Theorem ply1mulrtss 34161

Description: The roots of a factor 𝐹 are also roots of the product of polynomials (𝐹 · 𝐺). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1dg1rt.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1dg1rt.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
ply1dg1rt.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
ply1dg1rt.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1dg1rt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1mulrtss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1mulrtss.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑈)
ply1mulrtss.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
ply1mulrtss.1	⊢ · = (.r‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1mulrtss	⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) ⊆ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }))

Proof of Theorem ply1mulrtss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1dg1rt.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
2		ply1dg1rt.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		ply1dg1rt.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
4		ply1mulrtss.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5		eqid 2760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		ply1mulrtss.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑈)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	evl1fvf 34142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
8	7	ffnd 6711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) Fn (Base‘𝑅))
9		fniniseg2 7062	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂‘𝐹) Fn (Base‘𝑅) → (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 })
10	8, 9	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 })
11	10	eleq2d 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 }))
12	11	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 })
13		rabid 3432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 } ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 ))
14	12, 13	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 ))
15	14	simpld 500	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
16	4	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝑅 ∈ CRing)
17	6	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝐹 ∈ 𝑈)
18	14	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 )
19	17, 18	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → (𝐹 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 ))
20		ply1mulrtss.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
21	20	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝐺 ∈ 𝑈)
22		eqidd 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = ((𝑂‘𝐺)‘𝑥))
23	21, 22	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → (𝐺 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = ((𝑂‘𝐺)‘𝑥)))
24		ply1mulrtss.1	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑃)
25		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
26	1, 2, 5, 3, 16, 15, 19, 23, 24, 25	evl1muld 22667	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = ( 0 (.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑥))))
27	26	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = ( 0 (.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑥)))
28		ply1dg1rt.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
29	16	crngringd 20479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
30	1, 2, 5, 3, 16, 15, 21	fveval1fvcl 22657	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
31	5, 25, 28, 29, 30	ringlzd 20532	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ( 0 (.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑥)) = 0 )
32	27, 31	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 )
33	15, 32	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 ))
34		rabid 3432	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 } ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 ))
35	2	ply1crng 22522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
36	4, 35	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CRing)
37	36	crngringd 20479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
38	3, 24, 37, 6, 20	ringcld 20490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝑈)
39	1, 2, 3, 4, 5, 38	evl1fvf 34142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹 · 𝐺)):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
40	39	ffnd 6711	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) Fn (Base‘𝑅))
41		fniniseg2 7062	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) Fn (Base‘𝑅) → (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 })
42	40, 41	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 })
43	42	eleq2d 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 }))
44	43	biimpar 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 }) → 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }))
45	34, 44	sylan2br 607	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 )) → 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }))
46	33, 45	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }))
47	46	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) → 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 })))
48	47	ssrdv 3914	1 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) ⊆ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412   ⊆ wss 3895  {csn 4584  ^◡ccnv 5649   “ cima 5653   Fn wfn 6534  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  ._rcmulr 17435  0_gc0g 17616  CRingccrg 20466  Poly₁cpl1 22501  eval₁ce1 22638  deg₁cdg1 26378

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-ofr 7695  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-sup 9438  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-seq 14149  df-hash 14479  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-hom 17458  df-cco 17459  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-prds 17624  df-pws 17626  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-mhm 18984  df-submnd 18985  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155  df-mulg 19284  df-subg 19339  df-ghm 19434  df-cntz 19537  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-srg 20419  df-ring 20467  df-cring 20468  df-rhm 20708  df-subrng 20804  df-subrg 20828  df-lmod 21143  df-lss 21213  df-lsp 21253  df-assa 22167  df-asp 22168  df-ascl 22169  df-psr 22223  df-mvr 22224  df-mpl 22225  df-opsr 22227  df-evls 22389  df-evl 22390  df-psr1 22504  df-ply1 22506  df-evl1 22640

This theorem is used by:  ply1dg3rt0irred  34163