Theorem ehleudis 25632

Description: The Euclidean distance function in a real Euclidean space of finite dimension. (Contributed by AV, 15-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ehleudis.i	⊢ 𝐼 = (1...𝑁)
ehleudis.e	⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘𝑁)
ehleudis.x	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
ehleudis.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
ehleudis	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑔,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓, 𝑔, 𝑘)   𝐸(𝑓, 𝑔, 𝑘)   𝑁(𝑓, 𝑔, 𝑘)   𝑋(𝑓, 𝑔)

Proof of Theorem ehleudis

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ehleudis.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
2		ehleudis.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘𝑁)
3	2	ehlval 25628	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐸 = (ℝ^‘(1...𝑁)))
4	3	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (dist‘𝐸) = (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))))
5	1, 4	eqtrid 2812	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))))
6		ehleudis.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (1...𝑁)
7		fzfi 14030	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
8	6, 7	eqeltri 2861	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Fin
9	6	eqcomi 2774	. . . . . 6 ⊢ (1...𝑁) = 𝐼
10	9	fveq2i 6888	. . . . 5 ⊢ (ℝ^‘(1...𝑁)) = (ℝ^‘𝐼)
11	10	fveq2i 6888	. . . 4 ⊢ (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
12		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
13		ehleudis.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
14	12, 13	rrxdsfi 25625	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))
15	11, 14	eqtrid 2812	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))
16	8, 15	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))
17	5, 16	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421   ↑_m cmap 8830  Fincfn 8949  ℝcr 11118  1c1 11120   − cmin 11460  2c2 12314  ℕ₀cn0 12523  ...cfz 13555  ↑cexp 14119  √csqrt 15312  Σcsu 15765  distcds 17345  ℝ^crrx 25597  𝔼_hilcehl 25598

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-pre-sup 11197  ax-addf 11198  ax-mulf 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-sup 9409  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11891  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12732  df-uz 12883  df-rp 13037  df-fz 13556  df-fzo 13704  df-seq 14060  df-exp 14120  df-hash 14389  df-cj 15178  df-re 15179  df-im 15180  df-sqrt 15314  df-abs 15315  df-clim 15567  df-sum 15766  df-struct 17233  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-ress 17317  df-plusg 17349  df-mulr 17350  df-starv 17351  df-sca 17352  df-vsca 17353  df-ip 17354  df-tset 17355  df-ple 17356  df-ds 17358  df-unif 17359  df-hom 17360  df-cco 17361  df-0g 17520  df-gsum 17521  df-prds 17526  df-pws 17528  df-mgm 18724  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-mhm 18882  df-grp 19051  df-minusg 19052  df-sbg 19053  df-subg 19237  df-ghm 19332  df-cntz 19435  df-cmn 19900  df-abl 19901  df-mgp 20265  df-rng 20279  df-ur 20312  df-ring 20365  df-cring 20366  df-oppr 20469  df-dvdsr 20489  df-unit 20490  df-invr 20520  df-dvr 20533  df-rhm 20604  df-subrng 20699  df-subrg 20723  df-drng 20883  df-field 20884  df-staf 20996  df-srng 20997  df-lmod 21037  df-lss 21107  df-sra 21348  df-rgmod 21349  df-cnfld 21577  df-refld 21809  df-dsmm 21936  df-frlm 21951  df-nm 24794  df-tng 24796  df-tcph 25383  df-rrx 25599  df-ehl 25600

This theorem is used by:  ehl1eudis  25634  ehl2eudis  25636