Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxlines Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxlines 46720
Description: Definition of lines passing through two different points in a generalized real Euclidean space of finite dimension. (Contributed by AV, 14-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxlines.e 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
rrxlines.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrxlines.l 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
rrxlines.m Β· = ( ·𝑠 β€˜πΈ)
rrxlines.a + = (+gβ€˜πΈ)
Assertion
Ref Expression
rrxlines (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐿 = (π‘₯ ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ 𝑝 = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯) + (𝑑 Β· 𝑦))}))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝,𝑑,π‘₯,𝑦   𝐼,𝑝,𝑑,π‘₯,𝑦   𝑃,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑑)   + (π‘₯,𝑦,𝑑,𝑝)   Β· (π‘₯,𝑦,𝑑,𝑝)   𝐿(π‘₯,𝑦,𝑑,𝑝)

Proof of Theorem rrxlines
StepHypRef Expression
1 rrxlines.e . . . 4 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
21fvexi 6853 . . 3 𝐸 ∈ V
3 eqid 2737 . . . 4 (Baseβ€˜πΈ) = (Baseβ€˜πΈ)
4 rrxlines.l . . . 4 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
5 eqid 2737 . . . 4 (Scalarβ€˜πΈ) = (Scalarβ€˜πΈ)
6 eqid 2737 . . . 4 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΈ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))
7 rrxlines.m . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜πΈ)
8 rrxlines.a . . . 4 + = (+gβ€˜πΈ)
9 eqid 2737 . . . 4 (-gβ€˜(Scalarβ€˜πΈ)) = (-gβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))
10 eqid 2737 . . . 4 (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΈ)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10lines 46718 . . 3 (𝐸 ∈ V β†’ 𝐿 = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΈ), 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜πΈ) βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΈ) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))𝑝 = ((((1rβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))(-gβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))𝑑) Β· π‘₯) + (𝑑 Β· 𝑦))}))
122, 11mp1i 13 . 2 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐿 = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΈ), 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜πΈ) βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΈ) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))𝑝 = ((((1rβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))(-gβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))𝑑) Β· π‘₯) + (𝑑 Β· 𝑦))}))
13 id 22 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐼 ∈ Fin)
1413, 1, 3rrxbasefi 24726 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin β†’ (Baseβ€˜πΈ) = (ℝ ↑m 𝐼))
15 rrxlines.p . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
1614, 15eqtr4di 2795 . . 3 (𝐼 ∈ Fin β†’ (Baseβ€˜πΈ) = 𝑃)
1716difeq1d 4079 . . 3 (𝐼 ∈ Fin β†’ ((Baseβ€˜πΈ) βˆ– {π‘₯}) = (𝑃 βˆ– {π‘₯}))
181rrxsca 24712 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ Fin β†’ (Scalarβ€˜πΈ) = ℝfld)
1918fveq2d 6843 . . . . . 6 (𝐼 ∈ Fin β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΈ)) = (Baseβ€˜β„fld))
20 rebase 20963 . . . . . 6 ℝ = (Baseβ€˜β„fld)
2119, 20eqtr4di 2795 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΈ)) = ℝ)
2218fveq2d 6843 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ Fin β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΈ)) = (1rβ€˜β„fld))
23 re1r 20970 . . . . . . . . . . . 12 1 = (1rβ€˜β„fld)
2422, 23eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ Fin β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΈ)) = 1)
2524oveq1d 7366 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ Fin β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))(-gβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))𝑑) = (1(-gβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))𝑑))
2625adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))(-gβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))𝑑) = (1(-gβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))𝑑))
2718fveq2d 6843 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ Fin β†’ (-gβ€˜(Scalarβ€˜πΈ)) = (-gβ€˜β„fld))
2827oveqd 7368 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ Fin β†’ (1(-gβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))𝑑) = (1(-gβ€˜β„fld)𝑑))
2928adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))) β†’ (1(-gβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))𝑑) = (1(-gβ€˜β„fld)𝑑))
