Theorem ply1dg1rtn0 33999

Description: Polynomials of degree 1 over a field always have some roots. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1dg1rt.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1dg1rt.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
ply1dg1rt.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
ply1dg1rt.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1dg1rt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1dg1rtn0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
ply1dg1rtn0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
ply1dg1rtn0.1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 1)

Assertion

Ref	Expression
ply1dg1rtn0	⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) ≠ ∅)

Proof of Theorem ply1dg1rtn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7450	. . . 4 ⊢ (((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1)) ∈ V
2	1	snid 4626	. . 3 ⊢ (((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1)) ∈ {(((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1))}
3		ply1dg1rt.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		ply1dg1rt.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
5		ply1dg1rt.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
6		ply1dg1rt.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
7		ply1dg1rt.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		ply1dg1rtn0.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
9		ply1dg1rtn0.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
10		ply1dg1rtn0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 1)
11		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
12		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (/r‘𝑅) = (/r‘𝑅)
13		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
14		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ((coe1‘𝐺)‘1) = ((coe1‘𝐺)‘1)
15		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ((coe1‘𝐺)‘0) = ((coe1‘𝐺)‘0)
16		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1)) = (((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1))
17	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	ply1dg1rt 33998	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {(((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1))})
18	2, 17	eleqtrrid 2869	. 2 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1)) ∈ (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }))
19	18	ne0d 4291	1 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) ≠ ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∅c0 4282  {csn 4587  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  0cc0 11128  1c1 11129  Basecbs 17307  0_gc0g 17530  inv_gcminusg 19064  /_rcdvr 20547  Fieldcfield 20897  Poly₁cpl1 22408  coe₁cco1 22409  eval₁ce1 22545  deg₁cdg1 26286

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206  ax-addf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-sup 9416  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-hash 14399  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-hom 17372  df-cco 17373  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-prds 17538  df-pws 17540  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-submnd 18898  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-mulg 19197  df-subg 19252  df-ghm 19347  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-srg 20332  df-ring 20380  df-cring 20381  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-unit 20505  df-invr 20535  df-dvr 20548  df-rhm 20619  df-nzr 20679  df-subrng 20714  df-subrg 20738  df-rlreg 20862  df-domn 20863  df-drng 20898  df-field 20899  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-lsp 21162  df-cnfld 21592  df-assa 22074  df-asp 22075  df-ascl 22076  df-psr 22130  df-mvr 22131  df-mpl 22132  df-opsr 22134  df-evls 22296  df-evl 22297  df-psr1 22411  df-vr1 22412  df-ply1 22413  df-coe1 22414  df-evls1 22546  df-evl1 22547  df-mdeg 26287  df-deg1 26288

This theorem is used by:  ply1dg3rt0irred  34002