Theorem ply1dg1rtn0 33641

Description: Polynomials of degree 1 over a field always have some roots. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1dg1rt.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1dg1rt.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
ply1dg1rt.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
ply1dg1rt.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1dg1rt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ply1dg1rtn0.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
ply1dg1rtn0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
ply1dg1rtn0.1	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 1)

Assertion

Ref	Expression
ply1dg1rtn0	⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) ≠ ∅)

Proof of Theorem ply1dg1rtn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 7391	. . . 4 ⊢ (((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1)) ∈ V
2	1	snid 4618	. . 3 ⊢ (((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1)) ∈ {(((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1))}
3		ply1dg1rt.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		ply1dg1rt.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
5		ply1dg1rt.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
6		ply1dg1rt.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
7		ply1dg1rt.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		ply1dg1rtn0.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Field)
9		ply1dg1rtn0.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑈)
10		ply1dg1rtn0.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐺) = 1)
11		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
12		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (/r‘𝑅) = (/r‘𝑅)
13		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (coe1‘𝐺) = (coe1‘𝐺)
14		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ((coe1‘𝐺)‘1) = ((coe1‘𝐺)‘1)
15		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ((coe1‘𝐺)‘0) = ((coe1‘𝐺)‘0)
16		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1)) = (((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1))
17	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	ply1dg1rt 33640	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) = {(((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1))})
18	2, 17	eleqtrrid 2842	. 2 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘0))(/r‘𝑅)((coe1‘𝐺)‘1)) ∈ (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }))
19	18	ne0d 4293	1 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘𝐺) “ { 0 }) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  ∅c0 4284  {csn 4579  ^◡ccnv 5622   “ cima 5626  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  0cc0 11028  1c1 11029  Basecbs 17138  0_gc0g 17361  inv_gcminusg 18866  /_rcdvr 20338  Fieldcfield 20665  Poly₁cpl1 22119  coe₁cco1 22120  eval₁ce1 22260  deg₁cdg1 26017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-sup 9347  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-hash 14256  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19144  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-rng 20090  df-ur 20119  df-srg 20124  df-ring 20172  df-cring 20173  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-rhm 20410  df-nzr 20448  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-rlreg 20629  df-domn 20630  df-drng 20666  df-field 20667  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-lsp 20925  df-cnfld 21312  df-assa 21810  df-asp 21811  df-ascl 21812  df-psr 21867  df-mvr 21868  df-mpl 21869  df-opsr 21871  df-evls 22031  df-evl 22032  df-psr1 22122  df-vr1 22123  df-ply1 22124  df-coe1 22125  df-evls1 22261  df-evl1 22262  df-mdeg 26018  df-deg1 26019

This theorem is referenced by:  ply1dg3rt0irred  33644