Theorem cpmadumatpoly 23114

Description: The product of the characteristic matrix of a given matrix and its adjunct represented as a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 20-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmadumatpoly.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmadumatpoly.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmadumatpoly.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmadumatpoly.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmadumatpoly.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmadumatpoly.r	⊢ × = (.r‘𝑌)
cpmadumatpoly.m0	⊢ − = (-g‘𝑌)
cpmadumatpoly.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
cpmadumatpoly.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
cpmadumatpoly.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
cpmadumatpoly.m1	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
cpmadumatpoly.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
cpmadumatpoly.z	⊢ 𝑍 = (var1‘𝑅)
cpmadumatpoly.d	⊢ 𝐷 = ((𝑍 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
cpmadumatpoly.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
cpmadumatpoly.w	⊢ 𝑊 = (Base‘𝑌)
cpmadumatpoly.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
cpmadumatpoly.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
cpmadumatpoly.m2	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
cpmadumatpoly.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
cpmadumatpoly.u	⊢ 𝑈 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
cpmadumatpoly.i	⊢ 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
cpmadumatpoly	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐼‘(𝐷 × (𝐽‘𝐷))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑆,𝑛   𝑛,𝑌,𝑏,𝑠   − ,𝑛   𝐷,𝑏,𝑛,𝑠   𝐴,𝑏,𝑛,𝑠   1 ,𝑛   𝑁,𝑏,𝑠   𝑛,𝐺   𝑛,𝑊   𝑅,𝑏,𝑠   · ,𝑏,𝑛,𝑠   𝑇,𝑏,𝑛,𝑠   𝑍,𝑏,𝑛,𝑠   𝑈,𝑛   𝐵,𝑏,𝑠   𝑀,𝑏,𝑠   𝑌,𝑏,𝑠   𝑛,𝐼   × ,𝑛   𝐽,𝑏,𝑛,𝑠   0 ,𝑛   𝑃,𝑏,𝑛,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑛, 𝑠, 𝑏)   𝑆(𝑠, 𝑏)   × (𝑠, 𝑏)   𝑈(𝑠, 𝑏)   1 (𝑠, 𝑏)   ↑ (𝑛, 𝑠, 𝑏)   𝐺(𝑠, 𝑏)   𝐼(𝑠, 𝑏)   ∗ (𝑛, 𝑠, 𝑏)   − (𝑠, 𝑏)   𝑊(𝑠, 𝑏)   𝑋(𝑛, 𝑠, 𝑏)   0 (𝑠, 𝑏)

