MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpmadumatpoly Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpmadumatpoly 22138
Description: The product of the characteristic matrix of a given matrix and its adjunct represented as a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 20-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cpmadumatpoly.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmadumatpoly.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmadumatpoly.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
cpmadumatpoly.y 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmadumatpoly.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmadumatpoly.r × = (.r𝑌)
cpmadumatpoly.m0 = (-g𝑌)
cpmadumatpoly.0 0 = (0g𝑌)
cpmadumatpoly.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))))))
cpmadumatpoly.s 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
cpmadumatpoly.m1 · = ( ·𝑠𝑌)
cpmadumatpoly.1 1 = (1r𝑌)
cpmadumatpoly.z 𝑍 = (var1𝑅)
cpmadumatpoly.d 𝐷 = ((𝑍 · 1 ) (𝑇𝑀))
cpmadumatpoly.j 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
cpmadumatpoly.w 𝑊 = (Base‘𝑌)
cpmadumatpoly.q 𝑄 = (Poly1𝐴)
cpmadumatpoly.x 𝑋 = (var1𝐴)
cpmadumatpoly.m2 = ( ·𝑠𝑄)
cpmadumatpoly.e = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
cpmadumatpoly.u 𝑈 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
cpmadumatpoly.i 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
Assertion
Ref Expression
cpmadumatpoly ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝐼‘(𝐷 × (𝐽𝐷))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺𝑛)) (𝑛 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑆,𝑛   𝑛,𝑌,𝑏,𝑠   𝐴,𝑏,𝑠,𝑛   𝐵,𝑏,𝑠   𝐷,𝑏,𝑠,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝐼   𝐽,𝑏,𝑠,𝑛   𝑀,𝑏,𝑠   𝑁,𝑏,𝑠   𝑃,𝑛,𝑏,𝑠   𝑅,𝑏,𝑠   𝑇,𝑏,𝑠,𝑛   𝑈,𝑛   𝑛,𝑊   𝑌,𝑏,𝑠   𝑍,𝑏,𝑠,𝑛   × ,𝑛   · ,𝑏,𝑠,𝑛   1 ,𝑛   0 ,𝑛   ,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑆(𝑠,𝑏)   × (𝑠,𝑏)   𝑈(𝑠,𝑏)   1 (𝑠,𝑏)   (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑠,𝑏)   𝐼(𝑠,𝑏)   (𝑛,𝑠,𝑏)   (𝑠,𝑏)   𝑊(𝑠,𝑏)   𝑋(𝑛,𝑠,𝑏)   0 (𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cpmadumatpoly
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cpmadumatpoly.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 cpmadumatpoly.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 cpmadumatpoly.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 cpmadumatpoly.y . . 3 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
5 cpmadumatpoly.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
6 cpmadumatpoly.z . . 3 𝑍 = (var1𝑅)
7 eqid 2737 . . 3 (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
8 cpmadumatpoly.m1 . . 3 · = ( ·𝑠𝑌)
9 cpmadumatpoly.r . . 3 × = (.r𝑌)
10 cpmadumatpoly.1 . . 3 1 = (1r𝑌)
11 eqid 2737 . . 3 (+g𝑌) = (+g𝑌)
12 cpmadumatpoly.m0 . . 3 = (-g𝑌)
13 cpmadumatpoly.d . . 3 𝐷 = ((𝑍 · 1 ) (𝑇𝑀))
14 cpmadumatpoly.j . . 3 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
15 cpmadumatpoly.0 . . 3 0 = (0g𝑌)
16 cpmadumatpoly.g . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))))))
17 eqeq1 2741 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑧 → (𝑛 = 0 ↔ 𝑧 = 0))
18 eqeq1 2741 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑧 → (𝑛 = (𝑠 + 1) ↔ 𝑧 = (𝑠 + 1)))
19 breq2 5101 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑧 → ((𝑠 + 1) < 𝑛 ↔ (𝑠 + 1) < 𝑧))
20 fvoveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑧 → (𝑏‘(𝑛 − 1)) = (𝑏‘(𝑧 − 1)))
2120fveq2d 6834 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑧 → (𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) = (𝑇‘(𝑏‘(𝑧 − 1))))
22 2fveq3 6835 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑧 → (𝑇‘(𝑏𝑛)) = (𝑇‘(𝑏𝑧)))
2322oveq2d 7358 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑧 → ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))) = ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑧))))
2421, 23oveq12d 7360 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑧 → ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛)))) = ((𝑇‘(𝑏‘(𝑧 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑧)))))
2519, 24ifbieq2d 4504 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑧 → if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))) = if((𝑠 + 1) < 𝑧, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑧 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑧))))))
2618, 25ifbieq2d 4504 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑧 → if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛)))))) = if(𝑧 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑧, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑧 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑧)))))))
2717, 26ifbieq2d 4504 . . . . 5 (𝑛 = 𝑧 → if(𝑛 = 0, ( 0 ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))))) = if(𝑧 = 0, ( 0 ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑧 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑧, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑧 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑧))))))))
