Theorem cpmadumatpoly 22821

Description: The product of the characteristic matrix of a given matrix and its adjunct represented as a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 20-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmadumatpoly.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmadumatpoly.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmadumatpoly.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmadumatpoly.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmadumatpoly.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmadumatpoly.r	⊢ × = (.r‘𝑌)
cpmadumatpoly.m0	⊢ − = (-g‘𝑌)
cpmadumatpoly.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
cpmadumatpoly.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
cpmadumatpoly.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
cpmadumatpoly.m1	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
cpmadumatpoly.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
cpmadumatpoly.z	⊢ 𝑍 = (var1‘𝑅)
cpmadumatpoly.d	⊢ 𝐷 = ((𝑍 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
cpmadumatpoly.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
cpmadumatpoly.w	⊢ 𝑊 = (Base‘𝑌)
cpmadumatpoly.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
cpmadumatpoly.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
cpmadumatpoly.m2	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
cpmadumatpoly.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
cpmadumatpoly.u	⊢ 𝑈 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
cpmadumatpoly.i	⊢ 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
cpmadumatpoly	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐼‘(𝐷 × (𝐽‘𝐷))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑆,𝑛   𝑛,𝑌,𝑏,𝑠   − ,𝑛   𝐷,𝑏,𝑛,𝑠   𝐴,𝑏,𝑛,𝑠   1 ,𝑛   𝑁,𝑏,𝑠   𝑛,𝐺   𝑛,𝑊   𝑅,𝑏,𝑠   · ,𝑏,𝑛,𝑠   𝑇,𝑏,𝑛,𝑠   𝑍,𝑏,𝑛,𝑠   𝑈,𝑛   𝐵,𝑏,𝑠   𝑀,𝑏,𝑠   𝑌,𝑏,𝑠   𝑛,𝐼   × ,𝑛   𝐽,𝑏,𝑛,𝑠   0 ,𝑛   𝑃,𝑏,𝑛,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑆(𝑠,𝑏)   × (𝑠,𝑏)   𝑈(𝑠,𝑏)   1 (𝑠,𝑏)   ↑ (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑠,𝑏)   𝐼(𝑠,𝑏)   ∗ (𝑛,𝑠,𝑏)   − (𝑠,𝑏)   𝑊(𝑠,𝑏)   𝑋(𝑛,𝑠,𝑏)   0 (𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cpmadumatpoly

