Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochdmm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochdmm1 41057
Description: De Morgan-like law for closed subspace orthocomplement. (Contributed by NM, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochdmm1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochdmm1.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dochdmm1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochdmm1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochdmm1.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochdmm1.j = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
dochdmm1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dochdmm1.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝐼)
dochdmm1.y (𝜑𝑌 ∈ ran 𝐼)
Assertion
Ref Expression
dochdmm1 (𝜑 → ( ‘(𝑋𝑌)) = (( 𝑋) ( 𝑌)))

Proof of Theorem dochdmm1
StepHypRef Expression
1 dochdmm1.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dochdmm1.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝐼)
3 dochdmm1.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dochdmm1.u . . . . . . . 8 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 dochdmm1.i . . . . . . . 8 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6 dochdmm1.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑈)
73, 4, 5, 6dihrnss 40925 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋𝑉)
81, 2, 7syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
9 dochdmm1.o . . . . . . 7 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
103, 4, 6, 9dochssv 41002 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ( 𝑋) ⊆ 𝑉)
111, 8, 10syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → ( 𝑋) ⊆ 𝑉)
12 dochdmm1.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ran 𝐼)
133, 4, 5, 6dihrnss 40925 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → 𝑌𝑉)
141, 12, 13syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
153, 4, 6, 9dochssv 41002 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌𝑉) → ( 𝑌) ⊆ 𝑉)
161, 14, 15syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → ( 𝑌) ⊆ 𝑉)
173, 4, 6, 9dochdmj1 41037 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ ( 𝑌) ⊆ 𝑉) → ( ‘(( 𝑋) ∪ ( 𝑌))) = (( ‘( 𝑋)) ∩ ( ‘( 𝑌))))
181, 11, 16, 17syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → ( ‘(( 𝑋) ∪ ( 𝑌))) = (( ‘( 𝑋)) ∩ ( ‘( 𝑌))))
193, 5, 9dochoc 41014 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
201, 2, 19syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘( 𝑋)) = 𝑋)
213, 5, 9dochoc 41014 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
221, 12, 21syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
2320, 22ineq12d 4213 . . . 4 (𝜑 → (( ‘( 𝑋)) ∩ ( ‘( 𝑌))) = (𝑋𝑌))
2418, 23eqtr2d 2766 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑌) = ( ‘(( 𝑋) ∪ ( 𝑌))))
2524fveq2d 6904 . 2 (𝜑 → ( ‘(𝑋𝑌)) = ( ‘( ‘(( 𝑋) ∪ ( 𝑌)))))
26 dochdmm1.j . . . 4 = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
273, 4, 6, 9, 26djhval2 41046 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ ( 𝑌) ⊆ 𝑉) → (( 𝑋) ( 𝑌)) = ( ‘( ‘(( 𝑋) ∪ ( 𝑌)))))
281, 11, 16, 27syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (( 𝑋) ( 𝑌)) = ( ‘( ‘(( 𝑋) ∪ ( 𝑌)))))
2925, 28eqtr4d 2768 1 (𝜑 → ( ‘(𝑋𝑌)) = (( 𝑋) ( 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cun 3944  cin 3945  wss 3946  ran crn 5682  cfv 6553  (class class class)co 7423  Basecbs 17208  HLchlt 38996  LHypclh 39631  DVecHcdvh 40725  DIsoHcdih 40875  ocHcoch 40994  joinHcdjh 41041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-riotaBAD 38599
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8240  df-undef 8287  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8856  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-n0 12520  df-z 12606  df-uz 12870  df-fz 13534  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-0g 17451  df-proset 18315  df-poset 18333  df-plt 18350  df-lub 18366  df-glb 18367  df-join 18368  df-meet 18369  df-p0 18445  df-p1 18446  df-lat 18452  df-clat 18519  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-subg 19112  df-cntz 19306  df-lsm 19629  df-cmn 19775  df-abl 19776  df-mgp 20113  df-rng 20131  df-ur 20160  df-ring 20213  df-oppr 20311  df-dvdsr 20334  df-unit 20335  df-invr 20365  df-dvr 20378  df-drng 20666  df-lmod 20785  df-lss 20856  df-lsp 20896  df-lvec 21028  df-lsatoms 38622  df-oposet 38822  df-ol 38824  df-oml 38825  df-covers 38912  df-ats 38913  df-atl 38944  df-cvlat 38968  df-hlat 38997  df-llines 39145  df-lplanes 39146  df-lvols 39147  df-lines 39148  df-psubsp 39150  df-pmap 39151  df-padd 39443  df-lhyp 39635  df-laut 39636  df-ldil 39751  df-ltrn 39752  df-trl 39806  df-tendo 40402  df-edring 40404  df-disoa 40676  df-dvech 40726  df-dib 40786  df-dic 40820  df-dih 40876  df-doch 40995  df-djh 41042
This theorem is referenced by:  lclkrlem2c  41156  lclkrslem2  41185  lcfrlem23  41212
  Copyright terms: Public domain W3C validator