Theorem cayhamlem3 23217

Description: Lemma for cayhamlem4 23218. (Contributed by AV, 24-Nov-2019.) (Revised by AV, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chcoeffeq.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chcoeffeq.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chcoeffeq.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chcoeffeq.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
chcoeffeq.r	⊢ × = (.r‘𝑌)
chcoeffeq.s	⊢ − = (-g‘𝑌)
chcoeffeq.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
chcoeffeq.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
chcoeffeq.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chcoeffeq.k	⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
chcoeffeq.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
chcoeffeq.w	⊢ 𝑊 = (Base‘𝑌)
chcoeffeq.1	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
chcoeffeq.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
chcoeffeq.u	⊢ 𝑈 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
cayhamlem.e1	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐴))
cayhamlem.r	⊢ · = (.r‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cayhamlem3	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝐾   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑈,𝑛   𝑛,𝑌   1 ,𝑛   ∗ ,𝑛   𝑛,𝑏,𝑠,𝐴   𝐵,𝑏,𝑠   𝑀,𝑏,𝑠   𝑁,𝑏,𝑠   𝑃,𝑏,𝑛,𝑠   𝑅,𝑏,𝑠   𝑇,𝑏,𝑛,𝑠   𝑛,𝑊   𝑌,𝑏,𝑠   0 ,𝑛   × ,𝑛   − ,𝑏,𝑛,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛, 𝑠, 𝑏)   · (𝑛, 𝑠, 𝑏)   × (𝑠, 𝑏)   𝑈(𝑠, 𝑏)   1 (𝑠, 𝑏)   ↑ (𝑛, 𝑠, 𝑏)   𝐺(𝑠, 𝑏)   ∗ (𝑠, 𝑏)   𝐾(𝑠, 𝑏)   𝑊(𝑠, 𝑏)   0 (𝑠, 𝑏)

Proof of Theorem cayhamlem3

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chcoeffeq.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		chcoeffeq.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		chcoeffeq.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		chcoeffeq.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
5		chcoeffeq.r	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑌)
6		chcoeffeq.s	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑌)
7		chcoeffeq.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
8		chcoeffeq.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
9		chcoeffeq.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
10		chcoeffeq.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
11		chcoeffeq.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
12		chcoeffeq.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Base‘𝑌)
13		chcoeffeq.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
14		chcoeffeq.m	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
15		chcoeffeq.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	chcoeffeq 23216	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ))
17		2fveq3 6898	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (𝑈‘(𝐺‘𝑙)))
18		fveq2 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → ((coe1‘𝐾)‘𝑛) = ((coe1‘𝐾)‘𝑙))
19	18	oveq1d 7442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ))
20	17, 19	eqeq12d 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) ↔ (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 )))
21	20	cbvralvw 3243	. . . . 5 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ))
22		2fveq3 6898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 = 𝑛 → (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))
23		fveq2 6893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 = 𝑛 → ((coe1‘𝐾)‘𝑙) = ((coe1‘𝐾)‘𝑛))
24	23	oveq1d 7442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 = 𝑛 → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ))
25	22, 24	eqeq12d 2779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 = 𝑛 → ((𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ) ↔ (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 )))
26	25	rspccva 3578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ))
27		simprll 791	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
28		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
29	9, 1, 2, 3, 28	chpmatply1 23162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) ∈ (Base‘𝑃))
30	27, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (𝐶‘𝑀) ∈ (Base‘𝑃))
31	10, 30	eqeltrid 2867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
32		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (coe1‘𝐾) = (coe1‘𝐾)
33		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
34	32, 28, 3, 33	coe1f 22541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ (Base‘𝑃) → (coe1‘𝐾):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
35	31, 34	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (coe1‘𝐾):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
36		fvex 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
37		nn0ex 12622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℕ0 ∈ V
38	36, 37	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V)
39		elmapg 8870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → ((coe1‘𝐾) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ↔ (coe1‘𝐾):ℕ0⟶(Base‘𝑅)))
40	38, 39	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → ((coe1‘𝐾) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ↔ (coe1‘𝐾):ℕ0⟶(Base‘𝑅)))
41	35, 40	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (coe1‘𝐾) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0))
42		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
43		cayhamlem.e1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐴))
44		cayhamlem.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ · = (.r‘𝐴)
45	33, 1, 2, 13, 14, 43, 44	cayhamlem2 23214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ((coe1‘𝐾) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 )))
46	27, 41, 42, 45	syl12anc 850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 )))
47	46	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))))) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 )))
48		oveq2 7435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) → ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 )))
49	48	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))))) → ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 )))
50	47, 49	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))))) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))
51	50	exp32 426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))
52	51	com12 33	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) → ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))
53	52	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) → ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))
54	26, 53	mpd 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))
55	54	com12 33	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → ((∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))
56	55	impl 461	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 )) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))
57	56	mpteq2dva 5200	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 )) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))
58	57	oveq2d 7443	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 )) → (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))
59	58	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ) → (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))))
60	21, 59	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) → (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))))
61	60	reximdva 3178	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) → ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))))
62	61	reximdva 3178	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))))
63	16, 62	mpd 16	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  Vcvv 3453  ifcif 4484   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427   ↑_m cmap 8858  Fincfn 8984  0cc0 11210  1c1 11211   + caddc 11213   < clt 11353   − cmin 11551  ℕcn 12345  ℕ₀cn0 12616  ...cfz 13649  Basecbs 17399  ._rcmulr 17441   ·_𝑠 cvsca 17444  0_gc0g 17622   Σ_g cgsu 17623  -_gcsg 19158  ._gcmg 19289  mulGrpcmgp 20372  1_rcur 20419  CRingccrg 20472  Poly₁cpl1 22507  coe₁cco1 22508   Mat cmat 22734   matToPolyMat cmat2pmat 23034   cPolyMatToMat ccpmat2mat 23035   CharPlyMat cchpmat 23156

