MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ehleudis Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ehleudis 25374
Description: The Euclidean distance function in a real Euclidean space of finite dimension. (Contributed by AV, 15-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ehleudis.i 𝐼 = (1...𝑁)
ehleudis.e 𝐸 = (𝔼hilβ€˜π‘)
ehleudis.x 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
ehleudis.d 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
Assertion
Ref Expression
ehleudis (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑔,π‘˜   π‘˜,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔,π‘˜)   𝐸(𝑓,𝑔,π‘˜)   𝑁(𝑓,𝑔,π‘˜)   𝑋(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem ehleudis
StepHypRef Expression
1 ehleudis.d . . 3 𝐷 = (distβ€˜πΈ)
2 ehleudis.e . . . . 5 𝐸 = (𝔼hilβ€˜π‘)
32ehlval 25370 . . . 4 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐸 = (ℝ^β€˜(1...𝑁)))
43fveq2d 6906 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (distβ€˜πΈ) = (distβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁))))
51, 4eqtrid 2780 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁))))
6 ehleudis.i . . . 4 𝐼 = (1...𝑁)
7 fzfi 13979 . . . 4 (1...𝑁) ∈ Fin
86, 7eqeltri 2825 . . 3 𝐼 ∈ Fin
96eqcomi 2737 . . . . . 6 (1...𝑁) = 𝐼
109fveq2i 6905 . . . . 5 (ℝ^β€˜(1...𝑁)) = (ℝ^β€˜πΌ)
1110fveq2i 6905 . . . 4 (distβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁))) = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
12 eqid 2728 . . . . 5 (ℝ^β€˜πΌ) = (ℝ^β€˜πΌ)
13 ehleudis.x . . . . 5 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
1412, 13rrxdsfi 25367 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
1511, 14eqtrid 2780 . . 3 (𝐼 ∈ Fin β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁))) = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
168, 15mp1i 13 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜(1...𝑁))) = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
175, 16eqtrd 2768 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428   ↑m cmap 8853  Fincfn 8972  β„cr 11147  1c1 11149   βˆ’ cmin 11484  2c2 12307  β„•0cn0 12512  ...cfz 13526  β†‘cexp 14068  βˆšcsqrt 15222  Ξ£csu 15674  distcds 17251  β„^crrx 25339  π”Όhilcehl 25340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227  ax-mulf 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-sum 15675  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-prds 17438  df-pws 17440  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19092  df-ghm 19182  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-cring 20190  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-rhm 20425  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-drng 20640  df-field 20641  df-staf 20739  df-srng 20740  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-sra 21072  df-rgmod 21073  df-cnfld 21294  df-refld 21551  df-dsmm 21680  df-frlm 21695  df-nm 24519  df-tng 24521  df-tcph 25125  df-rrx 25341  df-ehl 25342
This theorem is referenced by:  ehl1eudis  25376  ehl2eudis  25378
  Copyright terms: Public domain W3C validator