Theorem cpmadumatpoly 22138

Description: The product of the characteristic matrix of a given matrix and its adjunct represented as a polynomial over matrices. (Contributed by AV, 20-Nov-2019.) (Revised by AV, 7-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmadumatpoly.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cpmadumatpoly.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cpmadumatpoly.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
cpmadumatpoly.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
cpmadumatpoly.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
cpmadumatpoly.r	⊢ × = (.r‘𝑌)
cpmadumatpoly.m0	⊢ − = (-g‘𝑌)
cpmadumatpoly.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
cpmadumatpoly.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
cpmadumatpoly.s	⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
cpmadumatpoly.m1	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
cpmadumatpoly.1	⊢ 1 = (1r‘𝑌)
cpmadumatpoly.z	⊢ 𝑍 = (var1‘𝑅)
cpmadumatpoly.d	⊢ 𝐷 = ((𝑍 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
cpmadumatpoly.j	⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
cpmadumatpoly.w	⊢ 𝑊 = (Base‘𝑌)
cpmadumatpoly.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
cpmadumatpoly.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
cpmadumatpoly.m2	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
cpmadumatpoly.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
cpmadumatpoly.u	⊢ 𝑈 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
cpmadumatpoly.i	⊢ 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
cpmadumatpoly	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐼‘(𝐷 × (𝐽‘𝐷))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑆,𝑛   𝑛,𝑌,𝑏,𝑠   𝐴,𝑏,𝑠,𝑛   𝐵,𝑏,𝑠   𝐷,𝑏,𝑠,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝐼   𝐽,𝑏,𝑠,𝑛   𝑀,𝑏,𝑠   𝑁,𝑏,𝑠   𝑃,𝑛,𝑏,𝑠   𝑅,𝑏,𝑠   𝑇,𝑏,𝑠,𝑛   𝑈,𝑛   𝑛,𝑊   𝑌,𝑏,𝑠   𝑍,𝑏,𝑠,𝑛   × ,𝑛   · ,𝑏,𝑠,𝑛   1 ,𝑛   0 ,𝑛   − ,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑆(𝑠,𝑏)   × (𝑠,𝑏)   𝑈(𝑠,𝑏)   1 (𝑠,𝑏)   ↑ (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑠,𝑏)   𝐼(𝑠,𝑏)   ∗ (𝑛,𝑠,𝑏)   − (𝑠,𝑏)   𝑊(𝑠,𝑏)   𝑋(𝑛,𝑠,𝑏)   0 (𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cpmadumatpoly

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cpmadumatpoly.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		cpmadumatpoly.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		cpmadumatpoly.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		cpmadumatpoly.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
5		cpmadumatpoly.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
6		cpmadumatpoly.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (var1‘𝑅)
7		eqid 2737	. . 3 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
8		cpmadumatpoly.m1	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
9		cpmadumatpoly.r	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑌)
10		cpmadumatpoly.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑌)
11		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
12		cpmadumatpoly.m0	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑌)
13		cpmadumatpoly.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((𝑍 · 1 ) − (𝑇‘𝑀))
14		cpmadumatpoly.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (𝑁 maAdju 𝑃)
15		cpmadumatpoly.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
16		cpmadumatpoly.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
17		eqeq1 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑛 = 0 ↔ 𝑧 = 0))
18		eqeq1 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑛 = (𝑠 + 1) ↔ 𝑧 = (𝑠 + 1)))
19		breq2 5101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ((𝑠 + 1) < 𝑛 ↔ (𝑠 + 1) < 𝑧))
20		fvoveq1 7365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑏‘(𝑛 − 1)) = (𝑏‘(𝑧 − 1)))
21	20	fveq2d 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) = (𝑇‘(𝑏‘(𝑧 − 1))))
22		2fveq3 6835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑇‘(𝑏‘𝑛)) = (𝑇‘(𝑏‘𝑧)))
23	22	oveq2d 7358	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))) = ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑧))))
24	21, 23	oveq12d 7360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))) = ((𝑇‘(𝑏‘(𝑧 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑧)))))
25	19, 24	ifbieq2d 4504	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))) = if((𝑠 + 1) < 𝑧, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑧 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑧))))))
26	18, 25	ifbieq2d 4504	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))) = if(𝑧 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑧, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑧 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑧)))))))
27	17, 26	ifbieq2d 4504	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))) = if(𝑧 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑧 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑧, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑧 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑧))))))))
