Theorem djhjlj 40079

Description: DVecH vector space closed subspace join in terms of lattice join. (Contributed by NM, 9-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
djhj.k	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
djhj.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
djhj.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
djhj.j	⊢ 𝐽 = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
djhj.w	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
djhj.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
djhj.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
djhjlj	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐽𝑌) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑌))))

Proof of Theorem djhjlj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djhj.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		djhj.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
3		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		djhj.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		djhj.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6	3, 4, 5	dihcnvcl 39947	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
7	1, 2, 6	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
8		djhj.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
9	3, 4, 5	dihcnvcl 39947	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
10	1, 8, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
11		djhj.k	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12		djhj.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
13	3, 11, 4, 5, 12	djhlj 40077	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑌))) = ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋))𝐽(𝐼‘(◡𝐼‘𝑌))))
14	1, 7, 10, 13	syl12anc 835	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑌))) = ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋))𝐽(𝐼‘(◡𝐼‘𝑌))))
15	4, 5	dihcnvid2 39949	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
16	1, 2, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
17	4, 5	dihcnvid2 39949	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) = 𝑌)
18	1, 8, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) = 𝑌)
19	16, 18	oveq12d 7411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋))𝐽(𝐼‘(◡𝐼‘𝑌))) = (𝑋𝐽𝑌))
20	14, 19	eqtr2d 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐽𝑌) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ^◡ccnv 5668  ran crn 5670  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  Basecbs 17126  joincjn 18246  HLchlt 38025  LHypclh 38660  DIsoHcdih 39904  joinHcdjh 40070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-riotaBAD 37628

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-tpos 8193  df-undef 8240  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-0g 17369  df-proset 18230  df-poset 18248  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-p1 18361  df-lat 18367  df-clat 18434  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-subg 18975  df-cntz 19147  df-lsm 19468  df-cmn 19614  df-abl 19615  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-oppr 20102  df-dvdsr 20123  df-unit 20124  df-invr 20154  df-dvr 20165  df-drng 20267  df-lmod 20422  df-lss 20492  df-lsp 20532  df-lvec 20663  df-lsatoms 37651  df-oposet 37851  df-ol 37853  df-oml 37854  df-covers 37941  df-ats 37942  df-atl 37973  df-cvlat 37997  df-hlat 38026  df-llines 38174  df-lplanes 38175  df-lvols 38176  df-lines 38177  df-psubsp 38179  df-pmap 38180  df-padd 38472  df-lhyp 38664  df-laut 38665  df-ldil 38780  df-ltrn 38781  df-trl 38835  df-tendo 39431  df-edring 39433  df-disoa 39705  df-dvech 39755  df-dib 39815  df-dic 39849  df-dih 39905  df-doch 40024  df-djh 40071

This theorem is referenced by:  djhj  40080  djh01  40088