MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ehleudis Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ehleudis 25301
Description: The Euclidean distance function in a real Euclidean space of finite dimension. (Contributed by AV, 15-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ehleudis.i 𝐼 = (1...𝑁)
ehleudis.e 𝐸 = (𝔼hilβ€˜π‘)
ehleudis.x 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
ehleudis.d 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
Assertion
Ref Expression
ehleudis (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑔,π‘˜   π‘˜,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔,π‘˜)   𝐸(𝑓,𝑔,π‘˜)   𝑁(𝑓,𝑔,π‘˜)   𝑋(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem ehleudis
StepHypRef Expression
1 ehleudis.d . . 3 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
2 ehleudis.e . . . . 5 𝐸 = (𝔼hilβ€˜π‘)
32ehlval 25297 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐸 = (ℝ^β€˜(1...𝑁)))
43fveq2d 6889 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (distβ€˜πΈ) = (distβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁))))
51, 4eqtrid 2778 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁))))
6 ehleudis.i . . . 4 𝐼 = (1...𝑁)
7 fzfi 13943 . . . 4 (1...𝑁) ∈ Fin
86, 7eqeltri 2823 . . 3 𝐼 ∈ Fin
96eqcomi 2735 . . . . . 6 (1...𝑁) = 𝐼
109fveq2i 6888 . . . . 5 (ℝ^β€˜(1...𝑁)) = (ℝ^β€˜πΌ)
1110fveq2i 6888 . . . 4 (distβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁))) = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
12 eqid 2726 . . . . 5 (ℝ^β€˜πΌ) = (ℝ^β€˜πΌ)
13 ehleudis.x . . . . 5 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
1412, 13rrxdsfi 25294 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
1511, 14eqtrid 2778 . . 3 (𝐼 ∈ Fin β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁))) = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
168, 15mp1i 13 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁))) = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
175, 16eqtrd 2766 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  β„cr 11111  1c1 11113   βˆ’ cmin 11448  2c2 12271  β„•0cn0 12476  ...cfz 13490  β†‘cexp 14032  βˆšcsqrt 15186  Ξ£csu 15638  distcds 17215  β„^crrx 25266  π”Όhilcehl 25267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-field 20590  df-staf 20688  df-srng 20689  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-cnfld 21241  df-refld 21498  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-nm 24446  df-tng 24448  df-tcph 25052  df-rrx 25268  df-ehl 25269
This theorem is referenced by:  ehl1eudis  25303  ehl2eudis  25305
  Copyright terms: Public domain W3C validator