Theorem emcllem3 27382

Description: Lemma for emcl 27387. The function 𝐻 is the difference between 𝐹 and 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
emcl.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
emcl.2	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
emcl.3	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
emcllem3	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) − (𝐺‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑚,𝐻   𝑚,𝑛,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚, 𝑛)   𝐺(𝑚, 𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem emcllem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2nn 12387	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
2	1	nnrpd 13202	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ+)
3		nnrp 13172	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
4	2, 3	relogdivd 27011	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)))
5		nncn 12383	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
6		1cnd 11341	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
7		nnne0 12412	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
8	5, 6, 5, 7	divdird 12171	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) = ((𝑁 / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
9	5, 7	dividd 12131	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝑁) = 1)
10	9	oveq1d 7466	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝑁) + (1 / 𝑁)) = (1 + (1 / 𝑁)))
11	8, 10	eqtr2d 2799	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 + (1 / 𝑁)) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
12	11	fveq2d 6920	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(1 + (1 / 𝑁))) = (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
13		fzfid 14156	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
14		elfznn 13727	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ)
15	14	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → 𝑚 ∈ ℕ)
16	15	nnrecred 12429	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
17	13, 16	fsumrecl 15944	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11376	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) ∈ ℂ)
19	3	relogcld 27008	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11376	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
21	2	relogcld 27008	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
22	21	recnd 11376	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
23	18, 20, 22	nnncan1d 11742	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)) − (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1)))) = ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)))
24	4, 12, 23	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(1 + (1 / 𝑁))) = ((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)) − (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1)))))
25		oveq2 7459	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑁))
26	25	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / 𝑁)))
27	26	fveq2d 6920	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (log‘(1 + (1 / 𝑛))) = (log‘(1 + (1 / 𝑁))))
28		emcl.3	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
29		fvex 6929	. . 3 ⊢ (log‘(1 + (1 / 𝑁))) ∈ V
30	27, 28, 29	fvmpt 7024	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑁) = (log‘(1 + (1 / 𝑁))))
31		oveq2 7459	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
32	31	sumeq1d 15911	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚))
33		fveq2 6916	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (log‘𝑛) = (log‘𝑁))
34	32, 33	oveq12d 7469	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)))
35		emcl.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
36		ovex 7484	. . . 4 ⊢ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)) ∈ V
37	34, 35, 36	fvmpt 7024	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑁) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)))
38		fvoveq1 7474	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (log‘(𝑛 + 1)) = (log‘(𝑁 + 1)))
39	32, 38	oveq12d 7469	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
40		emcl.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
41		ovex 7484	. . . 4 ⊢ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ V
42	39, 40, 41	fvmpt 7024	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐺‘𝑁) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
43	37, 42	oveq12d 7469	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐹‘𝑁) − (𝐺‘𝑁)) = ((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)) − (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1)))))
44	24, 30, 43	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐻‘𝑁) = ((𝐹‘𝑁) − (𝐺‘𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  1c1 11240   + caddc 11242   − cmin 11580   / cdiv 12013  ℕcn 12375  ...cfz 13679  Σcsu 15897  logclog 26939

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277  df-sin 16279  df-cos 16280  df-pi 16282  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-mulg 19328  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-lp 23509  df-perf 23510  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-haus 23688  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-xms 24694  df-ms 24695  df-tms 24696  df-cncf 25254  df-limc 26241  df-dv 26242  df-log 26941

This theorem is used by:  emcllem6  27385