2827cbvmptv 5210 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛)))))))) = (𝑧 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑧 = 0, ( 0 ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑧 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑧, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑧 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑧))))))))
2916, 28eqtri 2765 . . 3 𝐺 = (𝑧 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑧 = 0, ( 0 ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑧 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑧, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑧 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑧))))))))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 29cpmadugsum 22133 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝐷 × (𝐽𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺𝑛)))))
31 simp1 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
3231ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Fin)
33 crngring 19890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
34333ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
3534ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
36 cpmadumatpoly.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
371, 2, 3, 4, 9, 12, 15, 5, 16, 36chfacfisfcpmat 22110 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → 𝐺:ℕ0𝑆)
3833, 37syl3anl2 1413 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠)))) → 𝐺:ℕ0𝑆)
3938anassrs 469 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → 𝐺:ℕ0𝑆)
4039ffvelcdmda 7022 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) ∈ 𝑆)
41 cpmadumatpoly.u . . . . . . . . . . . 12 𝑈 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
4236, 41, 5m2cpminvid2 22010 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺𝑛) ∈ 𝑆) → (𝑇‘(𝑈‘(𝐺𝑛))) = (𝐺𝑛))
4332, 35, 40, 42syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑇‘(𝑈‘(𝐺𝑛))) = (𝐺𝑛))
4443eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑛) = (𝑇‘(𝑈‘(𝐺𝑛))))
4544oveq2d 7358 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺𝑛)) = ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺𝑛)))))
4645mpteq2dva 5197 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺𝑛))))))
4746oveq2d 7358 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺𝑛)))) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺𝑛)))))))
4847eqeq2d 2748 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → ((𝐷 × (𝐽𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺𝑛)))) ↔ (𝐷 × (𝐽𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺𝑛))))))))
49 fveq2 6830 . . . . . . 7 ((𝐷 × (𝐽𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺𝑛)))))) → (𝐼‘(𝐷 × (𝐽𝐷))) = (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺𝑛))))))))
50 3simpa 1148 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
5150ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
52 cpmadumatpoly.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = (Base‘𝑌)
53 cpmadumatpoly.q . . . . . . . . . 10 𝑄 = (Poly1𝐴)
54 cpmadumatpoly.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = (var1𝐴)
55 cpmadumatpoly.m2 . . . . . . . . . 10 = ( ·𝑠𝑄)
56 cpmadumatpoly.e . . . . . . . . . 10 = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
571, 2, 3, 4, 5, 9, 12, 15, 16, 36, 8, 10, 6, 13, 14, 52, 53, 54, 55, 56, 41cpmadumatpolylem1 22136 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (𝑈𝐺) ∈ (𝐵m0))
581, 2, 3, 4, 5, 9, 12, 15, 16, 36, 8, 10, 6, 13, 14, 52, 53, 54, 55, 56, 41cpmadumatpolylem2 22137 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (𝑈𝐺) finSupp (0g𝐴))
59 cpmadumatpoly.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
603, 4, 52, 55, 56, 54, 1, 2, 53, 59, 7, 6, 8, 5pm2mp 22080 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ ((𝑈𝐺) ∈ (𝐵m0) ∧ (𝑈𝐺) finSupp (0g𝐴))) → (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘((𝑈𝐺)‘𝑛)))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑈𝐺)‘𝑛) (𝑛 𝑋)))))
6151, 57, 58, 60syl12anc 835 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘((𝑈𝐺)‘𝑛)))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑈𝐺)‘𝑛) (𝑛 𝑋)))))
62 fvco3 6928 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺:ℕ0𝑆𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑈𝐺)‘𝑛) = (𝑈‘(𝐺𝑛)))
6362eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺:ℕ0𝑆𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑈‘(𝐺𝑛)) = ((𝑈𝐺)‘𝑛))
6439, 63sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑈‘(𝐺𝑛)) = ((𝑈𝐺)‘𝑛))
6564fveq2d 6834 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑇‘(𝑈‘(𝐺𝑛))) = (𝑇‘((𝑈𝐺)‘𝑛)))
6665oveq2d 7358 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺𝑛)))) = ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘((𝑈𝐺)‘𝑛))))
6766mpteq2dva 5197 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺𝑛))))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘((𝑈𝐺)‘𝑛)))))
6867oveq2d 7358 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺𝑛)))))) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘((𝑈𝐺)‘𝑛))))))
6968fveq2d 6834 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺𝑛))))))) = (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘((𝑈𝐺)‘𝑛)))))))
