Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cayhamlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cayhamlem3 21600
 Description: Lemma for cayhamlem4 21601. (Contributed by AV, 24-Nov-2019.) (Revised by AV, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chcoeffeq.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chcoeffeq.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
chcoeffeq.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chcoeffeq.y 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
chcoeffeq.r × = (.r𝑌)
chcoeffeq.s = (-g𝑌)
chcoeffeq.0 0 = (0g𝑌)
chcoeffeq.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
chcoeffeq.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chcoeffeq.k 𝐾 = (𝐶𝑀)
chcoeffeq.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))))))
chcoeffeq.w 𝑊 = (Base‘𝑌)
chcoeffeq.1 1 = (1r𝐴)
chcoeffeq.m = ( ·𝑠𝐴)
chcoeffeq.u 𝑈 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
cayhamlem.e1 = (.g‘(mulGrp‘𝐴))
cayhamlem.r · = (.r𝐴)
Assertion
Ref Expression
cayhamlem3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1𝐾)‘𝑛) (𝑛 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 𝑀) · (𝑈‘(𝐺𝑛))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝐾   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑈,𝑛   𝑛,𝑌   1 ,𝑛   ,𝑛   𝑛,𝑏,𝑠,𝐴   𝐵,𝑏,𝑠   𝑀,𝑏,𝑠   𝑁,𝑏,𝑠   𝑃,𝑏,𝑛,𝑠   𝑅,𝑏,𝑠   𝑇,𝑏,𝑛,𝑠   𝑛,𝑊   𝑌,𝑏,𝑠   0 ,𝑛   × ,𝑛   ,𝑏,𝑛,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛,𝑠,𝑏)   · (𝑛,𝑠,𝑏)   × (𝑠,𝑏)   𝑈(𝑠,𝑏)   1 (𝑠,𝑏)   (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑠,𝑏)   (𝑠,𝑏)   𝐾(𝑠,𝑏)   𝑊(𝑠,𝑏)   0 (𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cayhamlem3
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chcoeffeq.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 chcoeffeq.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 chcoeffeq.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 chcoeffeq.y . . 3 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
5 chcoeffeq.r . . 3 × = (.r𝑌)
6 chcoeffeq.s . . 3 = (-g𝑌)
7 chcoeffeq.0 . . 3 0 = (0g𝑌)
8 chcoeffeq.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
9 chcoeffeq.c . . 3 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
10 chcoeffeq.k . . 3 𝐾 = (𝐶𝑀)
11 chcoeffeq.g . . 3 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))))))
12 chcoeffeq.w . . 3 𝑊 = (Base‘𝑌)
13 chcoeffeq.1 . . 3 1 = (1r𝐴)
14 chcoeffeq.m . . 3 = ( ·𝑠𝐴)
15 chcoeffeq.u . . 3 𝑈 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15chcoeffeq 21599 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺𝑛)) = (((coe1𝐾)‘𝑛) 1 ))
17 2fveq3 6668 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑙 → (𝑈‘(𝐺𝑛)) = (𝑈‘(𝐺𝑙)))
18 fveq2 6663 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑙 → ((coe1𝐾)‘𝑛) = ((coe1𝐾)‘𝑙))
1918oveq1d 7171 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑙 → (((coe1𝐾)‘𝑛) 1 ) = (((coe1𝐾)‘𝑙) 1 ))
2017, 19eqeq12d 2774 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑙 → ((𝑈‘(𝐺𝑛)) = (((coe1𝐾)‘𝑛) 1 ) ↔ (𝑈‘(𝐺𝑙)) = (((coe1𝐾)‘𝑙) 1 )))
2120cbvralvw 3361 . . . . 5 (∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺𝑛)) = (((coe1𝐾)‘𝑛) 1 ) ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺𝑙)) = (((coe1𝐾)‘𝑙) 1 ))
22 2fveq3 6668 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = 𝑛 → (𝑈‘(𝐺𝑙)) = (𝑈‘(𝐺𝑛)))
23 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 = 𝑛 → ((coe1𝐾)‘𝑙) = ((coe1𝐾)‘𝑛))
2423oveq1d 7171 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = 𝑛 → (((coe1𝐾)‘𝑙) 1 ) = (((coe1𝐾)‘𝑛) 1 ))
2522, 24eqeq12d 2774 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 𝑛 → ((𝑈‘(𝐺𝑙)) = (((coe1𝐾)‘𝑙) 1 ) ↔ (𝑈‘(𝐺𝑛)) = (((coe1𝐾)‘𝑛) 1 )))
2625rspccva 3542 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺𝑙)) = (((coe1𝐾)‘𝑙) 1 ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑈‘(𝐺𝑛)) = (((coe1𝐾)‘𝑛) 1 ))
27 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵))
28 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
299, 1, 2, 3, 28chpmatply1 21545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝐶𝑀) ∈ (Base‘𝑃))