28	27	cbvmptv 5210	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛)))))))) = (𝑧 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑧 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑧 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑧, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑧 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑧))))))))
29	16, 28	eqtri 2765	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑧 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑧 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑧 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑧, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑧 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑧))))))))
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 29	cpmadugsum 22133	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐷 × (𝐽‘𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺‘𝑛)))))
31		simp1 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
32	31	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ Fin)
33		crngring 19890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
34	33	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
35	34	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
36		cpmadumatpoly.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑆 = (𝑁 ConstPolyMat 𝑅)
37	1, 2, 3, 4, 9, 12, 15, 5, 16, 36	chfacfisfcpmat 22110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝐺:ℕ0⟶𝑆)
38	33, 37	syl3anl2 1413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠)))) → 𝐺:ℕ0⟶𝑆)
39	38	anassrs 469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → 𝐺:ℕ0⟶𝑆)
40	39	ffvelcdmda 7022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑛) ∈ 𝑆)
41		cpmadumatpoly.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑈 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
42	36, 41, 5	m2cpminvid2 22010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝑛) ∈ 𝑆) → (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))) = (𝐺‘𝑛))
43	32, 35, 40, 42	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))) = (𝐺‘𝑛))
44	43	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑛) = (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))))
45	44	oveq2d 7358	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺‘𝑛)) = ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))
46	45	mpteq2dva 5197	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))
47	46	oveq2d 7358	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺‘𝑛)))) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))))
48	47	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → ((𝐷 × (𝐽‘𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺‘𝑛)))) ↔ (𝐷 × (𝐽‘𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))))
49		fveq2 6830	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 × (𝐽‘𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))) → (𝐼‘(𝐷 × (𝐽‘𝐷))) = (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))))
50		3simpa 1148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
51	50	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing))
52		cpmadumatpoly.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = (Base‘𝑌)
53		cpmadumatpoly.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
54		cpmadumatpoly.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
55		cpmadumatpoly.m2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
56		cpmadumatpoly.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
57	1, 2, 3, 4, 5, 9, 12, 15, 16, 36, 8, 10, 6, 13, 14, 52, 53, 54, 55, 56, 41	cpmadumatpolylem1 22136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑈 ∘ 𝐺) ∈ (𝐵 ↑m ℕ0))
58	1, 2, 3, 4, 5, 9, 12, 15, 16, 36, 8, 10, 6, 13, 14, 52, 53, 54, 55, 56, 41	cpmadumatpolylem2 22137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑈 ∘ 𝐺) finSupp (0g‘𝐴))
59		cpmadumatpoly.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
60	3, 4, 52, 55, 56, 54, 1, 2, 53, 59, 7, 6, 8, 5	pm2mp 22080	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ ((𝑈 ∘ 𝐺) ∈ (𝐵 ↑m ℕ0) ∧ (𝑈 ∘ 𝐺) finSupp (0g‘𝐴))) → (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛)))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)))))
61	51, 57, 58, 60	syl12anc 835	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛)))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)))))
62		fvco3 6928	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺:ℕ0⟶𝑆 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛) = (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))
63	62	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺:ℕ0⟶𝑆 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = ((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛))
64	39, 63	sylan 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = ((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛))
65	64	fveq2d 6834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))) = (𝑇‘((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛)))
66	65	oveq2d 7358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛)))) = ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛))))
67	66	mpteq2dva 5197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛)))))
68	67	oveq2d 7358	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛))))))
