roots of the product of polynomials (𝐹 · 𝐺). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1dg1rt.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1dg1rt.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
ply1dg1rt.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
ply1dg1rt.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1dg1rt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1mulrtss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1mulrtss.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑈)
ply1mulrtss.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
ply1mulrtss.1	⊢ · = (.r‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1mulrtss	⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) ⊆ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }))

Proof of Theorem ply1mulrtss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1dg1rt.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
2		ply1dg1rt.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		ply1dg1rt.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
4		ply1mulrtss.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		ply1mulrtss.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑈)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	evl1fvf 33554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
8	7	ffnd 6748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) Fn (Base‘𝑅))
9		fniniseg2 7095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂‘𝐹) Fn (Base‘𝑅) → (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 })
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 })
11	10	eleq2d 2830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 }))
12	11	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 })
13		rabid 3465	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 } ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 ))
14	12, 13	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 ))
15	14	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
16	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝑅 ∈ CRing)
17	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝐹 ∈ 𝑈)
18	14	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 )
19	17, 18	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → (𝐹 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 ))
20		ply1mulrtss.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝐺 ∈ 𝑈)
22		eqidd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = ((𝑂‘𝐺)‘𝑥))
23	21, 22	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → (𝐺 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = ((𝑂‘𝐺)‘𝑥)))
24		ply1mulrtss.1	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑃)
25		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
26	1, 2, 5, 3, 16, 15, 19, 23, 24, 25	evl1muld 22368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = ( 0 (.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑥))))
27	26	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = ( 0 (.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑥)))
28		ply1dg1rt.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
29	16	crngringd 20273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
30	1, 2, 5, 3, 16, 15, 21	fveval1fvcl 22358	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
31	5, 25, 28, 29, 30	ringlzd 20318	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ( 0 (.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑥)) = 0 )
32	27, 31	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 )
33	15, 32	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 ))
34		rabid 3465	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 } ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 ))
35	2	ply1crng 22221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
36	4, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CRing)
37	36	crngringd 20273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
38	3, 24, 37, 6, 20	ringcld 20286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝑈)
39	1, 2, 3, 4, 5, 38	evl1fvf 33554	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹 · 𝐺)):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
40	39	ffnd 6748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) Fn (Base‘𝑅))
41		fniniseg2 7095	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) Fn (Base‘𝑅) → (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 })
42	40, 41	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 })
43	42	eleq2d 2830	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 }))
44	43	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 }) → 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }))
45	34, 44	sylan2br 594	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 )) → 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }))
46	33, 45	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }))
47	46	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) → 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 })))
48	47	ssrdv 4014	1 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) ⊆ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443   ⊆ wss 3976  {csn 4648  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703   Fn wfn 6568  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17499  CRingccrg 20261  Poly₁cpl1 22199  eval₁ce1 22339  deg₁cdg1 26113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-srg 20214  df-ring 20262  df-cring 20263  df-rhm 20498  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-assa 21896  df-asp 21897  df-ascl 21898  df-psr 21952  df-mvr 21953  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-evls 22121  df-evl 22122  df-psr1 22202  df-ply1 22204  df-evl1 22341

This theorem is referenced by:  ply1dg3rt0irred  33572