Theorem ply1mulrtss 33591

Description: The roots of a factor 𝐹 are also roots of the product of polynomials (𝐹 · 𝐺). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1dg1rt.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1dg1rt.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
ply1dg1rt.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
ply1dg1rt.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1dg1rt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1mulrtss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1mulrtss.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑈)
ply1mulrtss.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
ply1mulrtss.1	⊢ · = (.r‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1mulrtss	⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) ⊆ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }))

Proof of Theorem ply1mulrtss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1dg1rt.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
2		ply1dg1rt.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		ply1dg1rt.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
4		ply1mulrtss.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		ply1mulrtss.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑈)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	evl1fvf 33572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
8	7	ffnd 6660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) Fn (Base‘𝑅))
9		fniniseg2 7004	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂‘𝐹) Fn (Base‘𝑅) → (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 })
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 })
11	10	eleq2d 2819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 }))
12	11	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 })
13		rabid 3417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 } ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 ))
14	12, 13	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 ))
15	14	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
16	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝑅 ∈ CRing)
17	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝐹 ∈ 𝑈)
18	14	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 )
19	17, 18	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → (𝐹 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 ))
20		ply1mulrtss.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝐺 ∈ 𝑈)
22		eqidd 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = ((𝑂‘𝐺)‘𝑥))
23	21, 22	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → (𝐺 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = ((𝑂‘𝐺)‘𝑥)))
24		ply1mulrtss.1	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑃)
25		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
26	1, 2, 5, 3, 16, 15, 19, 23, 24, 25	evl1muld 22278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = ( 0 (.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑥))))
27	26	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = ( 0 (.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑥)))
28		ply1dg1rt.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
29	16	crngringd 20172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
30	1, 2, 5, 3, 16, 15, 21	fveval1fvcl 22268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
31	5, 25, 28, 29, 30	ringlzd 20221	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ( 0 (.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑥)) = 0 )
32	27, 31	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 )
33	15, 32	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 ))
34		rabid 3417	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 } ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 ))
35	2	ply1crng 22130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
36	4, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CRing)
37	36	crngringd 20172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
38	3, 24, 37, 6, 20	ringcld 20186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝑈)
39	1, 2, 3, 4, 5, 38	evl1fvf 33572	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹 · 𝐺)):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
40	39	ffnd 6660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) Fn (Base‘𝑅))
41		fniniseg2 7004	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) Fn (Base‘𝑅) → (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 })
42	40, 41	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 })
43	42	eleq2d 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 }))
44	43	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 }) → 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }))
45	34, 44	sylan2br 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 )) → 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }))
46	33, 45	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }))
47	46	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) → 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 })))
48	47	ssrdv 3936	1 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) ⊆ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3396   ⊆ wss 3898  {csn 4577  ^◡ccnv 5620   “ cima 5624   Fn wfn 6484  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17127  ._rcmulr 17169  0_gc0g 17350  CRingccrg 20160  Poly₁cpl1 22108  eval₁ce1 22249  deg₁cdg1 26006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-ofr 7620  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-sup 9337  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-seq 13916  df-hash 14245  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-hom 17192  df-cco 17193  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-prds 17358  df-pws 17360  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-mhm 18699  df-submnd 18700  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-mulg 18989  df-subg 19044  df-ghm 19133  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-srg 20113  df-ring 20161  df-cring 20162  df-rhm 20399  df-subrng 20470  df-subrg 20494  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-lsp 20914  df-assa 21799  df-asp 21800  df-ascl 21801  df-psr 21856  df-mvr 21857  df-mpl 21858  df-opsr 21860  df-evls 22020  df-evl 22021  df-psr1 22111  df-ply1 22113  df-evl1 22251

This theorem is referenced by:  ply1dg3rt0irred  33593