3027, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (𝐶𝑀) ∈ (Base‘𝑃))
3110, 30eqeltrid 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
32 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (coe1𝐾) = (coe1𝐾)
33 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3432, 28, 3, 33coe1f 20948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾 ∈ (Base‘𝑃) → (coe1𝐾):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
3531, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (coe1𝐾):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
36 fvex 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Base‘𝑅) ∈ V
37 nn0ex 11953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 ∈ V
3836, 37pm3.2i 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Base‘𝑅) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V)
39 elmapg 8435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → ((coe1𝐾) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ↔ (coe1𝐾):ℕ0⟶(Base‘𝑅)))
4038, 39mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → ((coe1𝐾) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ↔ (coe1𝐾):ℕ0⟶(Base‘𝑅)))
4135, 40mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (coe1𝐾) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0))
42 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
43 cayhamlem.e1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 = (.g‘(mulGrp‘𝐴))
44 cayhamlem.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 · = (.r𝐴)
4533, 1, 2, 13, 14, 43, 44cayhamlem2 21597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ ((coe1𝐾) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (((coe1𝐾)‘𝑛) (𝑛 𝑀)) = ((𝑛 𝑀) · (((coe1𝐾)‘𝑛) 1 )))
4627, 41, 42, 45syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → (((coe1𝐾)‘𝑛) (𝑛 𝑀)) = ((𝑛 𝑀) · (((coe1𝐾)‘𝑛) 1 )))
4746adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑈‘(𝐺𝑛)) = (((coe1𝐾)‘𝑛) 1 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))))) → (((coe1𝐾)‘𝑛) (𝑛 𝑀)) = ((𝑛 𝑀) · (((coe1𝐾)‘𝑛) 1 )))
48 oveq2 7164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈‘(𝐺𝑛)) = (((coe1𝐾)‘𝑛) 1 ) → ((𝑛 𝑀) · (𝑈‘(𝐺𝑛))) = ((𝑛 𝑀) · (((coe1𝐾)‘𝑛) 1 )))
4948adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑈‘(𝐺𝑛)) = (((coe1𝐾)‘𝑛) 1 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))))) → ((𝑛 𝑀) · (𝑈‘(𝐺𝑛))) = ((𝑛 𝑀) · (((coe1𝐾)‘𝑛) 1 )))
5047, 49eqtr4d 2796 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑈‘(𝐺𝑛)) = (((coe1𝐾)‘𝑛) 1 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))))) → (((coe1𝐾)‘𝑛) (𝑛 𝑀)) = ((𝑛 𝑀) · (𝑈‘(𝐺𝑛))))
5150exp32 424 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈‘(𝐺𝑛)) = (((coe1𝐾)‘𝑛) 1 ) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (((coe1𝐾)‘𝑛) (𝑛 𝑀)) = ((𝑛 𝑀) · (𝑈‘(𝐺𝑛))))))
5251com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑈‘(𝐺𝑛)) = (((coe1𝐾)‘𝑛) 1 ) → ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (((coe1𝐾)‘𝑛) (𝑛 𝑀)) = ((𝑛 𝑀) · (𝑈‘(𝐺𝑛))))))
5352adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺𝑙)) = (((coe1𝐾)‘𝑙) 1 ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑈‘(𝐺𝑛)) = (((coe1𝐾)‘𝑛) 1 ) → ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (((coe1𝐾)‘𝑛) (𝑛 𝑀)) = ((𝑛 𝑀) · (𝑈‘(𝐺𝑛))))))
5426, 53mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺𝑙)) = (((coe1𝐾)‘𝑙) 1 ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (((coe1𝐾)‘𝑛) (𝑛 𝑀)) = ((𝑛 𝑀) · (𝑈‘(𝐺𝑛)))))
5554com12 32 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → ((∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺𝑙)) = (((coe1𝐾)‘𝑙) 1 ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((coe1𝐾)‘𝑛) (𝑛 𝑀)) = ((𝑛 𝑀) · (𝑈‘(𝐺𝑛)))))
5655impl 459 . . . . . . . 8 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺𝑙)) = (((coe1𝐾)‘𝑙) 1 )) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((coe1𝐾)‘𝑛) (𝑛 𝑀)) = ((𝑛 𝑀) · (𝑈‘(𝐺𝑛))))
5756mpteq2dva 5131 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺𝑙)) = (((coe1𝐾)‘𝑙) 1 )) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1𝐾)‘𝑛) (𝑛 𝑀))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 𝑀) · (𝑈‘(𝐺𝑛)))))
