Theorem rrxlines 45967

Description: Definition of lines passing through two different points in a generalized real Euclidean space of finite dimension. (Contributed by AV, 14-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxlines.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrxlines.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrxlines.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
rrxlines.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐸)
rrxlines.a	⊢ + = (+g‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
rrxlines	⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐿 = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}))

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝,𝑡,𝑥,𝑦   𝐼,𝑝,𝑡,𝑥,𝑦   𝑃,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦,𝑡)   + (𝑥,𝑦,𝑡,𝑝)   · (𝑥,𝑦,𝑡,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑡,𝑝)

Proof of Theorem rrxlines

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxlines.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
2	1	fvexi 6770	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ V
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
4		rrxlines.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐸) = (Scalar‘𝐸)
6		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐸)) = (Base‘(Scalar‘𝐸))
7		rrxlines.m	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐸)
8		rrxlines.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐸)
9		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (-g‘(Scalar‘𝐸)) = (-g‘(Scalar‘𝐸))
10		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐸)) = (1r‘(Scalar‘𝐸))
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lines 45965	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ V → 𝐿 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐸), 𝑦 ∈ ((Base‘𝐸) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}))
12	2, 11	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐿 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐸), 𝑦 ∈ ((Base‘𝐸) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}))
13		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
14	13, 1, 3	rrxbasefi 24479	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝐸) = (ℝ ↑m 𝐼))
15		rrxlines.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
16	14, 15	eqtr4di 2797	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝐸) = 𝑃)
17	16	difeq1d 4052	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((Base‘𝐸) ∖ {𝑥}) = (𝑃 ∖ {𝑥}))
18	1	rrxsca 24465	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Scalar‘𝐸) = ℝfld)
19	18	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘(Scalar‘𝐸)) = (Base‘ℝfld))
20		rebase 20723	. . . . . 6 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
21	19, 20	eqtr4di 2797	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘(Scalar‘𝐸)) = ℝ)
22	18	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (1r‘(Scalar‘𝐸)) = (1r‘ℝfld))
23		re1r 20730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘ℝfld)
24	22, 23	eqtr4di 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (1r‘(Scalar‘𝐸)) = 1)
25	24	oveq1d 7270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) = (1(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → ((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) = (1(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡))
27	18	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (-g‘(Scalar‘𝐸)) = (-g‘ℝfld))
28	27	oveqd 7272	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (1(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) = (1(-g‘ℝfld)𝑡))
29	28	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → (1(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) = (1(-g‘ℝfld)𝑡))
30	21	eleq2d 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸)) ↔ 𝑡 ∈ ℝ))
31		1re 10906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
32		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-g‘ℝfld) = (-g‘ℝfld)
33	32	resubgval 20726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) = (1(-g‘ℝfld)𝑡))
34	33	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1(-g‘ℝfld)𝑡) = (1 − 𝑡))
35	31, 34	mpan 686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (1(-g‘ℝfld)𝑡) = (1 − 𝑡))
36	30, 35	syl6bi 252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸)) → (1(-g‘ℝfld)𝑡) = (1 − 𝑡)))
37	36	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → (1(-g‘ℝfld)𝑡) = (1 − 𝑡))
38	26, 29, 37	3eqtrd 2782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → ((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) = (1 − 𝑡))
39	38	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → (((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) = ((1 − 𝑡) · 𝑥))
40	39	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦)) = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦)))
41	40	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → (𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦)) ↔ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))))
42	21, 41	rexeqbidva 3346	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (∃𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))))
43	16, 42	rabeqbidv 3410	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))})
44	16, 17, 43	mpoeq123dv 7328	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑥 ∈ (Base‘𝐸), 𝑦 ∈ ((Base‘𝐸) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}) = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}))
45	12, 44	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐿 = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  {crab 3067  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691  ℝcr 10801  1c1 10803   − cmin 11135  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  -_gcsg 18494  1_rcur 19652  ℝ_fldcrefld 20721  ℝ^crrx 24452  Line_Mcline 45961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cmn 19303  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-field 19909  df-subrg 19937  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-cnfld 20511  df-refld 20722  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-tng 23646  df-tcph 24238  df-rrx 24454  df-line 45963

This theorem is referenced by:  rrxline  45968  rrxlinesc  45969