MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasumlem 26671
Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by 𝑛, is bounded. Equation 9.4.16 of [Shapiro], p. 379. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dchrmusum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmusum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrmusum.1 1 = (0g𝐺)
dchrmusum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrmusum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrmusum.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
dchrmusum.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrmusum.t (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
dchrmusum.2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦, 1   𝐶,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝑥,𝑎,𝑦   𝑛,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑎,𝐿,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑇(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛,𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem dchrvmasumlem
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2 rpvmasum.l . . . . . . . 8 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3 rpvmasum.a . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 dchrmusum.g . . . . . . . 8 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 dchrmusum.d . . . . . . . 8 𝐷 = (Base‘𝐺)
6 dchrmusum.1 . . . . . . . 8 1 = (0g𝐺)
7 dchrmusum.b . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐷)
8 dchrmusum.n1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋1 )
9 dchrmusum.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
10 dchrmusum.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
11 dchrmusum.t . . . . . . . 8 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
12 dchrmusum.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12dchrisumn0 26669 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ≠ 0)
1413adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑇 ≠ 0)
15 ifnefalse 4471 . . . . . 6 (𝑇 ≠ 0 → if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0) = 0)
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0) = 0)
1716oveq2d 7291 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + 0))
18 fzfid 13693 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
197ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋𝐷)
20 elfzelz 13256 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℤ)
2120adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℤ)
224, 1, 5, 2, 19, 21dchrzrhcl 26393 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
23 elfznn 13285 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2423adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
25 vmacl 26267 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
26 nndivre 12014 . . . . . . . . . 10 (((Λ‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
2725, 26mpancom 685 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
2824, 27syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
2928recnd 11003 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
3022, 29mulcld 10995 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
3118, 30fsumcl 15445 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
3231addid1d 11175 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + 0) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
3317, 32eqtrd 2778 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
3433mpteq2dva 5174 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12dchrvmasumif 26651 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))
3634, 35eqeltrrd 2840 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  ifcif 4459   class class class wbr 5074  cmpt 5157  cfv 6433  (class class class)co 7275  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  +∞cpnf 11006  cle 11010  cmin 11205   / cdiv 11632  cn 11973  cz 12319  +crp 12730  [,)cico 13081  ...cfz 13239  cfl 13510  seqcseq 13721  abscabs 14945  cli 15193  𝑂(1)co1 15195  Σcsu 15397  Basecbs 16912  0gc0g 17150  ℤRHomczrh 20701  ℤ/nczn 20704  logclog 25710  Λcvma 26241  DChrcdchr 26380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-rpss 7576  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-ec 8500  df-qs 8504  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-o1 15199  df-lo1 15200  df-sum 15398  df-ef 15777  df-e 15778  df-sin 15779  df-cos 15780  df-tan 15781  df-pi 15782  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-numer 16439  df-denom 16440  df-phi 16467  df-pc 16538  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-qus 17220  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-nsg 18753  df-eqg 18754  df-ghm 18832  df-gim 18875  df-ga 18896  df-cntz 18923  df-oppg 18950  df-od 19136  df-gex 19137  df-pgp 19138  df-lsm 19241  df-pj1 19242  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-cyg 19478  df-dprd 19598  df-dpj 19599  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-rnghom 19959  df-drng 19993  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-lidl 20436  df-rsp 20437  df-2idl 20503  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-zring 20671  df-zrh 20705  df-zn 20708  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-cmp 22538  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-0p 24834  df-limc 25030  df-dv 25031  df-ply 25349  df-idp 25350  df-coe 25351  df-dgr 25352  df-quot 25451  df-ulm 25536  df-log 25712  df-cxp 25713  df-atan 26017  df-em 26142  df-cht 26246  df-vma 26247  df-chp 26248  df-ppi 26249  df-mu 26250  df-dchr 26381
This theorem is referenced by:  dchrvmasum  26673
  Copyright terms: Public domain W3C validator