Theorem ehleudis 24580

Description: The Euclidean distance function in a real Euclidean space of finite dimension. (Contributed by AV, 15-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ehleudis.i	⊢ 𝐼 = (1...𝑁)
ehleudis.e	⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘𝑁)
ehleudis.x	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
ehleudis.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
ehleudis	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑔,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔,𝑘)   𝐸(𝑓,𝑔,𝑘)   𝑁(𝑓,𝑔,𝑘)   𝑋(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem ehleudis

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ehleudis.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
2		ehleudis.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘𝑁)
3	2	ehlval 24576	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐸 = (ℝ^‘(1...𝑁)))
4	3	fveq2d 6775	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (dist‘𝐸) = (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))))
5	1, 4	eqtrid 2792	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))))
6		ehleudis.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (1...𝑁)
7		fzfi 13690	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
8	6, 7	eqeltri 2837	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Fin
9	6	eqcomi 2749	. . . . . 6 ⊢ (1...𝑁) = 𝐼
10	9	fveq2i 6774	. . . . 5 ⊢ (ℝ^‘(1...𝑁)) = (ℝ^‘𝐼)
11	10	fveq2i 6774	. . . 4 ⊢ (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
12		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
13		ehleudis.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
14	12, 13	rrxdsfi 24573	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))
15	11, 14	eqtrid 2792	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))
16	8, 15	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))
17	5, 16	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271   ∈ cmpo 7273   ↑_m cmap 8598  Fincfn 8716  ℝcr 10871  1c1 10873   − cmin 11205  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ...cfz 13238  ↑cexp 13780  √csqrt 14942  Σcsu 15395  distcds 16969  ℝ^crrx 24545  𝔼_hilcehl 24546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950  ax-addf 10951  ax-mulf 10952

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-tpos 8033  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-sup 9179  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-rp 12730  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-seq 13720  df-exp 13781  df-hash 14043  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-clim 15195  df-sum 15396  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-hom 16984  df-cco 16985  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-prds 17156  df-pws 17158  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-mhm 18428  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-subg 18750  df-ghm 18830  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-cring 19784  df-oppr 19860  df-dvdsr 19881  df-unit 19882  df-invr 19912  df-dvr 19923  df-rnghom 19957  df-drng 19991  df-field 19992  df-subrg 20020  df-staf 20103  df-srng 20104  df-lmod 20123  df-lss 20192  df-sra 20432  df-rgmod 20433  df-cnfld 20596  df-refld 20808  df-dsmm 20937  df-frlm 20952  df-nm 23736  df-tng 23738  df-tcph 24331  df-rrx 24547  df-ehl 24548

This theorem is referenced by:  ehl1eudis  24582  ehl2eudis  24584