MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptsub 26005
Description: Function-builder for derivative, subtraction rule. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptadd.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptadd.a ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptadd.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
dvmptadd.da (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
dvmptsub.c ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
dvmptsub.d ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷𝑊)
dvmptsub.dc (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)) = (𝑥𝑋𝐷))
Assertion
Ref Expression
dvmptsub (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐶))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐵𝐷)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem dvmptsub
StepHypRef Expression
1 dvmptadd.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvmptadd.a . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 dvmptadd.b . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
4 dvmptadd.da . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
5 dvmptsub.c . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
65negcld 11607 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → -𝐶 ∈ ℂ)
7 negex 11506 . . . 4 -𝐷 ∈ V
87a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → -𝐷 ∈ V)
9 dvmptsub.d . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷𝑊)
10 dvmptsub.dc . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐶)) = (𝑥𝑋𝐷))
111, 5, 9, 10dvmptneg 26004 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ -𝐶)) = (𝑥𝑋 ↦ -𝐷))
121, 2, 3, 4, 6, 8, 11dvmptadd 25998 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 + -𝐶))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐵 + -𝐷)))
132, 5negsubd 11626 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴 + -𝐶) = (𝐴𝐶))
1413mpteq2dva 5242 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 + -𝐶)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐶)))
1514oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 + -𝐶))) = (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐶))))
161, 2, 3, 4dvmptcl 25997 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
171, 5, 9, 10dvmptcl 25997 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ ℂ)
1816, 17negsubd 11626 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵 + -𝐷) = (𝐵𝐷))
1918mpteq2dva 5242 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (𝐵 + -𝐷)) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐵𝐷)))
2012, 15, 193eqtr3d 2785 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴𝐶))) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐵𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  {cpr 4628  cmpt 5225  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154   + caddc 11158  cmin 11492  -cneg 11493   D cdv 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  dvmptim  26008  dvef  26018  cmvth  26029  cmvthOLD  26030  dvlipcn  26033  dv11cn  26040  dvle  26046  dvivthlem1  26047  dvfsumabs  26063  ftc2  26085  dvtaylp  26412  taylthlem1  26415  taylthlem2  26416  taylthlem2OLD  26417  ulmdvlem1  26443  advlog  26696  advlogexp  26697  logtayl  26702  dvatan  26978  lgamgulmlem2  27073  log2sumbnd  27588  ftc2nc  37709  dvasin  37711  dvacos  37712  areacirclem1  37715  lcmineqlem7  42036  lcmineqlem12  42041  lhe4.4ex1a  44348  dvsubf  45929  itgsbtaddcnst  45997  fourierdlem57  46178  fourierdlem60  46181  fourierdlem61  46182  fourierdlem68  46189
  Copyright terms: Public domain W3C validator