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-addf 11289  ax-mulf 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1541  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-ot 4861  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-ofr 7701  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-tpos 8254  df-cur 8295  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8728  df-map 8860  df-pm 8861  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-sup 9444  df-oi 9514  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-xnn0 12690  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-rp 13131  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-seq 14155  df-exp 14215  df-hash 14485  df-word 14669  df-lsw 14718  df-concat 14726  df-s1 14753  df-substr 14800  df-pfx 14832  df-splice 14910  df-reverse 14919  df-s2 15010  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-starv 17455  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-unif 17463  df-hom 17464  df-cco 17465  df-0g 17624  df-gsum 17625  df-prds 17630  df-pws 17632  df-mre 17768  df-mrc 17769  df-acs 17771  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-mhm 18990  df-submnd 18991  df-efmnd 19077  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-sbg 19161  df-mulg 19290  df-subg 19345  df-ghm 19440  df-gim 19485  df-cntz 19543  df-oppg 19572  df-symg 19596  df-pmtr 19668  df-psgn 19717  df-evpm 19718  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-srg 20425  df-ring 20473  df-cring 20474  df-oppr 20579  df-dvdsr 20599  df-unit 20600  df-invr 20630  df-dvr 20643  df-rhm 20714  df-subrng 20810  df-subrg 20834  df-drng 20994  df-lmod 21149  df-lss 21219  df-sra 21460  df-rgmod 21461  df-cnfld 21691  df-zring 21765  df-zrh 21821  df-dsmm 22050  df-frlm 22065  df-assa 22173  df-ascl 22175  df-psr 22229  df-mvr 22230  df-mpl 22231  df-opsr 22233  df-psr1 22510  df-vr1 22511  df-ply1 22512  df-coe1 22513  df-mamu 22718  df-mat 22735  df-mdet 22912  df-madu 22961  df-cpmat 23036  df-mat2pmat 23037  df-cpmat2mat 23038  df-decpmat 23093  df-pm2mp 23123  df-chpmat 23157

This theorem is used by:  cayhamlem4  23218