Theorem measvunilem0 32477

Description: Lemma for measvuni 32478. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
measvunilem.0.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴

Assertion

Ref	Expression
measvunilem0	⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem measvunilem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3l 1201	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐴 ≼ ω)
2		ctex 8828	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
3		measvunilem.0.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4	3	esum0 32313	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → Σ*𝑥 ∈ 𝐴0 = 0)
5	1, 2, 4	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥 ∈ 𝐴0 = 0)
6		nfv 1917	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑀 ∈ (measures‘𝑆)
7		nfra1 3264	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅}
8		nfcv 2905	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ≼
9		nfcv 2905	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥ω
10	3, 8, 9	nfbr 5143	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ≼ ω
11		nfdisj1 5075	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵
12	10, 11	nfan 1902	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
13	6, 7, 12	nf3an 1904	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
14		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → 𝐴 = 𝐴)
15		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅})
16	15	r19.21bi 3231	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ {∅})
17		elsni 4594	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ {∅} → 𝐵 = ∅)
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 = ∅)
19	18	fveq2d 6833	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝐵) = (𝑀‘∅))
20		measvnul 32470	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝑀‘∅) = 0)
21	20	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∅) = 0)
22	21	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑀‘∅) = 0)
23	19, 22	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝐵) = 0)
24	13, 14, 23	esumeq12dvaf 32295	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵) = Σ*𝑥 ∈ 𝐴0)
25	13, 3, 3, 14, 18	iuneq12daf 31181	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ∅)
26		iun0 5013	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ∅ = ∅
27	25, 26	eqtrdi 2793	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∅)
28	27	fveq2d 6833	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = (𝑀‘∅))
29	28, 21	eqtrd 2777	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = 0)
30	5, 24, 29	3eqtr4rd 2788	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {∅} ∧ (𝐴 ≼ ω ∧ Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)) → (𝑀‘∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵) = Σ*𝑥 ∈ 𝐴(𝑀‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2885  ∀wral 3062  Vcvv 3442  ∅c0 4273  {csn 4577  ∪ ciun 4945  Disj wdisj 5061   class class class wbr 5096  ‘cfv 6483  ωcom 7784   ≼ cdom 8806  0cc0 10976  Σ^*cesum 32291  measurescmeas 32459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053  ax-pre-sup 11054

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4857  df-int 4899  df-iun 4947  df-iin 4948  df-disj 5062  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-isom 6492  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7599  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-supp 8052  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-er 8573  df-map 8692  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-fsupp 9231  df-fi 9272  df-sup 9303  df-inf 9304  df-oi 9371  df-card 9800  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-div 11738  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-4 12143  df-5 12144  df-6 12145  df-7 12146  df-8 12147  df-9 12148  df-n0 12339  df-z 12425  df-dec 12543  df-uz 12688  df-q 12794  df-xadd 12954  df-ioo 13188  df-ioc 13189  df-ico 13190  df-icc 13191  df-fz 13345  df-fzo 13488  df-seq 13827  df-hash 14150  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-rest 17230  df-topn 17231  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-topgen 17251  df-ordt 17309  df-xrs 17310  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-ps 18381  df-tsr 18382  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-cntz 19019  df-cmn 19483  df-fbas 20699  df-fg 20700  df-top 22148  df-topon 22165  df-topsp 22187  df-bases 22201  df-ntr 22276  df-nei 22354  df-cn 22483  df-haus 22571  df-fil 23102  df-fm 23194  df-flim 23195  df-flf 23196  df-tsms 23383  df-esum 32292  df-meas 32460

This theorem is referenced by:  measvuni  32478