Theorem ply1dg1rtn0 33512

Description: Polynomials of degree 1 over a field always have some roots. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1dg1rt.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1dg1rt.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
ply1dg1rt.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
ply1dg1rt.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1dg1rt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1dg1rtn0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
ply1dg1rtn0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
ply1dg1rtn0.1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 1)

Assertion

Ref	Expression
ply1dg1rtn0	⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) ≠ ∅)

Proof of Theorem ply1dg1rtn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7373	. . . 4 ⊢ (((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1)) ∈ V
2	1	snid 4612	. . 3 ⊢ (((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1)) ∈ {(((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1))}
3		ply1dg1rt.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		ply1dg1rt.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
5		ply1dg1rt.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
6		ply1dg1rt.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
7		ply1dg1rt.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		ply1dg1rtn0.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
9		ply1dg1rtn0.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
10		ply1dg1rtn0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 1)
11		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
12		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (/r‘𝑅) = (/r‘𝑅)
13		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
14		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ((coe1‘𝐺)‘1) = ((coe1‘𝐺)‘1)
15		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ((coe1‘𝐺)‘0) = ((coe1‘𝐺)‘0)
16		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1)) = (((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1))
17	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	ply1dg1rt 33511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {(((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1))})
18	2, 17	eleqtrrid 2835	. 2 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1)) ∈ (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }))
19	18	ne0d 4289	1 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4280  {csn 4573  ^◡ccnv 5612   “ cima 5616  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340  0cc0 10997  1c1 10998  Basecbs 17107  0_gc0g 17330  inv_gcminusg 18800  /_rcdvr 20272  Fieldcfield 20599  Poly₁cpl1 22043  coe₁cco1 22044  eval₁ce1 22183  deg₁cdg1 25940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-pre-sup 11075  ax-addf 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-se 5567  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-of 7604  df-ofr 7605  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-supp 8085  df-tpos 8150  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-er 8616  df-map 8746  df-pm 8747  df-ixp 8816  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-fsupp 9240  df-sup 9320  df-oi 9390  df-card 9823  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-7 12184  df-8 12185  df-9 12186  df-n0 12373  df-z 12460  df-dec 12580  df-uz 12724  df-fz 13399  df-fzo 13546  df-seq 13897  df-hash 14226  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-ress 17129  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-starv 17163  df-sca 17164  df-vsca 17165  df-ip 17166  df-tset 17167  df-ple 17168  df-ds 17170  df-unif 17171  df-hom 17172  df-cco 17173  df-0g 17332  df-gsum 17333  df-prds 17338  df-pws 17340  df-mre 17475  df-mrc 17476  df-acs 17478  df-mgm 18501  df-sgrp 18580  df-mnd 18596  df-mhm 18644  df-submnd 18645  df-grp 18802  df-minusg 18803  df-sbg 18804  df-mulg 18934  df-subg 18989  df-ghm 19079  df-cntz 19183  df-cmn 19648  df-abl 19649  df-mgp 20013  df-rng 20025  df-ur 20054  df-srg 20059  df-ring 20107  df-cring 20108  df-oppr 20209  df-dvdsr 20229  df-unit 20230  df-invr 20260  df-dvr 20273  df-rhm 20344  df-nzr 20382  df-subrng 20415  df-subrg 20439  df-rlreg 20563  df-domn 20564  df-drng 20600  df-field 20601  df-lmod 20749  df-lss 20819  df-lsp 20859  df-cnfld 21246  df-assa 21744  df-asp 21745  df-ascl 21746  df-psr 21800  df-mvr 21801  df-mpl 21802  df-opsr 21804  df-evls 21963  df-evl 21964  df-psr1 22046  df-vr1 22047  df-ply1 22048  df-coe1 22049  df-evls1 22184  df-evl1 22185  df-mdeg 25941  df-deg1 25942

This theorem is referenced by:  ply1dg3rt0irred  33514