Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxlines Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxlines 44907
 Description: Definition of lines passing through two different points in a generalized real Euclidean space of finite dimension. (Contributed by AV, 14-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxlines.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrxlines.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrxlines.l 𝐿 = (LineM𝐸)
rrxlines.m · = ( ·𝑠𝐸)
rrxlines.a + = (+g𝐸)
Assertion
Ref Expression
rrxlines (𝐼 ∈ Fin → 𝐿 = (𝑥𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝,𝑡,𝑥,𝑦   𝐼,𝑝,𝑡,𝑥,𝑦   𝑃,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦,𝑡)   + (𝑥,𝑦,𝑡,𝑝)   · (𝑥,𝑦,𝑡,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑡,𝑝)

Proof of Theorem rrxlines
StepHypRef Expression
1 rrxlines.e . . . 4 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
21fvexi 6660 . . 3 𝐸 ∈ V
3 eqid 2820 . . . 4 (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
4 rrxlines.l . . . 4 𝐿 = (LineM𝐸)
5 eqid 2820 . . . 4 (Scalar‘𝐸) = (Scalar‘𝐸)
6 eqid 2820 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝐸)) = (Base‘(Scalar‘𝐸))
7 rrxlines.m . . . 4 · = ( ·𝑠𝐸)
8 rrxlines.a . . . 4 + = (+g𝐸)
9 eqid 2820 . . . 4 (-g‘(Scalar‘𝐸)) = (-g‘(Scalar‘𝐸))
10 eqid 2820 . . . 4 (1r‘(Scalar‘𝐸)) = (1r‘(Scalar‘𝐸))
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10lines 44905 . . 3 (𝐸 ∈ V → 𝐿 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐸), 𝑦 ∈ ((Base‘𝐸) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}))
122, 11mp1i 13 . 2 (𝐼 ∈ Fin → 𝐿 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐸), 𝑦 ∈ ((Base‘𝐸) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}))
13 id 22 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
1413, 1, 3rrxbasefi 23993 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝐸) = (ℝ ↑m 𝐼))
15 rrxlines.p . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
1614, 15syl6eqr 2873 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝐸) = 𝑃)
1716difeq1d 4077 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → ((Base‘𝐸) ∖ {𝑥}) = (𝑃 ∖ {𝑥}))
181rrxsca 23979 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ Fin → (Scalar‘𝐸) = ℝfld)
1918fveq2d 6650 . . . . . 6 (𝐼 ∈ Fin → (Base‘(Scalar‘𝐸)) = (Base‘ℝfld))
20 rebase 20726 . . . . . 6 ℝ = (Base‘ℝfld)
2119, 20syl6eqr 2873 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → (Base‘(Scalar‘𝐸)) = ℝ)
2218fveq2d 6650 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ Fin → (1r‘(Scalar‘𝐸)) = (1r‘ℝfld))
23 re1r 20733 . . . . . . . . . . . 12 1 = (1r‘ℝfld)
2422, 23syl6eqr 2873 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ Fin → (1r‘(Scalar‘𝐸)) = 1)
2524oveq1d 7148 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ Fin → ((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) = (1(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡))
2625adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → ((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) = (1(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡))
2718fveq2d 6650 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ Fin → (-g‘(Scalar‘𝐸)) = (-g‘ℝfld))
2827oveqd 7150 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ Fin → (1(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) = (1(-g‘ℝfld)𝑡))
2928adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → (1(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) = (1(-g‘ℝfld)𝑡))
3021eleq2d 2896 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ Fin → (𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸)) ↔ 𝑡 ∈ ℝ))
31 1re 10619 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
32 eqid 2820 . . . . . . . . . . . . . 14 (-g‘ℝfld) = (-g‘ℝfld)
3332resubgval 20729 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) = (1(-g‘ℝfld)𝑡))
3433eqcomd 2826 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1(-g‘ℝfld)𝑡) = (1 − 𝑡))
3531, 34mpan 688 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ ℝ → (1(-g‘ℝfld)𝑡) = (1 − 𝑡))
3630, 35syl6bi 255 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ Fin → (𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸)) → (1(-g‘ℝfld)𝑡) = (1 − 𝑡)))
3736imp 409 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → (1(-g‘ℝfld)𝑡) = (1 − 𝑡))
3826, 29, 373eqtrd 2859 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → ((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) = (1 − 𝑡))
3938oveq1d 7148 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → (((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) = ((1 − 𝑡) · 𝑥))
4039oveq1d 7148 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦)) = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦)))
4140eqeq2d 2831 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → (𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦)) ↔ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))))
4221, 41rexeqbidva 3405 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → (∃𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))))
4316, 42rabeqbidv 3464 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))} = {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))})
4416, 17, 43mpoeq123dv 7206 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (𝑥 ∈ (Base‘𝐸), 𝑦 ∈ ((Base‘𝐸) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}) = (𝑥𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}))
4512, 44eqtrd 2855 1 (𝐼 ∈ Fin → 𝐿 = (𝑥𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3126  {crab 3129  Vcvv 3473   ∖ cdif 3910  {csn 4543  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133   ∈ cmpo 7135   ↑m cmap 8384  Fincfn 8487  ℝcr 10514  1c1 10516   − cmin 10848  Basecbs 16462  +gcplusg 16544  Scalarcsca 16547   ·𝑠 cvsca 16548  -gcsg 18084  1rcur 19230  ℝfldcrefld 20724  ℝ^crrx 23966  LineMcline 44901 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593  ax-addf 10594  ax-mulf 10595 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-supp 7809  df-tpos 7870  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-ixp 8440  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-fsupp 8812  df-sup 8884  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-rp 12369  df-fz 12877  df-seq 13354  df-exp 13415  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-0g 16694  df-prds 16700  df-pws 16702  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-subg 18255  df-cmn 18887  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-cring 19279  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-dvr 19412  df-drng 19480  df-field 19481  df-subrg 19509  df-sra 19920  df-rgmod 19921  df-cnfld 20522  df-refld 20725  df-dsmm 20852  df-frlm 20867  df-tng 23170  df-tcph 23753  df-rrx 23968  df-line 44903 This theorem is referenced by:  rrxline  44908  rrxlinesc  44909
 Copyright terms: Public domain W3C validator