Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxline Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxline 47885
Description: The line passing through the two different points ๐‘‹ and ๐‘Œ in a generalized real Euclidean space of finite dimension. (Contributed by AV, 14-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxlines.e ๐ธ = (โ„^โ€˜๐ผ)
rrxlines.p ๐‘ƒ = (โ„ โ†‘m ๐ผ)
rrxlines.l ๐ฟ = (LineMโ€˜๐ธ)
rrxlines.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐ธ)
rrxlines.a + = (+gโ€˜๐ธ)
Assertion
Ref Expression
rrxline ((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘‹) + (๐‘ก ยท ๐‘Œ))})
Distinct variable groups:   ๐ธ,๐‘,๐‘ก   ๐ผ,๐‘,๐‘ก   ๐‘ƒ,๐‘   ๐‘‹,๐‘,๐‘ก   ๐‘Œ,๐‘,๐‘ก
Allowed substitution hints:   ๐‘ƒ(๐‘ก)   + (๐‘ก,๐‘)   ยท (๐‘ก,๐‘)   ๐ฟ(๐‘ก,๐‘)

Proof of Theorem rrxline
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxlines.e . . . . 5 ๐ธ = (โ„^โ€˜๐ผ)
2 rrxlines.p . . . . 5 ๐‘ƒ = (โ„ โ†‘m ๐ผ)
3 rrxlines.l . . . . 5 ๐ฟ = (LineMโ€˜๐ธ)
4 rrxlines.m . . . . 5 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐ธ)
5 rrxlines.a . . . . 5 + = (+gโ€˜๐ธ)
61, 2, 3, 4, 5rrxlines 47884 . . . 4 (๐ผ โˆˆ Fin โ†’ ๐ฟ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ƒ, ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ฅ}) โ†ฆ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ก ยท ๐‘ฆ))}))
76oveqd 7443 . . 3 (๐ผ โˆˆ Fin โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = (๐‘‹(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ƒ, ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ฅ}) โ†ฆ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ก ยท ๐‘ฆ))})๐‘Œ))
87adantr 479 . 2 ((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = (๐‘‹(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ƒ, ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ฅ}) โ†ฆ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ก ยท ๐‘ฆ))})๐‘Œ))
9 eqidd 2729 . . 3 ((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ƒ, ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ฅ}) โ†ฆ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ก ยท ๐‘ฆ))}) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ƒ, ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ฅ}) โ†ฆ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ก ยท ๐‘ฆ))}))
10 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘‹)
1110oveq2d 7442 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘ฅ) = ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘‹))
12 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘Œ)
1312oveq2d 7442 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ก ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ก ยท ๐‘Œ))
1411, 13oveq12d 7444 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ก ยท ๐‘ฆ)) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘‹) + (๐‘ก ยท ๐‘Œ)))
1514eqeq2d 2739 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ก ยท ๐‘ฆ)) โ†” ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘‹) + (๐‘ก ยท ๐‘Œ))))
1615rexbidv 3176 . . . . 5 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ก ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘‹) + (๐‘ก ยท ๐‘Œ))))
1716rabbidv 3438 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ก ยท ๐‘ฆ))} = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘‹) + (๐‘ก ยท ๐‘Œ))})
1817adantl 480 . . 3 (((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ก ยท ๐‘ฆ))} = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘‹) + (๐‘ก ยท ๐‘Œ))})
19 sneq 4642 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ {๐‘ฅ} = {๐‘‹})
2019difeq2d 4122 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ฅ}) = (๐‘ƒ โˆ– {๐‘‹}))
2120adantl 480 . . 3 (((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ฅ}) = (๐‘ƒ โˆ– {๐‘‹}))
22 simpr1 1191 . . 3 ((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ)
23 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ โ†’ ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)
2423necomd 2993 . . . . . . 7 (๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ โ†’ ๐‘Œ โ‰  ๐‘‹)
2524anim2i 615 . . . . . 6 ((๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โ‰  ๐‘‹))
26253adant1 1127 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โ‰  ๐‘‹))
27 eldifsn 4795 . . . . 5 (๐‘Œ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘‹}) โ†” (๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โ‰  ๐‘‹))
2826, 27sylibr 233 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘‹}))
2928adantl 480 . . 3 ((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘‹}))
302ovexi 7460 . . . . 5 ๐‘ƒ โˆˆ V
3130rabex 5338 . . . 4 {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘‹) + (๐‘ก ยท ๐‘Œ))} โˆˆ V
3231a1i 11 . . 3 ((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘‹) + (๐‘ก ยท ๐‘Œ))} โˆˆ V)
339, 18, 21, 22, 29, 32ovmpodx 7578 . 2 ((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘‹(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ƒ, ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ฅ}) โ†ฆ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ก ยท ๐‘ฆ))})๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘‹) + (๐‘ก ยท ๐‘Œ))})
348, 33eqtrd 2768 1 ((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘‹) + (๐‘ก ยท ๐‘Œ))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  โˆƒwrex 3067  {crab 3430  Vcvv 3473   โˆ– cdif 3946  {csn 4632  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   โˆˆ cmpo 7428   โ†‘m cmap 8851  Fincfn 8970  โ„cr 11145  1c1 11147   โˆ’ cmin 11482  +gcplusg 17240   ยท๐‘  cvsca 17244  โ„^crrx 25331  LineMcline 47878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-drng 20633  df-field 20634  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-cnfld 21287  df-refld 21544  df-dsmm 21673  df-frlm 21688  df-tng 24513  df-tcph 25117  df-rrx 25333  df-line 47880
This theorem is referenced by:  rrxlinec  47887
  Copyright terms: Public domain W3C validator