Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measvunilem0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measvunilem0 33885
Description: Lemma for measvuni 33886. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
measvunilem.0.1 β„²π‘₯𝐴
Assertion
Ref Expression
measvunilem0 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£*π‘₯ ∈ 𝐴(π‘€β€˜π΅))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯)

Proof of Theorem measvunilem0
StepHypRef Expression
1 simp3l 1198 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝐴 β‰Ό Ο‰)
2 ctex 8977 . . 3 (𝐴 β‰Ό Ο‰ β†’ 𝐴 ∈ V)
3 measvunilem.0.1 . . . 4 β„²π‘₯𝐴
43esum0 33721 . . 3 (𝐴 ∈ V β†’ Ξ£*π‘₯ ∈ 𝐴0 = 0)
51, 2, 43syl 18 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Ξ£*π‘₯ ∈ 𝐴0 = 0)
6 nfv 1909 . . . 4 β„²π‘₯ 𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†)
7 nfra1 3272 . . . 4 β„²π‘₯βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ {βˆ…}
8 nfcv 2892 . . . . . 6 β„²π‘₯ β‰Ό
9 nfcv 2892 . . . . . 6 β„²π‘₯Ο‰
103, 8, 9nfbr 5191 . . . . 5 β„²π‘₯ 𝐴 β‰Ό Ο‰
11 nfdisj1 5123 . . . . 5 β„²π‘₯Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡
1210, 11nfan 1894 . . . 4 β„²π‘₯(𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)
136, 7, 12nf3an 1896 . . 3 β„²π‘₯(𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡))
14 eqidd 2726 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ 𝐴 = 𝐴)
15 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ {βˆ…})
1615r19.21bi 3239 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ {βˆ…})
17 elsni 4642 . . . . . 6 (𝐡 ∈ {βˆ…} β†’ 𝐡 = βˆ…)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 = βˆ…)
1918fveq2d 6894 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π΅) = (π‘€β€˜βˆ…))
20 measvnul 33878 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
21203ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
2221adantr 479 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
2319, 22eqtrd 2765 . . 3 (((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π΅) = 0)
2413, 14, 23esumeq12dvaf 33703 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ Ξ£*π‘₯ ∈ 𝐴(π‘€β€˜π΅) = Ξ£*π‘₯ ∈ 𝐴0)
2513, 3, 3, 14, 18iuneq12daf 32387 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 = βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ…)
26 iun0 5061 . . . . 5 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ… = βˆ…
2725, 26eqtrdi 2781 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 = βˆ…)
2827fveq2d 6894 . . 3 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = (π‘€β€˜βˆ…))
2928, 21eqtrd 2765 . 2 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = 0)
305, 24, 293eqtr4rd 2776 1 ((𝑀 ∈ (measuresβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡 ∈ {βˆ…} ∧ (𝐴 β‰Ό Ο‰ ∧ Disj π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯ ∈ 𝐴 𝐡) = Ξ£*π‘₯ ∈ 𝐴(π‘€β€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2875  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463  βˆ…c0 4319  {csn 4625  βˆͺ ciun 4992  Disj wdisj 5109   class class class wbr 5144  β€˜cfv 6543  Ο‰com 7865   β‰Ό cdom 8955  0cc0 11133  Ξ£*cesum 33699  measurescmeas 33867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-disj 5110  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-xadd 13120  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-ordt 17477  df-xrs 17478  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-ps 18552  df-tsr 18553  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-ntr 22937  df-nei 23015  df-cn 23144  df-haus 23232  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-tsms 24044  df-esum 33700  df-meas 33868
This theorem is referenced by:  measvuni  33886
  Copyright terms: Public domain W3C validator