Theorem measvunilem0 34732

Description: Lemma for measvuni 34733. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
measvunilem.0.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴

Assertion

Ref	Expression
measvunilem0	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem measvunilem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3l 1220	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐴 ≼ ω)
2		ctex 8973	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
3		measvunilem.0.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4	3	esum0 34567	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → Σ*𝑥 ∈ 𝐴0 = 0)
5	1, 2, 4	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥 ∈ 𝐴0 = 0)
6		nfv 1947	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑀 ∈ (measures‘𝑆)
7		nfra1 3288	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅}
8		nfcv 2924	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ≼
9		nfcv 2924	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥ω
10	3, 8, 9	nfbr 5156	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ≼ ω
11		nfdisj1 5088	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
12	10, 11	nfan 1932	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
13	6, 7, 12	nf3an 1934	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
14		eqidd 2763	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐴 = 𝐴)
15		simp2 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅})
16	15	r19.21bi 3256	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ {∅})
17		elsni 4604	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ {∅} → 𝐵 = ∅)
18	16, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = ∅)
19	18	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝐵) = (𝑀‘∅))
20		measvnul 34725	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝑀‘∅) = 0)
21	20	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∅) = 0)
22	21	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑀‘∅) = 0)
23	19, 22	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝐵) = 0)
24	13, 14, 23	esumeq12dvaf 34549	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵) = Σ*𝑥 ∈ 𝐴0)
25	13, 3, 3, 14, 18	iuneq12daf 33038	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ∅)
26		iun0 5024	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ∅ = ∅
27	25, 26	eqtrdi 2813	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∅)
28	27	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑀‘∅))
29	28, 21	eqtrd 2797	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = 0)
30	5, 24, 29	3eqtr4rd 2808	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2909  ∀wral 3078  Vcvv 3453  ∅c0 4282  {csn 4587  ∪ ciun 4954  Disj wdisj 5074   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  ωcom 7866   ≼ cdom 8954  0cc0 11128  Σ^*cesum 34545  measurescmeas 34714

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-fi 9385  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-q 13002  df-xadd 13168  df-ioo 13406  df-ioc 13407  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-hash 14399  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-rest 17513  df-topn 17514  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-topgen 17534  df-ordt 17593  df-xrs 17594  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-ps 18660  df-tsr 18661  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-submnd 18898  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-fbas 21588  df-fg 21589  df-top 23125  df-topon 23142  df-topsp 23164  df-bases 23177  df-ntr 23251  df-nei 23329  df-cn 23458  df-haus 23546  df-fil 24078  df-fm 24170  df-flim 24171  df-flf 24172  df-tsms 24359  df-esum 34546  df-meas 34715

This theorem is used by:  measvuni  34733