Theorem rrxline 49434

Description: The line passing through the two different points 𝑋 and 𝑌 in a generalized real Euclidean space of finite dimension. (Contributed by AV, 14-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxlines.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrxlines.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrxlines.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
rrxlines.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐸)
rrxlines.a	⊢ + = (+g‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
rrxline	⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑋) + (𝑡 · 𝑌))})

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝,𝑡   𝐼,𝑝,𝑡   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝,𝑡   𝑌,𝑝,𝑡

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡)   + (𝑡,𝑝)   · (𝑡,𝑝)   𝐿(𝑡,𝑝)

Proof of Theorem rrxline

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxlines.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
2		rrxlines.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
3		rrxlines.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
4		rrxlines.m	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐸)
5		rrxlines.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐸)
6	1, 2, 3, 4, 5	rrxlines 49433	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐿 = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}))
7	6	oveqd 7428	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑋𝐿𝑌) = (𝑋(𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))})𝑌))
8	7	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) = (𝑋(𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))})𝑌))
9		eqidd 2770	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}) = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}))
10		simpl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑋)
11	10	oveq2d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ((1 − 𝑡) · 𝑥) = ((1 − 𝑡) · 𝑋))
12		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → 𝑦 = 𝑌)
13	12	oveq2d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑡 · 𝑦) = (𝑡 · 𝑌))
14	11, 13	oveq12d 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦)) = (((1 − 𝑡) · 𝑋) + (𝑡 · 𝑌)))
15	14	eqeq2d 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦)) ↔ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑋) + (𝑡 · 𝑌))))
16	15	rexbidv 3195	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → (∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑋) + (𝑡 · 𝑌))))
17	16	rabbidv 3429	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑋) + (𝑡 · 𝑌))})
18	17	adantl 486	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ (𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌)) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑋) + (𝑡 · 𝑌))})
19		sneq 4602	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
20	19	difeq2d 4087	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑃 ∖ {𝑥}) = (𝑃 ∖ {𝑋}))
21	20	adantl 486	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑃 ∖ {𝑥}) = (𝑃 ∖ {𝑋}))
22		simpr1 1211	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
23		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑌 → 𝑋 ≠ 𝑌)
24	23	necomd 3019	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑌 → 𝑌 ≠ 𝑋)
25	24	anim2i 628	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋))
26	25	3adant1 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋))
27		eldifsn 4756	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}) ↔ (𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ≠ 𝑋))
28	26, 27	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
29	28	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
30	2	ovexi 7445	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ V
31	30	rabex 5310	. . . 4 ⊢ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑋) + (𝑡 · 𝑌))} ∈ V
32	31	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑋) + (𝑡 · 𝑌))} ∈ V)
33	9, 18, 21, 22, 29, 32	ovmpodx 7562	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋(𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))})𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑋) + (𝑡 · 𝑌))})
34	8, 33	eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑋) + (𝑡 · 𝑌))})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095  {crab 3422  Vcvv 3461   ∖ cdif 3908  {csn 4592  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413   ↑_m cmap 8824  Fincfn 8943  ℝcr 11099  1c1 11101   − cmin 11441  +_gcplusg 17310   ·_𝑠 cvsca 17314  ℝ^crrx 25511  Line_Mcline 49427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-prds 17500  df-pws 17502  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-subg 19189  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-cring 20318  df-oppr 20419  df-dvdsr 20439  df-unit 20440  df-invr 20470  df-dvr 20483  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-drng 20815  df-field 20816  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-cnfld 21492  df-refld 21724  df-dsmm 21851  df-frlm 21866  df-tng 24710  df-tcph 25297  df-rrx 25513  df-line 49429

This theorem is referenced by:  rrxlinec  49436