5857oveq2d 7172 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺𝑙)) = (((coe1𝐾)‘𝑙) 1 )) → (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1𝐾)‘𝑛) (𝑛 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 𝑀) · (𝑈‘(𝐺𝑛))))))
5958ex 416 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺𝑙)) = (((coe1𝐾)‘𝑙) 1 ) → (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1𝐾)‘𝑛) (𝑛 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 𝑀) · (𝑈‘(𝐺𝑛)))))))
6021, 59syl5bi 245 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺𝑛)) = (((coe1𝐾)‘𝑛) 1 ) → (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1𝐾)‘𝑛) (𝑛 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 𝑀) · (𝑈‘(𝐺𝑛)))))))
6160reximdva 3198 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (∃𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺𝑛)) = (((coe1𝐾)‘𝑛) 1 ) → ∃𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1𝐾)‘𝑛) (𝑛 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 𝑀) · (𝑈‘(𝐺𝑛)))))))
6261reximdva 3198 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺𝑛)) = (((coe1𝐾)‘𝑛) 1 ) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1𝐾)‘𝑛) (𝑛 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 𝑀) · (𝑈‘(𝐺𝑛)))))))
6316, 62mpd 15 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1𝐾)‘𝑛) (𝑛 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 𝑀) · (𝑈‘(𝐺𝑛))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  ∃wrex 3071  Vcvv 3409  ifcif 4423   class class class wbr 5036   ↦ cmpt 5116  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   ↑m cmap 8422  Fincfn 8540  0cc0 10588  1c1 10589   + caddc 10591   < clt 10726   − cmin 10921  ℕcn 11687  ℕ0cn0 11947  ...cfz 12952  Basecbs 16554  .rcmulr 16637   ·𝑠 cvsca 16640  0gc0g 16784   Σg cgsu 16785  -gcsg 18184  .gcmg 18304  mulGrpcmgp 19320  1rcur 19332  CRingccrg 19379  Poly1cpl1 20914  coe1cco1 20915   Mat cmat 21120   matToPolyMat cmat2pmat 21417   cPolyMatToMat ccpmat2mat 21418   CharPlyMat cchpmat 21539 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-addf 10667  ax-mulf 10668 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-ofr 7412  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-tpos 7908  df-cur 7949  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-sup 8952  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-xnn0 12020  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-rp 12444  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-seq 13432  df-exp 13493  df-hash 13754  df-word 13927  df-lsw 13975  df-concat 13983  df-s1 14010  df-substr 14063  df-pfx 14093  df-splice 14172  df-reverse 14181  df-s2 14270  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-starv 16651  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ip 16654  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-unif 16659  df-hom 16660  df-cco 16661  df-0g 16786  df-gsum 16787  df-prds 16792  df-pws 16794  df-mre 16928  df-mrc 16929  df-acs 16931  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-mhm 18035  df-submnd 18036  df-efmnd 18113  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-sbg 18187  df-mulg 18305  df-subg 18356  df-ghm 18436  df-gim 18479  df-cntz 18527  df-oppg 18554  df-symg 18576  df-pmtr 18650  df-psgn 18699  df-evpm 18700  df-cmn 18988  df-abl 18989  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-srg 19337  df-ring 19380  df-cring 19381  df-oppr 19457  df-dvdsr 19475  df-unit 19476  df-invr 19506  df-dvr 19517  df-rnghom 19551  df-drng 19585  df-subrg 19614  df-lmod 19717  df-lss 19785  df-sra 20025  df-rgmod 20026  df-cnfld 20180  df-zring 20252  df-zrh 20286  df-dsmm 20510  df-frlm 20525  df-assa 20631  df-ascl 20633  df-psr 20684  df-mvr 20685  df-mpl 20686  df-opsr 20688  df-psr1 20917  df-vr1 20918  df-ply1 20919  df-coe1 20920  df-mamu 21099  df-mat 21121  df-mdet 21298  df-madu 21347  df-cpmat 21419  df-mat2pmat 21420  df-cpmat2mat 21421  df-decpmat 21476  df-pm2mp 21506  df-chpmat 21540 This theorem is referenced by:  cayhamlem4  21601
 Copyright terms: Public domain W3C validator