Theorem cayhamlem3 22622

Description: Lemma for cayhamlem4 22623. (Contributed by AV, 24-Nov-2019.) (Revised by AV, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chcoeffeq.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chcoeffeq.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chcoeffeq.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chcoeffeq.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
chcoeffeq.r	⊢ × = (.r‘𝑌)
chcoeffeq.s	⊢ − = (-g‘𝑌)
chcoeffeq.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
chcoeffeq.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
chcoeffeq.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chcoeffeq.k	⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
chcoeffeq.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
chcoeffeq.w	⊢ 𝑊 = (Base‘𝑌)
chcoeffeq.1	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
chcoeffeq.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
chcoeffeq.u	⊢ 𝑈 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
cayhamlem.e1	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐴))
cayhamlem.r	⊢ · = (.r‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cayhamlem3	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝐾   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑈,𝑛   𝑛,𝑌   1 ,𝑛   ∗ ,𝑛   𝑛,𝑏,𝑠,𝐴   𝐵,𝑏,𝑠   𝑀,𝑏,𝑠   𝑁,𝑏,𝑠   𝑃,𝑏,𝑛,𝑠   𝑅,𝑏,𝑠   𝑇,𝑏,𝑛,𝑠   𝑛,𝑊   𝑌,𝑏,𝑠   0 ,𝑛   × ,𝑛   − ,𝑏,𝑛,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛,𝑠,𝑏)   · (𝑛,𝑠,𝑏)   × (𝑠,𝑏)   𝑈(𝑠,𝑏)   1 (𝑠,𝑏)   ↑ (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑠,𝑏)   ∗ (𝑠,𝑏)   𝐾(𝑠,𝑏)   𝑊(𝑠,𝑏)   0 (𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cayhamlem3

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chcoeffeq.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		chcoeffeq.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		chcoeffeq.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		chcoeffeq.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
5		chcoeffeq.r	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑌)
6		chcoeffeq.s	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑌)
7		chcoeffeq.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
8		chcoeffeq.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
9		chcoeffeq.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
10		chcoeffeq.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
11		chcoeffeq.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
12		chcoeffeq.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Base‘𝑌)
13		chcoeffeq.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
14		chcoeffeq.m	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
15		chcoeffeq.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	chcoeffeq 22621	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ))
17		2fveq3 6896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (𝑈‘(𝐺‘𝑙)))
18		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → ((coe1‘𝐾)‘𝑛) = ((coe1‘𝐾)‘𝑙))
19	18	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ))
20	17, 19	eqeq12d 2747	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) ↔ (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 )))
21	20	cbvralvw 3233	. . . . 5 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ))
22		2fveq3 6896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 = 𝑛 → (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))
23		fveq2 6891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 = 𝑛 → ((coe1‘𝐾)‘𝑙) = ((coe1‘𝐾)‘𝑛))
24	23	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 = 𝑛 → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ))
25	22, 24	eqeq12d 2747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 = 𝑛 → ((𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ) ↔ (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 )))
26	25	rspccva 3611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ))
27		simprll 776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
28		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
29	9, 1, 2, 3, 28	chpmatply1 22567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) ∈ (Base‘𝑃))
30	27, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝐶‘𝑀) ∈ (Base‘𝑃))
31	10, 30	eqeltrid 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
32		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (coe1‘𝐾) = (coe1‘𝐾)
33		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
34	32, 28, 3, 33	coe1f 21967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ (Base‘𝑃) → (coe1‘𝐾):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
35	31, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (coe1‘𝐾):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
36		fvex 6904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
37		nn0ex 12485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℕ0 ∈ V
38	36, 37	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V)
39		elmapg 8839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → ((coe1‘𝐾) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ↔ (coe1‘𝐾):ℕ0⟶(Base‘𝑅)))
40	38, 39	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((coe1‘𝐾) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ↔ (coe1‘𝐾):ℕ0⟶(Base‘𝑅)))
41	35, 40	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (coe1‘𝐾) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0))
42		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
43		cayhamlem.e1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐴))
44		cayhamlem.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ · = (.r‘𝐴)
45	33, 1, 2, 13, 14, 43, 44	cayhamlem2 22619	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ((coe1‘𝐾) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 )))
46	27, 41, 42, 45	syl12anc 834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 )))
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))))) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 )))
48		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) → ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 )))
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))))) → ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 )))
50	47, 49	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))))) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))
51	50	exp32 420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))
52	51	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) → ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) → ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))
54	26, 53	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))
55	54	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → ((∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))
56	55	impl 455	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 )) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))
57	56	mpteq2dva 5248	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 )) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))
58	57	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 )) → (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))
59	58	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ) → (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))))
60	21, 59	biimtrid 241	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) → (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))))
61	60	reximdva 3167	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) → ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))))
62	61	reximdva 3167	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))))
63	16, 62	mpd 15	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  Vcvv 3473  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8826  Fincfn 8945  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   < clt 11255   − cmin 11451  ℕcn 12219  ℕ₀cn0 12479  ...cfz 13491  Basecbs 17151  ._rcmulr 17205   ·_𝑠 cvsca 17208  0_gc0g 17392   Σ_g cgsu 17393  -_gcsg 18860  ._gcmg 18990  mulGrpcmgp 20032  1_rcur 20079  CRingccrg 20132  Poly₁cpl1 21933  coe₁cco1 21934   Mat cmat 22140   matToPolyMat cmat2pmat 22439   cPolyMatToMat ccpmat2mat 22440   CharPlyMat cchpmat 22561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-addf 11195  ax-mulf 11196

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-tpos 8217  df-cur 8258  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-word 14472  df-lsw 14520  df-concat 14528  df-s1 14553  df-substr 14598  df-pfx 14628  df-splice 14707  df-reverse 14716  df-s2 14806  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-efmnd 18789  df-grp 18861  df-minusg 18862  df-sbg 18863  df-mulg 18991  df-subg 19043  df-ghm 19132  df-gim 19177  df-cntz 19226  df-oppg 19255  df-symg 19280  df-pmtr 19355  df-psgn 19404  df-evpm 19405  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20033  df-rng 20051  df-ur 20080  df-srg 20085  df-ring 20133  df-cring 20134  df-oppr 20229  df-dvdsr 20252  df-unit 20253  df-invr 20283  df-dvr 20296  df-rhm 20367  df-subrng 20438  df-subrg 20463  df-drng 20506  df-lmod 20620  df-lss 20691  df-sra 20934  df-rgmod 20935  df-cnfld 21149  df-zring 21222  df-zrh 21276  df-dsmm 21510  df-frlm 21525  df-assa 21631  df-ascl 21633  df-psr 21685  df-mvr 21686  df-mpl 21687  df-opsr 21689  df-psr1 21936  df-vr1 21937  df-ply1 21938  df-coe1 21939  df-mamu 22119  df-mat 22141  df-mdet 22320  df-madu 22369  df-cpmat 22441  df-mat2pmat 22442  df-cpmat2mat 22443  df-decpmat 22498  df-pm2mp 22528  df-chpmat 22562

This theorem is referenced by:  cayhamlem4  22623