Theorem dchrvmasumlem 27015

Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by 𝑛, is bounded. Equation 9.4.16 of [Shapiro], p. 379. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchrmusum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmusum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrmusum.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrmusum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrmusum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrmusum.f	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))
dchrmusum.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrmusum.t	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
dchrmusum.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
dchrvmasumlem	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦, 1   𝐶,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝑥,𝑎,𝑦   𝑛,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑎,𝐿,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑛,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑇(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛,𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem dchrvmasumlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2		rpvmasum.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3		rpvmasum.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		dchrmusum.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5		dchrmusum.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
6		dchrmusum.1	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
7		dchrmusum.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
8		dchrmusum.n1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
9		dchrmusum.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))
10		dchrmusum.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
11		dchrmusum.t	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
12		dchrmusum.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	dchrisumn0 27013	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
14	13	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑇 ≠ 0)
15		ifnefalse 4539	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ≠ 0 → if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0) = 0)
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0) = 0)
17	16	oveq2d 7421	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + 0))
18		fzfid 13934	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
19	7	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
20		elfzelz 13497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℤ)
21	20	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℤ)
22	4, 1, 5, 2, 19, 21	dchrzrhcl 26737	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
23		elfznn 13526	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
24	23	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
25		vmacl 26611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
26		nndivre 12249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Λ‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
27	25, 26	mpancom 686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
28	24, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11238	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
30	22, 29	mulcld 11230	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
31	18, 30	fsumcl 15675	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
32	31	addridd 11410	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + 0) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
33	17, 32	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
34	33	mpteq2dva 5247	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
35	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	dchrvmasumif 26995	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))
36	34, 35	eqeltrrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  +∞cpnf 11241   ≤ cle 11245   − cmin 11440   / cdiv 11867  ℕcn 12208  ℤcz 12554  ℝ⁺crp 12970  [,)cico 13322  ...cfz 13480  ⌊cfl 13751  seqcseq 13962  abscabs 15177   ⇝ cli 15424  𝑂(1)co1 15426  Σcsu 15628  Basecbs 17140  0_gc0g 17381  ℤRHomczrh 21040  ℤ/nℤczn 21043  logclog 26054  Λcvma 26585  DChrcdchr 26724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-rpss 7709  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-o1 15430  df-lo1 15431  df-sum 15629  df-ef 16007  df-e 16008  df-sin 16009  df-cos 16010  df-tan 16011  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-numer 16667  df-denom 16668  df-phi 16695  df-pc 16766  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-qus 17451  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-nsg 18998  df-eqg 18999  df-ghm 19084  df-gim 19127  df-ga 19148  df-cntz 19175  df-oppg 19204  df-od 19390  df-gex 19391  df-pgp 19392  df-lsm 19498  df-pj1 19499  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-cyg 19740  df-dprd 19859  df-dpj 19860  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-rnghom 20243  df-drng 20309  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779  df-rsp 20780  df-2idl 20849  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-zring 21010  df-zrh 21044  df-zn 21047  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-0p 25178  df-limc 25374  df-dv 25375  df-ply 25693  df-idp 25694  df-coe 25695  df-dgr 25696  df-quot 25795  df-ulm 25880  df-log 26056  df-cxp 26057  df-atan 26361  df-em 26486  df-cht 26590  df-vma 26591  df-chp 26592  df-ppi 26593  df-mu 26594  df-dchr 26725

This theorem is referenced by:  dchrvmasum  27017