Theorem ply1mulrtss 33606

Description: The roots of a factor 𝐹 are also roots of the product of polynomials (𝐹 · 𝐺). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1dg1rt.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1dg1rt.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
ply1dg1rt.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
ply1dg1rt.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1dg1rt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1mulrtss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
ply1mulrtss.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑈)
ply1mulrtss.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
ply1mulrtss.1	⊢ · = (.r‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1mulrtss	⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) ⊆ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }))

Proof of Theorem ply1mulrtss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1dg1rt.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
2		ply1dg1rt.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		ply1dg1rt.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
4		ply1mulrtss.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		ply1mulrtss.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑈)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	evl1fvf 33589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
8	7	ffnd 6737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐹) Fn (Base‘𝑅))
9		fniniseg2 7082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂‘𝐹) Fn (Base‘𝑅) → (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 })
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 })
11	10	eleq2d 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 }))
12	11	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 })
13		rabid 3458	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 } ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 ))
14	12, 13	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 ))
15	14	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
16	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝑅 ∈ CRing)
17	6	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝐹 ∈ 𝑈)
18	14	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 )
19	17, 18	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → (𝐹 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝐹)‘𝑥) = 0 ))
20		ply1mulrtss.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝐺 ∈ 𝑈)
22		eqidd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = ((𝑂‘𝐺)‘𝑥))
23	21, 22	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → (𝐺 ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) = ((𝑂‘𝐺)‘𝑥)))
24		ply1mulrtss.1	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.r‘𝑃)
25		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
26	1, 2, 5, 3, 16, 15, 19, 23, 24, 25	evl1muld 22347	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝐹 · 𝐺) ∈ 𝑈 ∧ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = ( 0 (.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑥))))
27	26	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = ( 0 (.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑥)))
28		ply1dg1rt.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
29	16	crngringd 20243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
30	1, 2, 5, 3, 16, 15, 21	fveval1fvcl 22337	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝑂‘𝐺)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
31	5, 25, 28, 29, 30	ringlzd 20292	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ( 0 (.r‘𝑅)((𝑂‘𝐺)‘𝑥)) = 0 )
32	27, 31	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 )
33	15, 32	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 ))
34		rabid 3458	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 } ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 ))
35	2	ply1crng 22200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
36	4, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CRing)
37	36	crngringd 20243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
38	3, 24, 37, 6, 20	ringcld 20257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) ∈ 𝑈)
39	1, 2, 3, 4, 5, 38	evl1fvf 33589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹 · 𝐺)):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
40	39	ffnd 6737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) Fn (Base‘𝑅))
41		fniniseg2 7082	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) Fn (Base‘𝑅) → (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 })
42	40, 41	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 })
43	42	eleq2d 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 }))
44	43	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 }) → 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }))
45	34, 44	sylan2br 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑂‘(𝐹 · 𝐺))‘𝑥) = 0 )) → 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }))
46	33, 45	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 })) → 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }))
47	46	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) → 𝑥 ∈ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 })))
48	47	ssrdv 3989	1 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐹) “ { 0 }) ⊆ (◡(𝑂‘(𝐹 · 𝐺)) “ { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436   ⊆ wss 3951  {csn 4626  ^◡ccnv 5684   “ cima 5688   Fn wfn 6556  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298  0_gc0g 17484  CRingccrg 20231  Poly₁cpl1 22178  eval₁ce1 22318  deg₁cdg1 26093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-srg 20184  df-ring 20232  df-cring 20233  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-assa 21873  df-asp 21874  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-evls 22098  df-evl 22099  df-psr1 22181  df-ply1 22183  df-evl1 22320

This theorem is referenced by:  ply1dg3rt0irred  33607