Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem emcllem3 25695
 Description: Lemma for emcl 25700. The function 𝐻 is the difference between 𝐹 and 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
emcl.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
emcl.3 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
emcllem3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) − (𝐺𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐻   𝑚,𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑚,𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem emcllem3
StepHypRef Expression
1 peano2nn 11699 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
21nnrpd 12483 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ+)
3 nnrp 12454 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
42, 3relogdivd 25329 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)))
5 nncn 11695 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
6 1cnd 10687 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
7 nnne0 11721 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
85, 6, 5, 7divdird 11505 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) = ((𝑁 / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
95, 7dividd 11465 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝑁) = 1)
109oveq1d 7171 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 𝑁) + (1 / 𝑁)) = (1 + (1 / 𝑁)))
118, 10eqtr2d 2794 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + (1 / 𝑁)) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
1211fveq2d 6667 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(1 + (1 / 𝑁))) = (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
13 fzfid 13403 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
14 elfznn 12998 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (1...𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ)
1514adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → 𝑚 ∈ ℕ)
1615nnrecred 11738 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
1713, 16fsumrecl 15152 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) ∈ ℝ)
1817recnd 10720 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) ∈ ℂ)
193relogcld 25326 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
2019recnd 10720 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
212relogcld 25326 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
2221recnd 10720 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
2318, 20, 22nnncan1d 11082 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)) − (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1)))) = ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)))
244, 12, 233eqtr4d 2803 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(1 + (1 / 𝑁))) = ((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)) − (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1)))))
25 oveq2 7164 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑁))
2625oveq2d 7172 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / 𝑁)))
2726fveq2d 6667 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → (log‘(1 + (1 / 𝑛))) = (log‘(1 + (1 / 𝑁))))
28 emcl.3 . . 3 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
29 fvex 6676 . . 3 (log‘(1 + (1 / 𝑁))) ∈ V
3027, 28, 29fvmpt 6764 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐻𝑁) = (log‘(1 + (1 / 𝑁))))
31 oveq2 7164 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
3231sumeq1d 15119 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚))
33 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (log‘𝑛) = (log‘𝑁))
3432, 33oveq12d 7174 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)))
35 emcl.1 . . . 4 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
36 ovex 7189 . . . 4 𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)) ∈ V
3734, 35, 36fvmpt 6764 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹𝑁) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)))
38 fvoveq1 7179 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (log‘(𝑛 + 1)) = (log‘(𝑁 + 1)))
3932, 38oveq12d 7174 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
40 emcl.2 . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
41 ovex 7189 . . . 4 𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ V
4239, 40, 41fvmpt 6764 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐺𝑁) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
4337, 42oveq12d 7174 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐹𝑁) − (𝐺𝑁)) = ((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)) − (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1)))))
4424, 30, 433eqtr4d 2803 1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐻𝑁) = ((𝐹𝑁) − (𝐺𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ↦ cmpt 5116  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  1c1 10589   + caddc 10591   − cmin 10921   / cdiv 11348  ℕcn 11687  ...cfz 12952  Σcsu 15103  logclog 25258 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667  ax-mulf 10668 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-fi 8921  df-sup 8952  df-inf 8953  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-ioo 12796  df-ioc 12797  df-ico 12798  df-icc 12799  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-fl 13224  df-mod 13300  df-seq 13432  df-exp 13493  df-fac 13697  df-bc 13726  df-hash 13754  df-shft 14487  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-limsup 14889  df-clim 14906  df-rlim 14907  df-sum 15104  df-ef 15482  df-sin 15484  df-cos 15485  df-pi 15487  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-starv 16651  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ip 16654  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-unif 16659  df-hom 16660  df-cco 16661  df-rest 16767  df-topn 16768  df-0g 16786  df-gsum 16787  df-topgen 16788  df-pt 16789  df-prds 16792  df-xrs 16846  df-qtop 16851  df-imas 16852  df-xps 16854  df-mre 16928  df-mrc 16929  df-acs 16931  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-submnd 18036  df-mulg 18305  df-cntz 18527  df-cmn 18988  df-psmet 20171  df-xmet 20172  df-met 20173  df-bl 20174  df-mopn 20175  df-fbas 20176  df-fg 20177  df-cnfld 20180  df-top 21607  df-topon 21624  df-topsp 21646  df-bases 21659  df-cld 21732  df-ntr 21733  df-cls 21734  df-nei 21811  df-lp 21849  df-perf 21850  df-cn 21940  df-cnp 21941  df-haus 22028  df-tx 22275  df-hmeo 22468  df-fil 22559  df-fm 22651  df-flim 22652  df-flf 22653  df-xms 23035  df-ms 23036  df-tms 23037  df-cncf 23592  df-limc 24578  df-dv 24579  df-log 25260 This theorem is referenced by:  emcllem6  25698
 Copyright terms: Public domain W3C validator