3021eleq2d 2823 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝑑 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΈ)) ↔ 𝑑 ∈ ℝ))
31 1re 11113 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
32 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (-gβ€˜β„fld) = (-gβ€˜β„fld)
3332resubgval 20966 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (1 βˆ’ 𝑑) = (1(-gβ€˜β„fld)𝑑))
3433eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (1(-gβ€˜β„fld)𝑑) = (1 βˆ’ 𝑑))
3531, 34mpan 688 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ ℝ β†’ (1(-gβ€˜β„fld)𝑑) = (1 βˆ’ 𝑑))
3630, 35syl6bi 252 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝑑 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΈ)) β†’ (1(-gβ€˜β„fld)𝑑) = (1 βˆ’ 𝑑)))
3736imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))) β†’ (1(-gβ€˜β„fld)𝑑) = (1 βˆ’ 𝑑))
3826, 29, 373eqtrd 2781 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))(-gβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))𝑑) = (1 βˆ’ 𝑑))
3938oveq1d 7366 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))) β†’ (((1rβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))(-gβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))𝑑) Β· π‘₯) = ((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯))
4039oveq1d 7366 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))) β†’ ((((1rβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))(-gβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))𝑑) Β· π‘₯) + (𝑑 Β· 𝑦)) = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯) + (𝑑 Β· 𝑦)))
4140eqeq2d 2748 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))) β†’ (𝑝 = ((((1rβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))(-gβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))𝑑) Β· π‘₯) + (𝑑 Β· 𝑦)) ↔ 𝑝 = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯) + (𝑑 Β· 𝑦))))
4221, 41rexeqbidva 3320 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))𝑝 = ((((1rβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))(-gβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))𝑑) Β· π‘₯) + (𝑑 Β· 𝑦)) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ 𝑝 = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯) + (𝑑 Β· 𝑦))))
4316, 42rabeqbidv 3422 . . 3 (𝐼 ∈ Fin β†’ {𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΈ) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))𝑝 = ((((1rβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))(-gβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))𝑑) Β· π‘₯) + (𝑑 Β· 𝑦))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ 𝑝 = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯) + (𝑑 Β· 𝑦))})
4416, 17, 43mpoeq123dv 7426 . 2 (𝐼 ∈ Fin β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΈ), 𝑦 ∈ ((Baseβ€˜πΈ) βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΈ) ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))𝑝 = ((((1rβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))(-gβ€˜(Scalarβ€˜πΈ))𝑑) Β· π‘₯) + (𝑑 Β· 𝑦))}) = (π‘₯ ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ 𝑝 = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯) + (𝑑 Β· 𝑦))}))
4512, 44eqtrd 2777 1 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐿 = (π‘₯ ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ 𝑝 = (((1 βˆ’ 𝑑) Β· π‘₯) + (𝑑 Β· 𝑦))}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3071  {crab 3405  Vcvv 3443   βˆ– cdif 3905  {csn 4584  β€˜cfv 6493  (class class class)co 7351   ∈ cmpo 7353   ↑m cmap 8723  Fincfn 8841  β„cr 11008  1c1 11010   βˆ’ cmin 11343  Basecbs 17043  +gcplusg 17093  Scalarcsca 17096   ·𝑠 cvsca 17097  -gcsg 18710  1rcur 19872  β„fldcrefld 20961  β„^crrx 24699  LineMcline 46714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-tpos 8149  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-sup 9336  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-rp 12870  df-fz 13379  df-seq 13861  df-exp 13922  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-ip 17111  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-hom 17117  df-cco 17118  df-0g 17283  df-prds 17289  df-pws 17291  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-sbg 18713  df-subg 18884  df-cmn 19523  df-mgp 19856  df-ur 19873  df-ring 19920  df-cring 19921  df-oppr 20002  df-dvdsr 20023  df-unit 20024  df-invr 20054  df-dvr 20065  df-drng 20140  df-field 20141  df-subrg 20173  df-sra 20586  df-rgmod 20587  df-cnfld 20750  df-refld 20962  df-dsmm 21091  df-frlm 21106  df-tng 23892  df-tcph 24485  df-rrx 24701  df-line 46716
This theorem is referenced by:  rrxline  46721  rrxlinesc  46722
  Copyright terms: Public domain W3C validator