Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxlines Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxlines 46058
Description: Definition of lines passing through two different points in a generalized real Euclidean space of finite dimension. (Contributed by AV, 14-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxlines.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrxlines.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrxlines.l 𝐿 = (LineM𝐸)
rrxlines.m · = ( ·𝑠𝐸)
rrxlines.a + = (+g𝐸)
Assertion
Ref Expression
rrxlines (𝐼 ∈ Fin → 𝐿 = (𝑥𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝,𝑡,𝑥,𝑦   𝐼,𝑝,𝑡,𝑥,𝑦   𝑃,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦,𝑡)   + (𝑥,𝑦,𝑡,𝑝)   · (𝑥,𝑦,𝑡,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑡,𝑝)

Proof of Theorem rrxlines
StepHypRef Expression
1 rrxlines.e . . . 4 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
21fvexi 6785 . . 3 𝐸 ∈ V
3 eqid 2740 . . . 4 (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
4 rrxlines.l . . . 4 𝐿 = (LineM𝐸)
5 eqid 2740 . . . 4 (Scalar‘𝐸) = (Scalar‘𝐸)
6 eqid 2740 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝐸)) = (Base‘(Scalar‘𝐸))
7 rrxlines.m . . . 4 · = ( ·𝑠𝐸)
8 rrxlines.a . . . 4 + = (+g𝐸)
9 eqid 2740 . . . 4 (-g‘(Scalar‘𝐸)) = (-g‘(Scalar‘𝐸))
10 eqid 2740 . . . 4 (1r‘(Scalar‘𝐸)) = (1r‘(Scalar‘𝐸))
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10lines 46056 . . 3 (𝐸 ∈ V → 𝐿 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐸), 𝑦 ∈ ((Base‘𝐸) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}))
122, 11mp1i 13 . 2 (𝐼 ∈ Fin → 𝐿 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐸), 𝑦 ∈ ((Base‘𝐸) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}))
13 id 22 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
1413, 1, 3rrxbasefi 24585 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝐸) = (ℝ ↑m 𝐼))
15 rrxlines.p . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
1614, 15eqtr4di 2798 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝐸) = 𝑃)
1716difeq1d 4061 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → ((Base‘𝐸) ∖ {𝑥}) = (𝑃 ∖ {𝑥}))
181rrxsca 24571 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ Fin → (Scalar‘𝐸) = ℝfld)
1918fveq2d 6775 . . . . . 6 (𝐼 ∈ Fin → (Base‘(Scalar‘𝐸)) = (Base‘ℝfld))
20 rebase 20822 . . . . . 6 ℝ = (Base‘ℝfld)
2119, 20eqtr4di 2798 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → (Base‘(Scalar‘𝐸)) = ℝ)
2218fveq2d 6775 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ Fin → (1r‘(Scalar‘𝐸)) = (1r‘ℝfld))
23 re1r 20829 . . . . . . . . . . . 12 1 = (1r‘ℝfld)
2422, 23eqtr4di 2798 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ Fin → (1r‘(Scalar‘𝐸)) = 1)
2524oveq1d 7287 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ Fin → ((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) = (1(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡))
2625adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → ((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) = (1(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡))
2718fveq2d 6775 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ Fin → (-g‘(Scalar‘𝐸)) = (-g‘ℝfld))
2827oveqd 7289 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ Fin → (1(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) = (1(-g‘ℝfld)𝑡))
2928adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → (1(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) = (1(-g‘ℝfld)𝑡))
3021eleq2d 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ Fin → (𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸)) ↔ 𝑡 ∈ ℝ))
31 1re 10986 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
32 eqid 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (-g‘ℝfld) = (-g‘ℝfld)
3332resubgval 20825 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) = (1(-g‘ℝfld)𝑡))
3433eqcomd 2746 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1(-g‘ℝfld)𝑡) = (1 − 𝑡))
3531, 34mpan 687 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ ℝ → (1(-g‘ℝfld)𝑡) = (1 − 𝑡))
3630, 35syl6bi 252 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ Fin → (𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸)) → (1(-g‘ℝfld)𝑡) = (1 − 𝑡)))
3736imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → (1(-g‘ℝfld)𝑡) = (1 − 𝑡))
3826, 29, 373eqtrd 2784 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → ((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) = (1 − 𝑡))
3938oveq1d 7287 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → (((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) = ((1 − 𝑡) · 𝑥))
4039oveq1d 7287 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦)) = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦)))
4140eqeq2d 2751 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → (𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦)) ↔ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))))
4221, 41rexeqbidva 3354 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → (∃𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))))
4316, 42rabeqbidv 3419 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))} = {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))})
4416, 17, 43mpoeq123dv 7345 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (𝑥 ∈ (Base‘𝐸), 𝑦 ∈ ((Base‘𝐸) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}) = (𝑥𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}))
4512, 44eqtrd 2780 1 (𝐼 ∈ Fin → 𝐿 = (𝑥𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wrex 3067  {crab 3070  Vcvv 3431  cdif 3889  {csn 4567  cfv 6432  (class class class)co 7272  cmpo 7274  m cmap 8607  Fincfn 8725  cr 10881  1c1 10883  cmin 11216  Basecbs 16923  +gcplusg 16973  Scalarcsca 16976   ·𝑠 cvsca 16977  -gcsg 18590  1rcur 19748  fldcrefld 20820  ℝ^crrx 24558  LineMcline 46052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959  ax-pre-sup 10960  ax-addf 10961  ax-mulf 10962
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-supp 7970  df-tpos 8034  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-er 8490  df-map 8609  df-ixp 8678  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-fsupp 9117  df-sup 9189  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-div 11644  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-4 12049  df-5 12050  df-6 12051  df-7 12052  df-8 12053  df-9 12054  df-n0 12245  df-z 12331  df-dec 12449  df-uz 12594  df-rp 12742  df-fz 13251  df-seq 13733  df-exp 13794  df-cj 14821  df-re 14822  df-im 14823  df-sqrt 14957  df-abs 14958  df-struct 16859  df-sets 16876  df-slot 16894  df-ndx 16906  df-base 16924  df-ress 16953  df-plusg 16986  df-mulr 16987  df-starv 16988  df-sca 16989  df-vsca 16990  df-ip 16991  df-tset 16992  df-ple 16993  df-ds 16995  df-unif 16996  df-hom 16997  df-cco 16998  df-0g 17163  df-prds 17169  df-pws 17171  df-mgm 18337  df-sgrp 18386  df-mnd 18397  df-grp 18591  df-minusg 18592  df-sbg 18593  df-subg 18763  df-cmn 19399  df-mgp 19732  df-ur 19749  df-ring 19796  df-cring 19797  df-oppr 19873  df-dvdsr 19894  df-unit 19895  df-invr 19925  df-dvr 19936  df-drng 20004  df-field 20005  df-subrg 20033  df-sra 20445  df-rgmod 20446  df-cnfld 20609  df-refld 20821  df-dsmm 20950  df-frlm 20965  df-tng 23751  df-tcph 24344  df-rrx 24560  df-line 46054
This theorem is referenced by:  rrxline  46059  rrxlinesc  46060
  Copyright terms: Public domain W3C validator