Theorem rrxlinesc 48469

Description: Definition of lines passing through two different points in a generalized real Euclidean space of finite dimension, expressed by their coordinates. (Contributed by AV, 13-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxlinesc.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrxlinesc.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrxlinesc.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
rrxlinesc	⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐿 = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))}))

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝,𝑡,𝑥,𝑦   𝑖,𝐼,𝑝,𝑡,𝑥,𝑦   𝑃,𝑖,𝑝,𝑡

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑖)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑡,𝑖,𝑝)

Proof of Theorem rrxlinesc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxlinesc.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
2		rrxlinesc.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
3		rrxlinesc.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
4		eqid 2740	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐸) = ( ·𝑠 ‘𝐸)
5		eqid 2740	. . 3 ⊢ (+g‘𝐸) = (+g‘𝐸)
6	1, 2, 3, 4, 5	rrxlines 48467	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐿 = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡)( ·𝑠 ‘𝐸)𝑥)(+g‘𝐸)(𝑡( ·𝑠 ‘𝐸)𝑦))}))
7		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
8		simpll1 1212	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐼 ∈ Fin)
9		1red 11291	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
10		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
11	9, 10	resubcld 11718	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
12		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
13	12, 1, 7	rrxbasefi 25463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝐸) = (ℝ ↑m 𝐼))
14	2, 13	eqtr4id 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝑃 = (Base‘𝐸))
15	14	eleq2d 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝑃 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐸)))
16	15	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐸))
17	16	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐸))
18	17	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐸))
19		eldifi 4154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) → 𝑦 ∈ 𝑃)
20	14	eleq2d 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑦 ∈ 𝑃 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐸)))
21	19, 20	imbitrid 244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐸)))
22	21	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝑃 → (𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐸))))
23	22	3imp 1111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐸))
24	23	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐸))
25	14	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) → 𝑃 = (Base‘𝐸))
26	25	eleq2d 2830	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) → (𝑝 ∈ 𝑃 ↔ 𝑝 ∈ (Base‘𝐸)))
27	26	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐸))
28	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐸))
29	1, 7, 4, 8, 11, 18, 24, 28, 5, 10	rrxplusgvscavalb 25448	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑝 = (((1 − 𝑡)( ·𝑠 ‘𝐸)𝑥)(+g‘𝐸)(𝑡( ·𝑠 ‘𝐸)𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))))
30	29	rexbidva 3183	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡)( ·𝑠 ‘𝐸)𝑥)(+g‘𝐸)(𝑡( ·𝑠 ‘𝐸)𝑦)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))))
31	30	rabbidva 3450	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡)( ·𝑠 ‘𝐸)𝑥)(+g‘𝐸)(𝑡( ·𝑠 ‘𝐸)𝑦))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))})
32	31	mpoeq3dva 7527	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡)( ·𝑠 ‘𝐸)𝑥)(+g‘𝐸)(𝑡( ·𝑠 ‘𝐸)𝑦))}) = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))}))
33	6, 32	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐿 = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  {crab 3443   ∖ cdif 3973  {csn 4648  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450   ↑_m cmap 8884  Fincfn 9003  ℝcr 11183  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   − cmin 11520  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311   ·_𝑠 cvsca 17315  ℝ^crrx 25436  Line_Mcline 48461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-rhm 20498  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-drng 20753  df-field 20754  df-staf 20862  df-srng 20863  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-cnfld 21388  df-refld 21646  df-dsmm 21775  df-frlm 21790  df-tng 24618  df-tcph 25222  df-rrx 25438  df-line 48463

This theorem is referenced by:  eenglngeehlnm  48473