Theorem dochdmm1 42348

Description: De Morgan-like law for closed subspace orthocomplement. (Contributed by NM, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochdmm1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochdmm1.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dochdmm1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochdmm1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochdmm1.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochdmm1.j	⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
dochdmm1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochdmm1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dochdmm1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dochdmm1	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))

Proof of Theorem dochdmm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochdmm1.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dochdmm1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
3		dochdmm1.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dochdmm1.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dochdmm1.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6		dochdmm1.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7	3, 4, 5, 6	dihrnss 42216	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
8	1, 2, 7	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
9		dochdmm1.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
10	3, 4, 6, 9	dochssv 42293	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
11	1, 8, 10	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
12		dochdmm1.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
13	3, 4, 5, 6	dihrnss 42216	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → 𝑌 ⊆ 𝑉)
14	1, 12, 13	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑉)
15	3, 4, 6, 9	dochssv 42293	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝑉)
16	1, 14, 15	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝑉)
17	3, 4, 6, 9	dochdmj1 42328	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∪ ( ⊥ ‘𝑌))) = (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∩ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))
18	1, 11, 16, 17	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∪ ( ⊥ ‘𝑌))) = (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∩ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))
19	3, 5, 9	dochoc 42305	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
20	1, 2, 19	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
21	3, 5, 9	dochoc 42305	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
22	1, 12, 21	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
23	20, 22	ineq12d 4167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∩ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) = (𝑋 ∩ 𝑌))
24	18, 23	eqtr2d 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) = ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∪ ( ⊥ ‘𝑌))))
25	24	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∪ ( ⊥ ‘𝑌)))))
26		dochdmm1.j	. . . 4 ⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
27	3, 4, 6, 9, 26	djhval2 42337	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝑉) → (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∪ ( ⊥ ‘𝑌)))))
28	1, 11, 16, 27	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∪ ( ⊥ ‘𝑌)))))
29	25, 28	eqtr4d 2798	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ran crn 5656  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  Basecbs 17326  HLchlt 40288  LHypclh 40922  DVecHcdvh 42016  DIsoHcdih 42166  ocHcoch 42285  joinHcdjh 42332

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-riotaBAD 39891

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8229  df-undef 8276  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-fz 13587  df-struct 17264  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-ress 17348  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-sca 17383  df-vsca 17384  df-0g 17551  df-proset 18407  df-poset 18426  df-plt 18441  df-lub 18457  df-glb 18458  df-join 18459  df-meet 18460  df-p0 18536  df-p1 18537  df-lat 18545  df-clat 18612  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-submnd 18918  df-grp 19086  df-minusg 19087  df-sbg 19088  df-subg 19272  df-cntz 19470  df-lsm 19789  df-cmn 19935  df-abl 19936  df-mgp 20300  df-rng 20314  df-ur 20347  df-ring 20400  df-oppr 20506  df-dvdsr 20526  df-unit 20527  df-invr 20557  df-dvr 20570  df-drng 20921  df-lmod 21076  df-lss 21146  df-lsp 21186  df-lvec 21317  df-lsatoms 39914  df-oposet 40114  df-ol 40116  df-oml 40117  df-covers 40204  df-ats 40205  df-atl 40236  df-cvlat 40260  df-hlat 40289  df-llines 40436  df-lplanes 40437  df-lvols 40438  df-lines 40439  df-psubsp 40441  df-pmap 40442  df-padd 40734  df-lhyp 40926  df-laut 40927  df-ldil 41042  df-ltrn 41043  df-trl 41097  df-tendo 41693  df-edring 41695  df-disoa 41967  df-dvech 42017  df-dib 42077  df-dic 42111  df-dih 42167  df-doch 42286  df-djh 42333

This theorem is used by:  lclkrlem2c  42447  lclkrslem2  42476  lcfrlem23  42503