Theorem cayhamlem3 22947

Description: Lemma for cayhamlem4 22948. (Contributed by AV, 24-Nov-2019.) (Revised by AV, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chcoeffeq.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chcoeffeq.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chcoeffeq.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chcoeffeq.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
chcoeffeq.r	⊢ × = (.r‘𝑌)
chcoeffeq.s	⊢ − = (-g‘𝑌)
chcoeffeq.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
chcoeffeq.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
chcoeffeq.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chcoeffeq.k	⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
chcoeffeq.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
chcoeffeq.w	⊢ 𝑊 = (Base‘𝑌)
chcoeffeq.1	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
chcoeffeq.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
chcoeffeq.u	⊢ 𝑈 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
cayhamlem.e1	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐴))
cayhamlem.r	⊢ · = (.r‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cayhamlem3	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝐾   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑈,𝑛   𝑛,𝑌   1 ,𝑛   ∗ ,𝑛   𝑛,𝑏,𝑠,𝐴   𝐵,𝑏,𝑠   𝑀,𝑏,𝑠   𝑁,𝑏,𝑠   𝑃,𝑏,𝑛,𝑠   𝑅,𝑏,𝑠   𝑇,𝑏,𝑛,𝑠   𝑛,𝑊   𝑌,𝑏,𝑠   0 ,𝑛   × ,𝑛   − ,𝑏,𝑛,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛,𝑠,𝑏)   · (𝑛,𝑠,𝑏)   × (𝑠,𝑏)   𝑈(𝑠,𝑏)   1 (𝑠,𝑏)   ↑ (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑠,𝑏)   ∗ (𝑠,𝑏)   𝐾(𝑠,𝑏)   𝑊(𝑠,𝑏)   0 (𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cayhamlem3

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chcoeffeq.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		chcoeffeq.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		chcoeffeq.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		chcoeffeq.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
5		chcoeffeq.r	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑌)
6		chcoeffeq.s	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑌)
7		chcoeffeq.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
8		chcoeffeq.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
9		chcoeffeq.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
10		chcoeffeq.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
11		chcoeffeq.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
12		chcoeffeq.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Base‘𝑌)
13		chcoeffeq.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
14		chcoeffeq.m	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
15		chcoeffeq.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	chcoeffeq 22946	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ))
17		2fveq3 6872	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (𝑈‘(𝐺‘𝑙)))
18		fveq2 6867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → ((coe1‘𝐾)‘𝑛) = ((coe1‘𝐾)‘𝑙))
19	18	oveq1d 7411	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ))
20	17, 19	eqeq12d 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) ↔ (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 )))
21	20	cbvralvw 3240	. . . . 5 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ))
22		2fveq3 6872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 = 𝑛 → (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))
23		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 = 𝑛 → ((coe1‘𝐾)‘𝑙) = ((coe1‘𝐾)‘𝑛))
24	23	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 = 𝑛 → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ))
25	22, 24	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 = 𝑛 → ((𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ) ↔ (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 )))
26	25	rspccva 3580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ))
27		simprll 788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
28		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
29	9, 1, 2, 3, 28	chpmatply1 22892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) ∈ (Base‘𝑃))
30	27, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝐶‘𝑀) ∈ (Base‘𝑃))
31	10, 30	eqeltrid 2866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
32		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (coe1‘𝐾) = (coe1‘𝐾)
33		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
34	32, 28, 3, 33	coe1f 22273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ (Base‘𝑃) → (coe1‘𝐾):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
35	31, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (coe1‘𝐾):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
36		fvex 6880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
37		nn0ex 12487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℕ0 ∈ V
38	36, 37	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V)
39		elmapg 8820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → ((coe1‘𝐾) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ↔ (coe1‘𝐾):ℕ0⟶(Base‘𝑅)))
40	38, 39	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((coe1‘𝐾) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ↔ (coe1‘𝐾):ℕ0⟶(Base‘𝑅)))
41	35, 40	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (coe1‘𝐾) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0))
42		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
43		cayhamlem.e1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐴))
44		cayhamlem.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ · = (.r‘𝐴)
45	33, 1, 2, 13, 14, 43, 44	cayhamlem2 22944	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ((coe1‘𝐾) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 )))
46	27, 41, 42, 45	syl12anc 847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 )))
47	46	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))))) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 )))
48		oveq2 7404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) → ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 )))
49	48	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))))) → ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 )))
50	47, 49	eqtr4d 2800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))))) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))
51	50	exp32 424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))
52	51	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) → ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))
53	52	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) → ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))
54	26, 53	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))
55	54	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → ((∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))
56	55	impl 459	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 )) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))
57	56	mpteq2dva 5193	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 )) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))
58	57	oveq2d 7412	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 )) → (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))
59	58	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ) → (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))))
60	21, 59	biimtrid 244	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) → (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))))
61	60	reximdva 3175	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) → ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))))
62	61	reximdva 3175	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))))
63	16, 62	mpd 15	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3454  ifcif 4480   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ↑_m cmap 8808  Fincfn 8927  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   < clt 11216   − cmin 11414  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12481  ...cfz 13512  Basecbs 17245  ._rcmulr 17287   ·_𝑠 cvsca 17290  0_gc0g 17468   Σ_g cgsu 17469  -_gcsg 18977  ._gcmg 19109  mulGrpcmgp 20186  1_rcur 20231  CRingccrg 20284  Poly₁cpl1 22239  coe₁cco1 22240   Mat cmat 22467   matToPolyMat cmat2pmat 22764   cPolyMatToMat ccpmat2mat 22765   CharPlyMat cchpmat 22886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-addf 11152  ax-mulf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-xor 1532  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-cur 8247  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-sup 9388  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-rp 12994  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-word 14527  df-lsw 14576  df-concat 14584  df-s1 14610  df-substr 14655  df-pfx 14685  df-splice 14763  df-reverse 14772  df-s2 14861  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-prds 17476  df-pws 17478  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817  df-submnd 18818  df-efmnd 18903  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-mulg 19110  df-subg 19165  df-ghm 19254  df-gim 19299  df-cntz 19357  df-oppg 19386  df-symg 19410  df-pmtr 19482  df-psgn 19531  df-evpm 19532  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-srg 20237  df-ring 20285  df-cring 20286  df-oppr 20386  df-dvdsr 20406  df-unit 20407  df-invr 20437  df-dvr 20450  df-rhm 20521  df-subrng 20596  df-subrg 20620  df-drng 20781  df-lmod 20929  df-lss 20999  df-sra 21240  df-rgmod 21241  df-cnfld 21425  df-zring 21499  df-zrh 21555  df-dsmm 21784  df-frlm 21799  df-assa 21905  df-ascl 21907  df-psr 21961  df-mvr 21962  df-mpl 21963  df-opsr 21965  df-psr1 22242  df-vr1 22243  df-ply1 22244  df-coe1 22245  df-mamu 22451  df-mat 22468  df-mdet 22645  df-madu 22694  df-cpmat 22766  df-mat2pmat 22767  df-cpmat2mat 22768  df-decpmat 22823  df-pm2mp 22853  df-chpmat 22887

This theorem is referenced by:  cayhamlem4  22948