Theorem ply1dg1rtn0 34196

Description: Polynomials of degree 1 over a field always have some roots. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1dg1rt.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1dg1rt.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
ply1dg1rt.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
ply1dg1rt.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1dg1rt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1dg1rtn0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
ply1dg1rtn0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
ply1dg1rtn0.1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 1)

Assertion

Ref	Expression
ply1dg1rtn0	⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) ≠ ∅)

Proof of Theorem ply1dg1rtn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7479	. . . 4 ⊢ (((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1)) ∈ V
2	1	snid 4623	. . 3 ⊢ (((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1)) ∈ {(((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1))}
3		ply1dg1rt.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		ply1dg1rt.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
5		ply1dg1rt.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
6		ply1dg1rt.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
7		ply1dg1rt.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		ply1dg1rtn0.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
9		ply1dg1rtn0.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
10		ply1dg1rtn0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 1)
11		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
12		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (/r‘𝑅) = (/r‘𝑅)
13		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
14		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((coe1‘𝐺)‘1) = ((coe1‘𝐺)‘1)
15		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ((coe1‘𝐺)‘0) = ((coe1‘𝐺)‘0)
16		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1)) = (((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1))
17	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	ply1dg1rt 34195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {(((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1))})
18	2, 17	eleqtrrid 2871	. 2 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1)) ∈ (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }))
19	18	ne0d 4291	1 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∅c0 4281  {csn 4588  ^◡ccnv 5655   “ cima 5659  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  0cc0 11230  1c1 11231  Basecbs 17419  0_gc0g 17642  inv_gcminusg 19177  /_rcdvr 20663  Fieldcfield 21014  Poly₁cpl1 22528  coe₁cco1 22529  eval₁ce1 22665  deg₁cdg1 26405

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-addf 11309

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-ofr 7721  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-tpos 8274  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-sup 9464  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-hash 14505  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-hom 17484  df-cco 17485  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-prds 17650  df-pws 17652  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-mhm 19010  df-submnd 19011  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-mulg 19310  df-subg 19365  df-ghm 19460  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-srg 20446  df-ring 20494  df-cring 20495  df-oppr 20600  df-dvdsr 20620  df-unit 20621  df-invr 20651  df-dvr 20664  df-rhm 20735  df-nzr 20796  df-subrng 20831  df-subrg 20855  df-rlreg 20979  df-domn 20980  df-drng 21015  df-field 21016  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-lsp 21280  df-cnfld 21712  df-assa 22194  df-asp 22195  df-ascl 22196  df-psr 22250  df-mvr 22251  df-mpl 22252  df-opsr 22254  df-evls 22416  df-evl 22417  df-psr1 22531  df-vr1 22532  df-ply1 22533  df-coe1 22534  df-evls1 22666  df-evl1 22667  df-mdeg 26406  df-deg1 26407

This theorem is used by:  ply1dg3rt0irred  34199