Theorem rrxlines 49236

Description: Definition of lines passing through two different points in a generalized real Euclidean space of finite dimension. (Contributed by AV, 14-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxlines.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrxlines.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrxlines.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
rrxlines.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐸)
rrxlines.a	⊢ + = (+g‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
rrxlines	⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐿 = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}))

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝,𝑡,𝑥,𝑦   𝐼,𝑝,𝑡,𝑥,𝑦   𝑃,𝑝

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦,𝑡)   + (𝑥,𝑦,𝑡,𝑝)   · (𝑥,𝑦,𝑡,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑡,𝑝)

Proof of Theorem rrxlines

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxlines.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
2	1	fvexi 6844	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ V
3		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
4		rrxlines.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
5		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐸) = (Scalar‘𝐸)
6		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐸)) = (Base‘(Scalar‘𝐸))
7		rrxlines.m	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐸)
8		rrxlines.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐸)
9		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (-g‘(Scalar‘𝐸)) = (-g‘(Scalar‘𝐸))
10		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐸)) = (1r‘(Scalar‘𝐸))
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lines 49234	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ V → 𝐿 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐸), 𝑦 ∈ ((Base‘𝐸) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}))
12	2, 11	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐿 = (𝑥 ∈ (Base‘𝐸), 𝑦 ∈ ((Base‘𝐸) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}))
13		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
14	13, 1, 3	rrxbasefi 25398	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝐸) = (ℝ ↑m 𝐼))
15		rrxlines.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
16	14, 15	eqtr4di 2794	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝐸) = 𝑃)
17	16	difeq1d 4058	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((Base‘𝐸) ∖ {𝑥}) = (𝑃 ∖ {𝑥}))
18	1	rrxsca 25384	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Scalar‘𝐸) = ℝfld)
19	18	fveq2d 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘(Scalar‘𝐸)) = (Base‘ℝfld))
20		rebase 21584	. . . . . 6 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
21	19, 20	eqtr4di 2794	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘(Scalar‘𝐸)) = ℝ)
22	18	fveq2d 6834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (1r‘(Scalar‘𝐸)) = (1r‘ℝfld))
23		re1r 21591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘ℝfld)
24	22, 23	eqtr4di 2794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (1r‘(Scalar‘𝐸)) = 1)
25	24	oveq1d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) = (1(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡))
26	25	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → ((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) = (1(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡))
27	18	fveq2d 6834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (-g‘(Scalar‘𝐸)) = (-g‘ℝfld))
28	27	oveqd 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (1(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) = (1(-g‘ℝfld)𝑡))
29	28	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → (1(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) = (1(-g‘ℝfld)𝑡))
30	21	eleq2d 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸)) ↔ 𝑡 ∈ ℝ))
31		1re 11140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
32		eqid 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-g‘ℝfld) = (-g‘ℝfld)
33	32	resubgval 21587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) = (1(-g‘ℝfld)𝑡))
34	33	eqcomd 2747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1(-g‘ℝfld)𝑡) = (1 − 𝑡))
35	31, 34	mpan 697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → (1(-g‘ℝfld)𝑡) = (1 − 𝑡))
36	30, 35	biimtrdi 255	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸)) → (1(-g‘ℝfld)𝑡) = (1 − 𝑡)))
37	36	imp 408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → (1(-g‘ℝfld)𝑡) = (1 − 𝑡))
38	26, 29, 37	3eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → ((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) = (1 − 𝑡))
39	38	oveq1d 7374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → (((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) = ((1 − 𝑡) · 𝑥))
40	39	oveq1d 7374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦)) = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦)))
41	40	eqeq2d 2752	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))) → (𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦)) ↔ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))))
42	21, 41	rexeqbidva 3306	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (∃𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))))
43	16, 42	rabeqbidv 3411	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))})
44	16, 17, 43	mpoeq123dv 7434	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑥 ∈ (Base‘𝐸), 𝑦 ∈ ((Base‘𝐸) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ (Base‘𝐸) ∣ ∃𝑡 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐸))𝑝 = ((((1r‘(Scalar‘𝐸))(-g‘(Scalar‘𝐸))𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}) = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}))
45	12, 44	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐿 = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡) · 𝑥) + (𝑡 · 𝑦))}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∃wrex 3065  {crab 3393  Vcvv 3433   ∖ cdif 3881  {csn 4557  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   ∈ cmpo 7361   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887  ℝcr 11033  1c1 11035   − cmin 11373  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  Scalarcsca 17218   ·_𝑠 cvsca 17219  -_gcsg 18906  1_rcur 20156  ℝ_fldcrefld 21582  ℝ^crrx 25371  Line_Mcline 49230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112  ax-addf 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19094  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-dvr 20375  df-subrng 20521  df-subrg 20545  df-drng 20706  df-field 20707  df-sra 21166  df-rgmod 21167  df-cnfld 21351  df-refld 21583  df-dsmm 21710  df-frlm 21725  df-tng 24570  df-tcph 25157  df-rrx 25373  df-line 49232

This theorem is referenced by:  rrxline  49237  rrxlinesc  49238