MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ehleudis Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ehleudis 23624
Description: The Euclidean distance function in a real Euclidean space of finite dimension. (Contributed by AV, 15-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ehleudis.i 𝐼 = (1...𝑁)
ehleudis.e 𝐸 = (𝔼hil𝑁)
ehleudis.x 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
ehleudis.d 𝐷 = (dist‘𝐸)
Assertion
Ref Expression
ehleudis (𝑁 ∈ ℕ0𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑔,𝑘   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔,𝑘)   𝐸(𝑓,𝑔,𝑘)   𝑁(𝑓,𝑔,𝑘)   𝑋(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem ehleudis
StepHypRef Expression
1 ehleudis.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝐸)
2 ehleudis.e . . . . 5 𝐸 = (𝔼hil𝑁)
32ehlval 23620 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝐸 = (ℝ^‘(1...𝑁)))
43fveq2d 6450 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (dist‘𝐸) = (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))))
51, 4syl5eq 2826 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0𝐷 = (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))))
6 ehleudis.i . . . 4 𝐼 = (1...𝑁)
7 fzfi 13090 . . . 4 (1...𝑁) ∈ Fin
86, 7eqeltri 2855 . . 3 𝐼 ∈ Fin
96eqcomi 2787 . . . . . 6 (1...𝑁) = 𝐼
109fveq2i 6449 . . . . 5 (ℝ^‘(1...𝑁)) = (ℝ^‘𝐼)
1110fveq2i 6449 . . . 4 (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
12 eqid 2778 . . . . 5 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
13 ehleudis.x . . . . 5 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
1412, 13rrxdsfi 23617 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
1511, 14syl5eq 2826 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
168, 15mp1i 13 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
175, 16eqtrd 2814 1 (𝑁 ∈ ℕ0𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107  cfv 6135  (class class class)co 6922  cmpt2 6924  𝑚 cmap 8140  Fincfn 8241  cr 10271  1c1 10273  cmin 10606  2c2 11430  0cn0 11642  ...cfz 12643  cexp 13178  csqrt 14380  Σcsu 14824  distcds 16347  ℝ^crrx 23589  𝔼hilcehl 23590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-sup 8636  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-sum 14825  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-prds 16494  df-pws 16496  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-ghm 18042  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-rnghom 19104  df-drng 19141  df-field 19142  df-subrg 19170  df-staf 19237  df-srng 19238  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-cnfld 20143  df-refld 20348  df-dsmm 20475  df-frlm 20490  df-nm 22795  df-tng 22797  df-tcph 23376  df-rrx 23591  df-ehl 23592
This theorem is referenced by:  ehl1eudis  23626  ehl2eudis  23628
  Copyright terms: Public domain W3C validator