Theorem dchrvmasumlem 27486

Description: The sum of the Möbius function multiplied by a non-principal Dirichlet character, divided by 𝑛, is bounded. Equation 9.4.16 of [Shapiro], p. 379. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dchrmusum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmusum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrmusum.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrmusum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrmusum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrmusum.f	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))
dchrmusum.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrmusum.t	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
dchrmusum.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
dchrvmasumlem	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑦, 1   𝐶,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝐹,𝑥,𝑦   𝑥,𝑎,𝑦   𝑛,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑍,𝑥,𝑦   𝐷,𝑛,𝑥,𝑦   𝑛,𝑎,𝐿,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑛,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑇(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛,𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem dchrvmasumlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2		rpvmasum.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3		rpvmasum.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		dchrmusum.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5		dchrmusum.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
6		dchrmusum.1	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
7		dchrmusum.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
8		dchrmusum.n1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
9		dchrmusum.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))
10		dchrmusum.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
11		dchrmusum.t	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑇)
12		dchrmusum.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐶 / 𝑦))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	dchrisumn0 27484	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑇 ≠ 0)
15		ifnefalse 4479	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ≠ 0 → if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0) = 0)
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0) = 0)
17	16	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + 0))
18		fzfid 13935	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
19	7	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
20		elfzelz 13478	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℤ)
21	20	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℤ)
22	4, 1, 5, 2, 19, 21	dchrzrhcl 27208	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
23		elfznn 13507	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
24	23	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
25		vmacl 27081	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
26		nndivre 12218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Λ‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
27	25, 26	mpancom 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
28	24, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11173	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
30	22, 29	mulcld 11165	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
31	18, 30	fsumcl 15695	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
32	31	addridd 11346	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + 0) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
33	17, 32	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
34	33	mpteq2dva 5179	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
35	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	dchrvmasumif 27466	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑇 = 0, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))
36	34, 35	eqeltrrd 2838	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ifcif 4467   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  +∞cpnf 11176   ≤ cle 11180   − cmin 11377   / cdiv 11807  ℕcn 12174  ℤcz 12524  ℝ⁺crp 12942  [,)cico 13300  ...cfz 13461  ⌊cfl 13749  seqcseq 13963  abscabs 15196   ⇝ cli 15446  𝑂(1)co1 15448  Σcsu 15648  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  ℤRHomczrh 21479  ℤ/nℤczn 21482  logclog 26518  Λcvma 27055  DChrcdchr 27195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-rpss 7677  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-ec 8645  df-qs 8649  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-word 14476  df-concat 14533  df-s1 14559  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-o1 15452  df-lo1 15453  df-sum 15649  df-ef 16032  df-e 16033  df-sin 16034  df-cos 16035  df-tan 16036  df-pi 16037  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-prm 16641  df-numer 16705  df-denom 16706  df-phi 16736  df-pc 16808  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-qus 17473  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-nsg 19100  df-eqg 19101  df-ghm 19188  df-gim 19234  df-ga 19265  df-cntz 19292  df-oppg 19321  df-od 19503  df-gex 19504  df-pgp 19505  df-lsm 19611  df-pj1 19612  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-cyg 19853  df-dprd 19972  df-dpj 19973  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-dvr 20381  df-rhm 20452  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-drng 20708  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-lidl 21206  df-rsp 21207  df-2idl 21248  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-zring 21427  df-zrh 21483  df-zn 21486  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-cmp 23352  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-0p 25637  df-limc 25833  df-dv 25834  df-ply 26153  df-idp 26154  df-coe 26155  df-dgr 26156  df-quot 26257  df-ulm 26342  df-log 26520  df-cxp 26521  df-atan 26831  df-em 26956  df-cht 27060  df-vma 27061  df-chp 27062  df-ppi 27063  df-mu 27064  df-dchr 27196

This theorem is referenced by:  dchrvmasum  27488