Proof of Theorem cpmadumatpoly

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmadumatpoly.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		cpmadumatpoly.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		cpmadumatpoly.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		cpmadumatpoly.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
5		cpmadumatpoly.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
6		cpmadumatpoly.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (var1‘𝑅)
7		eqid 2762	. . 3 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
8		cpmadumatpoly.m1	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
9		cpmadumatpoly.r	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑌)
10		cpmadumatpoly.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
11		eqid 2762	. . 3 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
12		cpmadumatpoly.m0	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑌)
13		cpmadumatpoly.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((𝑍 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
14		cpmadumatpoly.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
15		cpmadumatpoly.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
16		cpmadumatpoly.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
17		eqeq1 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑛 = 0 ↔ 𝑧 = 0))
18		eqeq1 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑛 = (𝑠 + 1) ↔ 𝑧 = (𝑠 + 1)))
19		breq2 5111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ((𝑠 + 1) < 𝑛 ↔ (𝑠 + 1) < 𝑧))
20		fvoveq1 7440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑏‘(𝑛 − 1)) = (𝑏‘(𝑧 − 1)))
21	20	fveq2d 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) = (𝑇‘(𝑏‘(𝑧 − 1))))
22		2fveq3 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑇‘(𝑏‘𝑛)) = (𝑇‘(𝑏‘𝑧)))
23	22	oveq2d 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))) = ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑧))))
24	21, 23	oveq12d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))) = ((𝑇‘(𝑏‘(𝑧 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑧)))))
25	19, 24	ifbieq2d 4512	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))) = if((𝑠 + 1) < 𝑧, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑧 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑧))))))
26	18, 25	ifbieq2d 4512	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) = if(𝑧 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑧, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑧 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑧)))))))
27	17, 26	ifbieq2d 4512	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))) = if(𝑧 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑧 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑧, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑧 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑧))))))))
28	27	cbvmptv 5213	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) = (𝑧 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑧 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑧 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑧, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑧 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑧))))))))
29	16, 28	eqtri 2785	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑧 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑧 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑧, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑧 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑧))))))))
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 29	cpmadugsum 23109	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐷 × (𝐽‘𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺‘𝑛)))))
31		simp1 1154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
32	31	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Fin)
33		crngring 20390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
34	33	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
35	34	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
36		cpmadumatpoly.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
37	1, 2, 3, 4, 9, 12, 15, 5, 16, 36	chfacfisfcpmat 23086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝐺:ℕ0⟶𝑆)
38	33, 37	syl3anl2 1440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝐺:ℕ0⟶𝑆)
39	38	anassrs 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → 𝐺:ℕ0⟶𝑆)
40	39	ffvelcdmda 7081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑛) ∈ 𝑆)
41		cpmadumatpoly.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑈 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
42	36, 41, 5	m2cpminvid2 22986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝑛) ∈ 𝑆) → (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))) = (𝐺‘𝑛))
43	32, 35, 40, 42	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))) = (𝐺‘𝑛))
44	43	eqcomd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑛) = (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))))
45	44	oveq2d 7433	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺‘𝑛)) = ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))
46	45	mpteq2dva 5202	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))
47	46	oveq2d 7433	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺‘𝑛)))) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))))
48	47	eqeq2d 2773	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → ((𝐷 × (𝐽‘𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺‘𝑛)))) ↔ (𝐷 × (𝐽‘𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))))
49		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 × (𝐽‘𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))) → (𝐼‘(𝐷 × (𝐽‘𝐷))) = (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))))
50		3simpa 1166	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
51	50	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
52		cpmadumatpoly.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = (Base‘𝑌)
53		cpmadumatpoly.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
54		cpmadumatpoly.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
55		cpmadumatpoly.m2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
56		cpmadumatpoly.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
57	1, 2, 3, 4, 5, 9, 12, 15, 16, 36, 8, 10, 6, 13, 14, 52, 53, 54, 55, 56, 41	cpmadumatpolylem1 23112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑈 ∘ 𝐺) ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
58	1, 2, 3, 4, 5, 9, 12, 15, 16, 36, 8, 10, 6, 13, 14, 52, 53, 54, 55, 56, 41	cpmadumatpolylem2 23113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑈 ∘ 𝐺) finSupp (0g‘𝐴))
59		cpmadumatpoly.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
60	3, 4, 52, 55, 56, 54, 1, 2, 53, 59, 7, 6, 8, 5	pm2mp 23056	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ ((𝑈 ∘ 𝐺) ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) ∧ (𝑈 ∘ 𝐺) finSupp (0g‘𝐴))) → (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛)))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)))))
61	51, 57, 58, 60	syl12anc 850	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛)))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)))))
62		fvco3 6982	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺:ℕ0⟶𝑆 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛) = (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))
63	62	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺:ℕ0⟶𝑆 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = ((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛))
64	39, 63	sylan 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = ((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛))
65	64	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))) = (𝑇‘((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛)))
66	65	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛)))) = ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛))))
67	66	mpteq2dva 5202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛)))))
68	67	oveq2d 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛))))))
69	68	fveq2d 6886	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))) = (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛)))))))
70	64	oveq1d 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)) = (((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)))
71	70	mpteq2dva 5202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋))))
72	71	oveq2d 7433	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)))))
73	61, 69, 72	3eqtr4d 2807	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)))))
74	49, 73	sylan9eqr 2819	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ (𝐷 × (𝐽‘𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))) → (𝐼‘(𝐷 × (𝐽‘𝐷))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)))))
75	74	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → ((𝐷 × (𝐽‘𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))) → (𝐼‘(𝐷 × (𝐽‘𝐷))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋))))))
76	48, 75	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → ((𝐷 × (𝐽‘𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺‘𝑛)))) → (𝐼‘(𝐷 × (𝐽‘𝐷))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋))))))
77	76	reximdva 3177	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐷 × (𝐽‘𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺‘𝑛)))) → ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐼‘(𝐷 × (𝐽‘𝐷))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋))))))
78	77	reximdva 3177	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐷 × (𝐽‘𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺‘𝑛)))) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐼‘(𝐷 × (𝐽‘𝐷))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋))))))
79	30, 78	mpd 16	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐼‘(𝐷 × (𝐽‘𝐷))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  ifcif 4485   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ↑_m cmap 8830  Fincfn 8956   finSupp cfsupp 9335  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   < clt 11271   − cmin 11469  ℕcn 12261  ℕ₀cn0 12532  ...cfz 13565  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  ._rcmulr 17349   ·_𝑠 cvsca 17352  0_gc0g 17530   Σ_g cgsu 17531  -_gcsg 19065  ._gcmg 19196  mulGrpcmgp 20279  1_rcur 20326  Ringcrg 20378  CRingccrg 20379  var₁cv1 22407  Poly₁cpl1 22408   Mat cmat 22635   maAdju cmadu 22860   ConstPolyMat ccpmat 22934   matToPolyMat cmat2pmat 22935   cPolyMatToMat ccpmat2mat 22936   pMatToMatPoly cpm2mp 23023

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-addf 11207  ax-mulf 11208

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-cur 8269  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-sup 9416  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-word 14583  df-lsw 14632  df-concat 14640  df-s1 14667  df-substr 14713  df-pfx 14745  df-splice 14823  df-reverse 14832  df-s2 14923  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-hom 17372  df-cco 17373  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-prds 17538  df-pws 17540  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-submnd 18898  df-efmnd 18984  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-mulg 19197  df-subg 19252  df-ghm 19347  df-gim 19392  df-cntz 19450  df-oppg 19479  df-symg 19503  df-pmtr 19575  df-psgn 19624  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-srg 20332  df-ring 20380  df-cring 20381  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-unit 20505  df-invr 20535  df-dvr 20548  df-rhm 20619  df-subrng 20714  df-subrg 20738  df-drng 20898  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-sra 21363  df-rgmod 21364  df-cnfld 21592  df-zring 21666  df-zrh 21722  df-dsmm 21951  df-frlm 21966  df-assa 22074  df-ascl 22076  df-psr 22130  df-mvr 22131  df-mpl 22132  df-opsr 22134  df-psr1 22411  df-vr1 22412  df-ply1 22413  df-coe1 22414  df-mamu 22619  df-mat 22636  df-mdet 22813  df-madu 22862  df-cpmat 22937  df-mat2pmat 22938  df-cpmat2mat 22939  df-decpmat 22994  df-pm2mp 23024

This theorem is used by:  chcoeffeq  23117