Theorem ply1mulrtss 33537

Description: The roots of a factor 𝐹 are also roots of the product of polynomials (𝐹 · 𝐺). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1dg1rt.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1dg1rt.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
ply1dg1rt.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
ply1dg1rt.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1dg1rt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1mulrtss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1mulrtss.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑈)
ply1mulrtss.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
ply1mulrtss.1	⊢ · = (.r‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1mulrtss	⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) ⊆ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }))

Proof of Theorem ply1mulrtss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1dg1rt.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
2		ply1dg1rt.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		ply1dg1rt.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
4		ply1mulrtss.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		ply1mulrtss.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑈)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	evl1fvf 33518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
8	7	ffnd 6647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) Fn (Base‘𝑅))
9		fniniseg2 6990	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂‘𝐹) Fn (Base‘𝑅) → (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 })
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 })
11	10	eleq2d 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 }))
12	11	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 })
13		rabid 3416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 } ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 ))
14	12, 13	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 ))
15	14	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
16	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝑅 ∈ CRing)
17	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝐹 ∈ 𝑈)
18	14	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 )
19	17, 18	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → (𝐹 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 ))
20		ply1mulrtss.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝐺 ∈ 𝑈)
22		eqidd 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = ((𝑂‘𝐺)‘𝑥))
23	21, 22	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → (𝐺 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = ((𝑂‘𝐺)‘𝑥)))
24		ply1mulrtss.1	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑃)
25		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
26	1, 2, 5, 3, 16, 15, 19, 23, 24, 25	evl1muld 22253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = ( 0 (.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑥))))
27	26	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = ( 0 (.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑥)))
28		ply1dg1rt.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
29	16	crngringd 20159	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
30	1, 2, 5, 3, 16, 15, 21	fveval1fvcl 22243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
31	5, 25, 28, 29, 30	ringlzd 20208	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ( 0 (.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑥)) = 0 )
32	27, 31	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 )
33	15, 32	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 ))
34		rabid 3416	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 } ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 ))
35	2	ply1crng 22106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
36	4, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CRing)
37	36	crngringd 20159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
38	3, 24, 37, 6, 20	ringcld 20173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝑈)
39	1, 2, 3, 4, 5, 38	evl1fvf 33518	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹 · 𝐺)):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
40	39	ffnd 6647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) Fn (Base‘𝑅))
41		fniniseg2 6990	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) Fn (Base‘𝑅) → (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 })
42	40, 41	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 })
43	42	eleq2d 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 }))
44	43	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 }) → 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }))
45	34, 44	sylan2br 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 )) → 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }))
46	33, 45	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }))
47	46	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) → 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 })))
48	47	ssrdv 3935	1 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) ⊆ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395   ⊆ wss 3897  {csn 4571  ^◡ccnv 5610   “ cima 5614   Fn wfn 6471  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Basecbs 17115  ._rcmulr 17157  0_gc0g 17338  CRingccrg 20147  Poly₁cpl1 22084  eval₁ce1 22224  deg₁cdg1 25981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-ofr 7606  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-sup 9321  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-seq 13904  df-hash 14233  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-hom 17180  df-cco 17181  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-prds 17346  df-pws 17348  df-mre 17483  df-mrc 17484  df-acs 17486  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-ghm 19120  df-cntz 19224  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-srg 20100  df-ring 20148  df-cring 20149  df-rhm 20385  df-subrng 20456  df-subrg 20480  df-lmod 20790  df-lss 20860  df-lsp 20900  df-assa 21785  df-asp 21786  df-ascl 21787  df-psr 21841  df-mvr 21842  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-evls 22004  df-evl 22005  df-psr1 22087  df-ply1 22089  df-evl1 22226

This theorem is referenced by:  ply1dg3rt0irred  33538