Theorem ply1dg1rtn0 33788

Description: Polynomials of degree 1 over a field always have some roots. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1dg1rt.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1dg1rt.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
ply1dg1rt.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
ply1dg1rt.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1dg1rt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1dg1rtn0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
ply1dg1rtn0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
ply1dg1rtn0.1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 1)

Assertion

Ref	Expression
ply1dg1rtn0	⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) ≠ ∅)

Proof of Theorem ply1dg1rtn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7433	. . . 4 ⊢ (((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1)) ∈ V
2	1	snid 4624	. . 3 ⊢ (((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1)) ∈ {(((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1))}
3		ply1dg1rt.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		ply1dg1rt.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
5		ply1dg1rt.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
6		ply1dg1rt.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
7		ply1dg1rt.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		ply1dg1rtn0.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
9		ply1dg1rtn0.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
10		ply1dg1rtn0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 1)
11		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
12		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (/r‘𝑅) = (/r‘𝑅)
13		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
14		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ((coe1‘𝐺)‘1) = ((coe1‘𝐺)‘1)
15		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ((coe1‘𝐺)‘0) = ((coe1‘𝐺)‘0)
16		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1)) = (((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1))
17	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	ply1dg1rt 33787	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {(((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1))})
18	2, 17	eleqtrrid 2872	. 2 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1)) ∈ (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }))
19	18	ne0d 4297	1 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∅c0 4288  {csn 4585  ^◡ccnv 5651   “ cima 5655  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088  1c1 11089  Basecbs 17259  0_gc0g 17482  inv_gcminusg 18991  /_rcdvr 20473  Fieldcfield 20805  Poly₁cpl1 22297  coe₁cco1 22298  eval₁ce1 22435  deg₁cdg1 26172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-hash 14358  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-hom 17324  df-cco 17325  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-prds 17490  df-pws 17492  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-mhm 18831  df-submnd 18832  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-mulg 19125  df-subg 19180  df-ghm 19275  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-srg 20260  df-ring 20308  df-cring 20309  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431  df-invr 20461  df-dvr 20474  df-rhm 20545  df-nzr 20587  df-subrng 20622  df-subrg 20646  df-rlreg 20770  df-domn 20771  df-drng 20806  df-field 20807  df-lmod 20952  df-lss 21022  df-lsp 21062  df-cnfld 21483  df-assa 21963  df-asp 21964  df-ascl 21965  df-psr 22019  df-mvr 22020  df-mpl 22021  df-opsr 22023  df-evls 22185  df-evl 22186  df-psr1 22300  df-vr1 22301  df-ply1 22302  df-coe1 22303  df-evls1 22436  df-evl1 22437  df-mdeg 26173  df-deg1 26174

This theorem is referenced by:  ply1dg3rt0irred  33791