Theorem ehleudis 25739

Description: The Euclidean distance function in a real Euclidean space of finite dimension. (Contributed by AV, 15-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ehleudis.i	⊢ 𝐼 = (1...𝑁)
ehleudis.e	⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘𝑁)
ehleudis.x	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
ehleudis.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
ehleudis	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑔,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓, 𝑔, 𝑘)   𝐸(𝑓, 𝑔, 𝑘)   𝑁(𝑓, 𝑔, 𝑘)   𝑋(𝑓, 𝑔)

Proof of Theorem ehleudis

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ehleudis.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐸)
2		ehleudis.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝔼hil‘𝑁)
3	2	ehlval 25735	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐸 = (ℝ^‘(1...𝑁)))
4	3	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (dist‘𝐸) = (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))))
5	1, 4	eqtrid 2807	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))))
6		ehleudis.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (1...𝑁)
7		fzfi 14115	. . . 4 ⊢ (1...𝑁) ∈ Fin
8	6, 7	eqeltri 2856	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Fin
9	6	eqcomi 2769	. . . . . 6 ⊢ (1...𝑁) = 𝐼
10	9	fveq2i 6888	. . . . 5 ⊢ (ℝ^‘(1...𝑁)) = (ℝ^‘𝐼)
11	10	fveq2i 6888	. . . 4 ⊢ (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
12		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
13		ehleudis.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
14	12, 13	rrxdsfi 25732	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))
15	11, 14	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))
16	8, 15	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))
17	5, 16	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑘) − (𝑔‘𝑘))↑2))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8973  ℝcr 11199  1c1 11201   − cmin 11541  2c2 12397  ℕ₀cn0 12606  ...cfz 13639  ↑cexp 14204  √csqrt 15400  Σcsu 15853  distcds 17437  ℝ^crrx 25704  𝔼_hilcehl 25705

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-sum 15854  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-rhm 20702  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-drng 20982  df-field 20983  df-staf 21096  df-srng 21097  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-cnfld 21679  df-refld 21911  df-dsmm 22038  df-frlm 22053  df-nm 24901  df-tng 24903  df-tcph 25490  df-rrx 25706  df-ehl 25707

This theorem is used by:  ehl1eudis  25741  ehl2eudis  25743