Theorem dochdmm1 42212

Description: De Morgan-like law for closed subspace orthocomplement. (Contributed by NM, 13-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochdmm1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochdmm1.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dochdmm1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochdmm1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochdmm1.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochdmm1.j	⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
dochdmm1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochdmm1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dochdmm1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dochdmm1	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))

Proof of Theorem dochdmm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochdmm1.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dochdmm1.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
3		dochdmm1.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dochdmm1.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dochdmm1.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6		dochdmm1.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
7	3, 4, 5, 6	dihrnss 42080	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
8	1, 2, 7	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
9		dochdmm1.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
10	3, 4, 6, 9	dochssv 42157	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
11	1, 8, 10	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
12		dochdmm1.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
13	3, 4, 5, 6	dihrnss 42080	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → 𝑌 ⊆ 𝑉)
14	1, 12, 13	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑉)
15	3, 4, 6, 9	dochssv 42157	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝑉)
16	1, 14, 15	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝑉)
17	3, 4, 6, 9	dochdmj1 42192	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∪ ( ⊥ ‘𝑌))) = (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∩ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))
18	1, 11, 16, 17	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∪ ( ⊥ ‘𝑌))) = (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∩ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))))
19	3, 5, 9	dochoc 42169	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
20	1, 2, 19	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑋)
21	3, 5, 9	dochoc 42169	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
22	1, 12, 21	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
23	20, 22	ineq12d 4174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∩ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌))) = (𝑋 ∩ 𝑌))
24	18, 23	eqtr2d 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) = ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∪ ( ⊥ ‘𝑌))))
25	24	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∪ ( ⊥ ‘𝑌)))))
26		dochdmm1.j	. . . 4 ⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
27	3, 4, 6, 9, 26	djhval2 42201	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝑉) → (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∪ ( ⊥ ‘𝑌)))))
28	1, 11, 16, 27	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∪ ( ⊥ ‘𝑌)))))
29	25, 28	eqtr4d 2801	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∨ ( ⊥ ‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ran crn 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17273  HLchlt 40152  LHypclh 40786  DVecHcdvh 41880  DIsoHcdih 42030  ocHcoch 42149  joinHcdjh 42196

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-riotaBAD 39755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-undef 8265  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-0g 17498  df-proset 18354  df-poset 18373  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18492  df-clat 18559  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-submnd 18846  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-subg 19193  df-cntz 19391  df-lsm 19710  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-rng 20235  df-ur 20268  df-ring 20321  df-oppr 20424  df-dvdsr 20444  df-unit 20445  df-invr 20475  df-dvr 20488  df-drng 20838  df-lmod 20992  df-lss 21062  df-lsp 21102  df-lvec 21233  df-lsatoms 39778  df-oposet 39978  df-ol 39980  df-oml 39981  df-covers 40068  df-ats 40069  df-atl 40100  df-cvlat 40124  df-hlat 40153  df-llines 40300  df-lplanes 40301  df-lvols 40302  df-lines 40303  df-psubsp 40305  df-pmap 40306  df-padd 40598  df-lhyp 40790  df-laut 40791  df-ldil 40906  df-ltrn 40907  df-trl 40961  df-tendo 41557  df-edring 41559  df-disoa 41831  df-dvech 41881  df-dib 41941  df-dic 41975  df-dih 42031  df-doch 42150  df-djh 42197

This theorem is used by:  lclkrlem2c  42311  lclkrslem2  42340  lcfrlem23  42367