Theorem rrxlines 48713

Description: Definition of lines passing through two different points in a generalized real Euclidean space of finite dimension. (Contributed by AV, 14-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxlines.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrxlines.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrxlines.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
rrxlines.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐸)
rrxlines.a	⊢ + = (+g‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
rrxlines	⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐿 = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}))

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝,𝑡,𝑥,𝑦   𝐼,𝑝,𝑡,𝑥,𝑦   𝑃,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦,𝑡)   + (𝑥,𝑦,𝑡,𝑝)   · (𝑥,𝑦,𝑡,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑡,𝑝)

Proof of Theorem rrxlines

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxlines.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
2	1	fvexi 6890	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ V
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
4		rrxlines.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
5		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐸) = (Scalar‘𝐸)
6		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐸)) = (Base‘(Scalar‘𝐸))
7		rrxlines.m	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐸)
8		rrxlines.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐸)
9		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (-g‘(Scalar‘𝐸)) = (-g‘(Scalar‘𝐸))
10		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐸)) = (1r‘(Scalar‘𝐸))
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lines 48711	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ V → 𝐿 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐸), 𝑦 ∈ ((Base‘𝐸) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}))
12	2, 11	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐿 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐸), 𝑦 ∈ ((Base‘𝐸) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}))
13		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
14	13, 1, 3	rrxbasefi 25362	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝐸) = (ℝ ↑m 𝐼))
15		rrxlines.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
16	14, 15	eqtr4di 2788	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝐸) = 𝑃)
17	16	difeq1d 4100	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((Base‘𝐸) ∖ {𝑥}) = (𝑃 ∖ {𝑥}))
18	1	rrxsca 25348	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Scalar‘𝐸) = ℝfld)
19	18	fveq2d 6880	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘(Scalar‘𝐸)) = (Base‘ℝfld))
20		rebase 21566	. . . . . 6 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
21	19, 20	eqtr4di 2788	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘(Scalar‘𝐸)) = ℝ)
22	18	fveq2d 6880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (1r‘(Scalar‘𝐸)) = (1r‘ℝfld))
23		re1r 21573	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘ℝfld)
24	22, 23	eqtr4di 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (1r‘(Scalar‘𝐸)) = 1)
25	24	oveq1d 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) = (1(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → ((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) = (1(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡))
27	18	fveq2d 6880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (-g‘(Scalar‘𝐸)) = (-g‘ℝfld))
28	27	oveqd 7422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (1(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) = (1(-g‘ℝfld)𝑡))
29	28	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → (1(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) = (1(-g‘ℝfld)𝑡))
30	21	eleq2d 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸)) ↔ 𝑡 ∈ ℝ))
31		1re 11235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
32		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-g‘ℝfld) = (-g‘ℝfld)
33	32	resubgval 21569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) = (1(-g‘ℝfld)𝑡))
34	33	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1(-g‘ℝfld)𝑡) = (1 − 𝑡))
35	31, 34	mpan 690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (1(-g‘ℝfld)𝑡) = (1 − 𝑡))
36	30, 35	biimtrdi 253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸)) → (1(-g‘ℝfld)𝑡) = (1 − 𝑡)))
37	36	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → (1(-g‘ℝfld)𝑡) = (1 − 𝑡))
38	26, 29, 37	3eqtrd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → ((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) = (1 − 𝑡))
39	38	oveq1d 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → (((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) = ((1 − 𝑡) · 𝑥))
40	39	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦)) = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦)))
41	40	eqeq2d 2746	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → (𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦)) ↔ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))))
42	21, 41	rexeqbidva 3312	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (∃𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))))
43	16, 42	rabeqbidv 3434	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))})
44	16, 17, 43	mpoeq123dv 7482	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑥 ∈ (Base‘𝐸), 𝑦 ∈ ((Base‘𝐸) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}) = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}))
45	12, 44	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐿 = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060  {crab 3415  Vcvv 3459   ∖ cdif 3923  {csn 4601  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407   ↑_m cmap 8840  Fincfn 8959  ℝcr 11128  1c1 11130   − cmin 11466  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  Scalarcsca 17274   ·_𝑠 cvsca 17275  -_gcsg 18918  1_rcur 20141  ℝ_fldcrefld 21564  ℝ^crrx 25335  Line_Mcline 48707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-rp 13009  df-fz 13525  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-0g 17455  df-prds 17461  df-pws 17463  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-cring 20196  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-dvr 20361  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-drng 20691  df-field 20692  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-cnfld 21316  df-refld 21565  df-dsmm 21692  df-frlm 21707  df-tng 24523  df-tcph 25121  df-rrx 25337  df-line 48709

This theorem is referenced by:  rrxline  48714  rrxlinesc  48715