7064oveq1d 7357 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑈‘(𝐺𝑛)) (𝑛 𝑋)) = (((𝑈𝐺)‘𝑛) (𝑛 𝑋)))
7170mpteq2dva 5197 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺𝑛)) (𝑛 𝑋))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑈𝐺)‘𝑛) (𝑛 𝑋))))
7271oveq2d 7358 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺𝑛)) (𝑛 𝑋)))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑈𝐺)‘𝑛) (𝑛 𝑋)))))
7361, 69, 723eqtr4d 2787 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺𝑛))))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺𝑛)) (𝑛 𝑋)))))
7449, 73sylan9eqr 2799 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) ∧ (𝐷 × (𝐽𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺𝑛))))))) → (𝐼‘(𝐷 × (𝐽𝐷))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺𝑛)) (𝑛 𝑋)))))
7574ex 414 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → ((𝐷 × (𝐽𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺𝑛)))))) → (𝐼‘(𝐷 × (𝐽𝐷))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺𝑛)) (𝑛 𝑋))))))
7648, 75sylbid 239 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))) → ((𝐷 × (𝐽𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺𝑛)))) → (𝐼‘(𝐷 × (𝐽𝐷))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺𝑛)) (𝑛 𝑋))))))
7776reximdva 3162 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (∃𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝐷 × (𝐽𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺𝑛)))) → ∃𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝐼‘(𝐷 × (𝐽𝐷))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺𝑛)) (𝑛 𝑋))))))
7877reximdva 3162 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝐷 × (𝐽𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺𝑛)))) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝐼‘(𝐷 × (𝐽𝐷))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺𝑛)) (𝑛 𝑋))))))
7930, 78mpd 15 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵m (0...𝑠))(𝐼‘(𝐷 × (𝐽𝐷))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺𝑛)) (𝑛 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3071  ifcif 4478   class class class wbr 5097  cmpt 5180  ccom 5629  wf 6480  cfv 6484  (class class class)co 7342  m cmap 8691  Fincfn 8809   finSupp cfsupp 9231  0cc0 10977  1c1 10978   + caddc 10980   < clt 11115  cmin 11311  cn 12079  0cn0 12339  ...cfz 13345  Basecbs 17010  +gcplusg 17060  .rcmulr 17061   ·𝑠 cvsca 17064  0gc0g 17248   Σg cgsu 17249  -gcsg 18676  .gcmg 18797  mulGrpcmgp 19815  1rcur 19832  Ringcrg 19878  CRingccrg 19879  var1cv1 21453  Poly1cpl1 21454   Mat cmat 21660   maAdju cmadu 21887   ConstPolyMat ccpmat 21958   matToPolyMat cmat2pmat 21959   cPolyMatToMat ccpmat2mat 21960   pMatToMatPoly cpm2mp 22047
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-addf 11056  ax-mulf 11057
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-ot 4587  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-se 5581  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-of 7600  df-ofr 7601  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-supp 8053  df-tpos 8117  df-cur 8158  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-2o 8373  df-er 8574  df-map 8693  df-pm 8694  df-ixp 8762  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-fsupp 9232  df-sup 9304  df-oi 9372  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-5 12145  df-6 12146  df-7 12147  df-8 12148  df-9 12149  df-n0 12340  df-xnn0 12412  df-z 12426  df-dec 12544  df-uz 12689  df-rp 12837  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-seq 13828  df-exp 13889  df-hash 14151  df-word 14323  df-lsw 14371  df-concat 14379  df-s1 14404  df-substr 14453  df-pfx 14483  df-splice 14562  df-reverse 14571  df-s2 14661  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-starv 17075  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-ip 17078  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-unif 17083  df-hom 17084  df-cco 17085  df-0g 17250  df-gsum 17251  df-prds 17256  df-pws 17258  df-mre 17393  df-mrc 17394  df-acs 17396  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-mhm 18528  df-submnd 18529  df-efmnd 18605  df-grp 18677  df-minusg 18678  df-sbg 18679  df-mulg 18798  df-subg 18849  df-ghm 18929  df-gim 18972  df-cntz 19020  df-oppg 19047  df-symg 19072  df-pmtr 19147  df-psgn 19196  df-cmn 19484  df-abl 19485  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-srg 19837  df-ring 19880  df-cring 19881  df-oppr 19957  df-dvdsr 19978  df-unit 19979  df-invr 20009  df-dvr 20020  df-rnghom 20054  df-drng 20095  df-subrg 20127  df-lmod 20231  df-lss 20300  df-sra 20540  df-rgmod 20541  df-cnfld 20704  df-zring 20777  df-zrh 20811  df-dsmm 21045  df-frlm 21060  df-assa 21166  df-ascl 21168  df-psr 21218  df-mvr 21219  df-mpl 21220  df-opsr 21222  df-psr1 21457  df-vr1 21458  df-ply1 21459  df-coe1 21460  df-mamu 21639  df-mat 21661  df-mdet 21840  df-madu 21889  df-cpmat 21961  df-mat2pmat 21962  df-cpmat2mat 21963  df-decpmat 22018  df-pm2mp 22048
This theorem is referenced by:  chcoeffeq  22141
  Copyright terms: Public domain W3C validator