Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ehleudis Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ehleudis 24025
 Description: The Euclidean distance function in a real Euclidean space of finite dimension. (Contributed by AV, 15-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ehleudis.i 𝐼 = (1...𝑁)
ehleudis.e 𝐸 = (𝔼hil𝑁)
ehleudis.x 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
ehleudis.d 𝐷 = (dist‘𝐸)
Assertion
Ref Expression
ehleudis (𝑁 ∈ ℕ0𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑔,𝑘   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔,𝑘)   𝐸(𝑓,𝑔,𝑘)   𝑁(𝑓,𝑔,𝑘)   𝑋(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem ehleudis
StepHypRef Expression
1 ehleudis.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝐸)
2 ehleudis.e . . . . 5 𝐸 = (𝔼hil𝑁)
32ehlval 24021 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝐸 = (ℝ^‘(1...𝑁)))
43fveq2d 6653 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (dist‘𝐸) = (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))))
51, 4syl5eq 2848 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0𝐷 = (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))))
6 ehleudis.i . . . 4 𝐼 = (1...𝑁)
7 fzfi 13339 . . . 4 (1...𝑁) ∈ Fin
86, 7eqeltri 2889 . . 3 𝐼 ∈ Fin
96eqcomi 2810 . . . . . 6 (1...𝑁) = 𝐼
109fveq2i 6652 . . . . 5 (ℝ^‘(1...𝑁)) = (ℝ^‘𝐼)
1110fveq2i 6652 . . . 4 (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
12 eqid 2801 . . . . 5 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
13 ehleudis.x . . . . 5 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
1412, 13rrxdsfi 24018 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
1511, 14syl5eq 2848 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
168, 15mp1i 13 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (dist‘(ℝ^‘(1...𝑁))) = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
175, 16eqtrd 2836 1 (𝑁 ∈ ℕ0𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∈ cmpo 7141   ↑m cmap 8393  Fincfn 8496  ℝcr 10529  1c1 10531   − cmin 10863  2c2 11684  ℕ0cn0 11889  ...cfz 12889  ↑cexp 13429  √csqrt 14587  Σcsu 15037  distcds 16569  ℝ^crrx 23990  𝔼hilcehl 23991 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-rnghom 19466  df-drng 19500  df-field 19501  df-subrg 19529  df-staf 19612  df-srng 19613  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-cnfld 20095  df-refld 20297  df-dsmm 20424  df-frlm 20439  df-nm 23192  df-tng 23194  df-tcph 23777  df-rrx 23992  df-ehl 23993 This theorem is referenced by:  ehl1eudis  24027  ehl2eudis  24029
 Copyright terms: Public domain W3C validator