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmadumatpoly.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		cpmadumatpoly.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		cpmadumatpoly.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		cpmadumatpoly.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
5		cpmadumatpoly.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
6		cpmadumatpoly.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (var1‘𝑅)
7		eqid 2735	. . 3 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
8		cpmadumatpoly.m1	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
9		cpmadumatpoly.r	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑌)
10		cpmadumatpoly.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
11		eqid 2735	. . 3 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
12		cpmadumatpoly.m0	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑌)
13		cpmadumatpoly.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((𝑍 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
14		cpmadumatpoly.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
15		cpmadumatpoly.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
16		cpmadumatpoly.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
17		eqeq1 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑛 = 0 ↔ 𝑧 = 0))
18		eqeq1 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑛 = (𝑠 + 1) ↔ 𝑧 = (𝑠 + 1)))
19		breq2 5123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ((𝑠 + 1) < 𝑛 ↔ (𝑠 + 1) < 𝑧))
20		fvoveq1 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑏‘(𝑛 − 1)) = (𝑏‘(𝑧 − 1)))
21	20	fveq2d 6880	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) = (𝑇‘(𝑏‘(𝑧 − 1))))
22		2fveq3 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑇‘(𝑏‘𝑛)) = (𝑇‘(𝑏‘𝑧)))
23	22	oveq2d 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))) = ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑧))))
24	21, 23	oveq12d 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))) = ((𝑇‘(𝑏‘(𝑧 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑧)))))
25	19, 24	ifbieq2d 4527	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))) = if((𝑠 + 1) < 𝑧, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑧 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑧))))))
26	18, 25	ifbieq2d 4527	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) = if(𝑧 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑧, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑧 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑧)))))))
27	17, 26	ifbieq2d 4527	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))) = if(𝑧 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑧 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑧, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑧 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑧))))))))
28	27	cbvmptv 5225	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) = (𝑧 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑧 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑧 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑧, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑧 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑧))))))))
29	16, 28	eqtri 2758	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑧 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑧 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑧, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑧 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑧))))))))
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 29	cpmadugsum 22816	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐷 × (𝐽‘𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺‘𝑛)))))
31		simp1 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
32	31	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Fin)
33		crngring 20205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
34	33	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
35	34	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
36		cpmadumatpoly.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
37	1, 2, 3, 4, 9, 12, 15, 5, 16, 36	chfacfisfcpmat 22793	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝐺:ℕ0⟶𝑆)
38	33, 37	syl3anl2 1415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝐺:ℕ0⟶𝑆)
39	38	anassrs 467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → 𝐺:ℕ0⟶𝑆)
40	39	ffvelcdmda 7074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑛) ∈ 𝑆)
41		cpmadumatpoly.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑈 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
42	36, 41, 5	m2cpminvid2 22693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝑛) ∈ 𝑆) → (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))) = (𝐺‘𝑛))
43	32, 35, 40, 42	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))) = (𝐺‘𝑛))
44	43	eqcomd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑛) = (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))))
45	44	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺‘𝑛)) = ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))
46	45	mpteq2dva 5214	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))
47	46	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺‘𝑛)))) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))))
48	47	eqeq2d 2746	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → ((𝐷 × (𝐽‘𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺‘𝑛)))) ↔ (𝐷 × (𝐽‘𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))))
49		fveq2 6876	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 × (𝐽‘𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))) → (𝐼‘(𝐷 × (𝐽‘𝐷))) = (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))))
50		3simpa 1148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
51	50	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
52		cpmadumatpoly.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = (Base‘𝑌)
53		cpmadumatpoly.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
54		cpmadumatpoly.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
55		cpmadumatpoly.m2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
56		cpmadumatpoly.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
57	1, 2, 3, 4, 5, 9, 12, 15, 16, 36, 8, 10, 6, 13, 14, 52, 53, 54, 55, 56, 41	cpmadumatpolylem1 22819	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑈 ∘ 𝐺) ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
58	1, 2, 3, 4, 5, 9, 12, 15, 16, 36, 8, 10, 6, 13, 14, 52, 53, 54, 55, 56, 41	cpmadumatpolylem2 22820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑈 ∘ 𝐺) finSupp (0g‘𝐴))
59		cpmadumatpoly.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
60	3, 4, 52, 55, 56, 54, 1, 2, 53, 59, 7, 6, 8, 5	pm2mp 22763	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ ((𝑈 ∘ 𝐺) ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) ∧ (𝑈 ∘ 𝐺) finSupp (0g‘𝐴))) → (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛)))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)))))
61	51, 57, 58, 60	syl12anc 836	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛)))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)))))
62		fvco3 6978	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺:ℕ0⟶𝑆 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛) = (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))
63	62	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺:ℕ0⟶𝑆 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = ((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛))
64	39, 63	sylan 580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = ((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛))
65	64	fveq2d 6880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))) = (𝑇‘((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛)))
66	65	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛)))) = ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛))))
67	66	mpteq2dva 5214	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛)))))
68	67	oveq2d 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛))))))
69	68	fveq2d 6880	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))) = (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛)))))))
70	64	oveq1d 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)) = (((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)))
71	70	mpteq2dva 5214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋))))
72	71	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)))))
73	61, 69, 72	3eqtr4d 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)))))
74	49, 73	sylan9eqr 2792	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ (𝐷 × (𝐽‘𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))) → (𝐼‘(𝐷 × (𝐽‘𝐷))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)))))
75	74	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → ((𝐷 × (𝐽‘𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))) → (𝐼‘(𝐷 × (𝐽‘𝐷))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋))))))
76	48, 75	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → ((𝐷 × (𝐽‘𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺‘𝑛)))) → (𝐼‘(𝐷 × (𝐽‘𝐷))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋))))))
77	76	reximdva 3153	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐷 × (𝐽‘𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺‘𝑛)))) → ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐼‘(𝐷 × (𝐽‘𝐷))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋))))))
78	77	reximdva 3153	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐷 × (𝐽‘𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺‘𝑛)))) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐼‘(𝐷 × (𝐽‘𝐷))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋))))))
79	30, 78	mpd 15	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐼‘(𝐷 × (𝐽‘𝐷))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060  ifcif 4500   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201   ∘ ccom 5658  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8840  Fincfn 8959   finSupp cfsupp 9373  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   < clt 11269   − cmin 11466  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ...cfz 13524  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  ._rcmulr 17272   ·_𝑠 cvsca 17275  0_gc0g 17453   Σ_g cgsu 17454  -_gcsg 18918  ._gcmg 19050  mulGrpcmgp 20100  1_rcur 20141  Ringcrg 20193  CRingccrg 20194  var₁cv1 22111  Poly₁cpl1 22112   Mat cmat 22345   maAdju cmadu 22570   ConstPolyMat ccpmat 22641   matToPolyMat cmat2pmat 22642   cPolyMatToMat ccpmat2mat 22643   pMatToMatPoly cpm2mp 22730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-addf 11208  ax-mulf 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-ot 4610  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-ofr 7672  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-cur 8266  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-word 14532  df-lsw 14581  df-concat 14589  df-s1 14614  df-substr 14659  df-pfx 14689  df-splice 14768  df-reverse 14777  df-s2 14867  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-prds 17461  df-pws 17463  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-submnd 18762  df-efmnd 18847  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-ghm 19196  df-gim 19242  df-cntz 19300  df-oppg 19329  df-symg 19351  df-pmtr 19423  df-psgn 19472  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-srg 20147  df-ring 20195  df-cring 20196  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-dvr 20361  df-rhm 20432  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-drng 20691  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-cnfld 21316  df-zring 21408  df-zrh 21464  df-dsmm 21692  df-frlm 21707  df-assa 21813  df-ascl 21815  df-psr 21869  df-mvr 21870  df-mpl 21871  df-opsr 21873  df-psr1 22115  df-vr1 22116  df-ply1 22117  df-coe1 22118  df-mamu 22329  df-mat 22346  df-mdet 22523  df-madu 22572  df-cpmat 22644  df-mat2pmat 22645  df-cpmat2mat 22646  df-decpmat 22701  df-pm2mp 22731

This theorem is referenced by:  chcoeffeq  22824