69	68	fveq2d 6834	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))) = (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛)))))))
70	64	oveq1d 7357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)) = (((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)))
71	70	mpteq2dva 5197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋))))
72	71	oveq2d 7358	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑈 ∘ 𝐺)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)))))
73	61, 69, 72	3eqtr4d 2787	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → (𝐼‘(𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)))))
74	49, 73	sylan9eqr 2799	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) ∧ (𝐷 × (𝐽‘𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))) → (𝐼‘(𝐷 × (𝐽‘𝐷))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)))))
75	74	ex 414	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → ((𝐷 × (𝐽‘𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝑇‘(𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))) → (𝐼‘(𝐷 × (𝐽‘𝐷))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋))))))
76	48, 75	sylbid 239	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))) → ((𝐷 × (𝐽‘𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺‘𝑛)))) → (𝐼‘(𝐷 × (𝐽‘𝐷))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋))))))
77	76	reximdva 3162	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐷 × (𝐽‘𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺‘𝑛)))) → ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐼‘(𝐷 × (𝐽‘𝐷))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋))))))
78	77	reximdva 3162	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐷 × (𝐽‘𝐷)) = (𝑌 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑍) · (𝐺‘𝑛)))) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐼‘(𝐷 × (𝐽‘𝐷))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋))))))
79	30, 78	mpd 15	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m (0...𝑠))(𝐼‘(𝐷 × (𝐽‘𝐷))) = (𝑄 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) ∗ (𝑛 ↑ 𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3071  ifcif 4478   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5180   ∘ ccom 5629  ⟶wf 6480  ‘cfv 6484  (class class class)co 7342   ↑_m cmap 8691  Fincfn 8809   finSupp cfsupp 9231  0cc0 10977  1c1 10978   + caddc 10980   < clt 11115   − cmin 11311  ℕcn 12079  ℕ₀cn0 12339  ...cfz 13345  Basecbs 17010  +_gcplusg 17060  ._rcmulr 17061   ·_𝑠 cvsca 17064  0_gc0g 17248   Σ_g cgsu 17249  -_gcsg 18676  ._gcmg 18797  mulGrpcmgp 19815  1_rcur 19832  Ringcrg 19878  CRingccrg 19879  var₁cv1 21453  Poly₁cpl1 21454   Mat cmat 21660   maAdju cmadu 21887   ConstPolyMat ccpmat 21958   matToPolyMat cmat2pmat 21959   cPolyMatToMat ccpmat2mat 21960   pMatToMatPoly cpm2mp 22047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-addf 11056  ax-mulf 11057

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-ot 4587  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-se 5581  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-of 7600  df-ofr 7601  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-supp 8053  df-tpos 8117  df-cur 8158  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-2o 8373  df-er 8574  df-map 8693  df-pm 8694  df-ixp 8762  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-fsupp 9232  df-sup 9304  df-oi 9372  df-card 9801  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-5 12145  df-6 12146  df-7 12147  df-8 12148  df-9 12149  df-n0 12340  df-xnn0 12412  df-z 12426  df-dec 12544  df-uz 12689  df-rp 12837  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-seq 13828  df-exp 13889  df-hash 14151  df-word 14323  df-lsw 14371  df-concat 14379  df-s1 14404  df-substr 14453  df-pfx 14483  df-splice 14562  df-reverse 14571  df-s2 14661  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-starv 17075  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-ip 17078  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-unif 17083  df-hom 17084  df-cco 17085  df-0g 17250  df-gsum 17251  df-prds 17256  df-pws 17258  df-mre 17393  df-mrc 17394  df-acs 17396  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-mhm 18528  df-submnd 18529  df-efmnd 18605  df-grp 18677  df-minusg 18678  df-sbg 18679  df-mulg 18798  df-subg 18849  df-ghm 18929  df-gim 18972  df-cntz 19020  df-oppg 19047  df-symg 19072  df-pmtr 19147  df-psgn 19196  df-cmn 19484  df-abl 19485  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-srg 19837  df-ring 19880  df-cring 19881  df-oppr 19957  df-dvdsr 19978  df-unit 19979  df-invr 20009  df-dvr 20020  df-rnghom 20054  df-drng 20095  df-subrg 20127  df-lmod 20231  df-lss 20300  df-sra 20540  df-rgmod 20541  df-cnfld 20704  df-zring 20777  df-zrh 20811  df-dsmm 21045  df-frlm 21060  df-assa 21166  df-ascl 21168  df-psr 21218  df-mvr 21219  df-mpl 21220  df-opsr 21222  df-psr1 21457  df-vr1 21458  df-ply1 21459  df-coe1 21460  df-mamu 21639  df-mat 21661  df-mdet 21840  df-madu 21889  df-cpmat 21961  df-mat2pmat 21962  df-cpmat2mat 21963  df-decpmat 22018  df-pm2mp 22048

This theorem is referenced by:  chcoeffeq  22141