Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxline Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxline 47677
Description: The line passing through the two different points ๐‘‹ and ๐‘Œ in a generalized real Euclidean space of finite dimension. (Contributed by AV, 14-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxlines.e ๐ธ = (โ„^โ€˜๐ผ)
rrxlines.p ๐‘ƒ = (โ„ โ†‘m ๐ผ)
rrxlines.l ๐ฟ = (LineMโ€˜๐ธ)
rrxlines.m ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐ธ)
rrxlines.a + = (+gโ€˜๐ธ)
Assertion
Ref Expression
rrxline ((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘‹) + (๐‘ก ยท ๐‘Œ))})
Distinct variable groups:   ๐ธ,๐‘,๐‘ก   ๐ผ,๐‘,๐‘ก   ๐‘ƒ,๐‘   ๐‘‹,๐‘,๐‘ก   ๐‘Œ,๐‘,๐‘ก
Allowed substitution hints:   ๐‘ƒ(๐‘ก)   + (๐‘ก,๐‘)   ยท (๐‘ก,๐‘)   ๐ฟ(๐‘ก,๐‘)

Proof of Theorem rrxline
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxlines.e . . . . 5 ๐ธ = (โ„^โ€˜๐ผ)
2 rrxlines.p . . . . 5 ๐‘ƒ = (โ„ โ†‘m ๐ผ)
3 rrxlines.l . . . . 5 ๐ฟ = (LineMโ€˜๐ธ)
4 rrxlines.m . . . . 5 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐ธ)
5 rrxlines.a . . . . 5 + = (+gโ€˜๐ธ)
61, 2, 3, 4, 5rrxlines 47676 . . . 4 (๐ผ โˆˆ Fin โ†’ ๐ฟ = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ƒ, ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ฅ}) โ†ฆ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ก ยท ๐‘ฆ))}))
76oveqd 7421 . . 3 (๐ผ โˆˆ Fin โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = (๐‘‹(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ƒ, ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ฅ}) โ†ฆ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ก ยท ๐‘ฆ))})๐‘Œ))
87adantr 480 . 2 ((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = (๐‘‹(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ƒ, ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ฅ}) โ†ฆ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ก ยท ๐‘ฆ))})๐‘Œ))
9 eqidd 2727 . . 3 ((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ƒ, ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ฅ}) โ†ฆ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ก ยท ๐‘ฆ))}) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ƒ, ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ฅ}) โ†ฆ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ก ยท ๐‘ฆ))}))
10 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘‹)
1110oveq2d 7420 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘ฅ) = ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘‹))
12 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘Œ)
1312oveq2d 7420 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ก ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ก ยท ๐‘Œ))
1411, 13oveq12d 7422 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ก ยท ๐‘ฆ)) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘‹) + (๐‘ก ยท ๐‘Œ)))
1514eqeq2d 2737 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ก ยท ๐‘ฆ)) โ†” ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘‹) + (๐‘ก ยท ๐‘Œ))))
1615rexbidv 3172 . . . . 5 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ก ยท ๐‘ฆ)) โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘‹) + (๐‘ก ยท ๐‘Œ))))
1716rabbidv 3434 . . . 4 ((๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ) โ†’ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ก ยท ๐‘ฆ))} = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘‹) + (๐‘ก ยท ๐‘Œ))})
1817adantl 481 . . 3 (((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง (๐‘ฅ = ๐‘‹ โˆง ๐‘ฆ = ๐‘Œ)) โ†’ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ก ยท ๐‘ฆ))} = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘‹) + (๐‘ก ยท ๐‘Œ))})
19 sneq 4633 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ {๐‘ฅ} = {๐‘‹})
2019difeq2d 4117 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ฅ}) = (๐‘ƒ โˆ– {๐‘‹}))
2120adantl 481 . . 3 (((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ฅ}) = (๐‘ƒ โˆ– {๐‘‹}))
22 simpr1 1191 . . 3 ((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ)
23 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ โ†’ ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)
2423necomd 2990 . . . . . . 7 (๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ โ†’ ๐‘Œ โ‰  ๐‘‹)
2524anim2i 616 . . . . . 6 ((๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โ‰  ๐‘‹))
26253adant1 1127 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ (๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โ‰  ๐‘‹))
27 eldifsn 4785 . . . . 5 (๐‘Œ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘‹}) โ†” (๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โ‰  ๐‘‹))
2826, 27sylibr 233 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘‹}))
2928adantl 481 . . 3 ((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘‹}))
302ovexi 7438 . . . . 5 ๐‘ƒ โˆˆ V
3130rabex 5325 . . . 4 {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘‹) + (๐‘ก ยท ๐‘Œ))} โˆˆ V
3231a1i 11 . . 3 ((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘‹) + (๐‘ก ยท ๐‘Œ))} โˆˆ V)
339, 18, 21, 22, 29, 32ovmpodx 7554 . 2 ((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘‹(๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ƒ, ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ƒ โˆ– {๐‘ฅ}) โ†ฆ {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘ฅ) + (๐‘ก ยท ๐‘ฆ))})๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘‹) + (๐‘ก ยท ๐‘Œ))})
348, 33eqtrd 2766 1 ((๐ผ โˆˆ Fin โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐‘ƒ โˆง ๐‘‹ โ‰  ๐‘Œ)) โ†’ (๐‘‹๐ฟ๐‘Œ) = {๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โˆฃ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐‘ = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท ๐‘‹) + (๐‘ก ยท ๐‘Œ))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆƒwrex 3064  {crab 3426  Vcvv 3468   โˆ– cdif 3940  {csn 4623  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   โˆˆ cmpo 7406   โ†‘m cmap 8819  Fincfn 8938  โ„cr 11108  1c1 11110   โˆ’ cmin 11445  +gcplusg 17203   ยท๐‘  cvsca 17207  โ„^crrx 25261  LineMcline 47670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-subg 19047  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-cring 20138  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-dvr 20300  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-drng 20586  df-field 20587  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-cnfld 21236  df-refld 21493  df-dsmm 21622  df-frlm 21637  df-tng 24443  df-tcph 25047  df-rrx 25263  df-line 47672
This theorem is referenced by:  rrxlinec  47679
  Copyright terms: Public domain W3C validator