Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxlinesc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxlinesc 44624
 Description: Definition of lines passing through two different points in a generalized real Euclidean space of finite dimension, expressed by their coordinates. (Contributed by AV, 13-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxlinesc.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrxlinesc.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrxlinesc.l 𝐿 = (LineM𝐸)
Assertion
Ref Expression
rrxlinesc (𝐼 ∈ Fin → 𝐿 = (𝑥𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖𝐼 (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥𝑖)) + (𝑡 · (𝑦𝑖)))}))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝,𝑡,𝑥,𝑦   𝑖,𝐼,𝑝,𝑡,𝑥,𝑦   𝑃,𝑖,𝑝,𝑡
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑖)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑡,𝑖,𝑝)

Proof of Theorem rrxlinesc
StepHypRef Expression
1 rrxlinesc.e . . 3 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
2 rrxlinesc.p . . 3 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
3 rrxlinesc.l . . 3 𝐿 = (LineM𝐸)
4 eqid 2826 . . 3 ( ·𝑠𝐸) = ( ·𝑠𝐸)
5 eqid 2826 . . 3 (+g𝐸) = (+g𝐸)
61, 2, 3, 4, 5rrxlines 44622 . 2 (𝐼 ∈ Fin → 𝐿 = (𝑥𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡)( ·𝑠𝐸)𝑥)(+g𝐸)(𝑡( ·𝑠𝐸)𝑦))}))
7 eqid 2826 . . . . . 6 (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
8 simpll1 1206 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑃𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐼 ∈ Fin)
9 1red 10636 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑃𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
10 simpr 485 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑃𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
119, 10resubcld 11062 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑃𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
12 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
1312, 1, 7rrxbasefi 23947 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝐸) = (ℝ ↑m 𝐼))
1413, 2syl6reqr 2880 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ Fin → 𝑃 = (Base‘𝐸))
1514eleq2d 2903 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin → (𝑥𝑃𝑥 ∈ (Base‘𝐸)))
1615biimpa 477 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑃) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐸))
17163adant3 1126 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑃𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐸))
1817ad2antrr 722 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑃𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐸))
19 eldifi 4107 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) → 𝑦𝑃)
2014eleq2d 2903 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ Fin → (𝑦𝑃𝑦 ∈ (Base‘𝐸)))
2119, 20syl5ib 245 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin → (𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐸)))
2221a1d 25 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ Fin → (𝑥𝑃 → (𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐸))))
23223imp 1105 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑃𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐸))
2423ad2antrr 722 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑃𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐸))
25143ad2ant1 1127 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑃𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) → 𝑃 = (Base‘𝐸))
2625eleq2d 2903 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑃𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) → (𝑝𝑃𝑝 ∈ (Base‘𝐸)))
2726biimpa 477 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑃𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝𝑃) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐸))
2827adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑃𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐸))
291, 7, 4, 8, 11, 18, 24, 28, 5, 10rrxplusgvscavalb 23932 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑃𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑝 = (((1 − 𝑡)( ·𝑠𝐸)𝑥)(+g𝐸)(𝑡( ·𝑠𝐸)𝑦)) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥𝑖)) + (𝑡 · (𝑦𝑖)))))
3029rexbidva 3301 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑃𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡)( ·𝑠𝐸)𝑥)(+g𝐸)(𝑡( ·𝑠𝐸)𝑦)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖𝐼 (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥𝑖)) + (𝑡 · (𝑦𝑖)))))
3130rabbidva 3484 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑃𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) → {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡)( ·𝑠𝐸)𝑥)(+g𝐸)(𝑡( ·𝑠𝐸)𝑦))} = {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖𝐼 (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥𝑖)) + (𝑡 · (𝑦𝑖)))})
3231mpoeq3dva 7225 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (𝑥𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡)( ·𝑠𝐸)𝑥)(+g𝐸)(𝑡( ·𝑠𝐸)𝑦))}) = (𝑥𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖𝐼 (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥𝑖)) + (𝑡 · (𝑦𝑖)))}))
336, 32eqtrd 2861 1 (𝐼 ∈ Fin → 𝐿 = (𝑥𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖𝐼 (𝑝𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥𝑖)) + (𝑡 · (𝑦𝑖)))}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∀wral 3143  ∃wrex 3144  {crab 3147   ∖ cdif 3937  {csn 4564  ‘cfv 6354  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152   ↑m cmap 8401  Fincfn 8503  ℝcr 10530  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   − cmin 10864  Basecbs 16478  +gcplusg 16560   ·𝑠 cvsca 16564  ℝ^crrx 23920  LineMcline 44616 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-rp 12385  df-fz 12888  df-seq 13365  df-exp 13425  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-grp 18051  df-minusg 18052  df-sbg 18053  df-subg 18221  df-ghm 18301  df-cmn 18844  df-mgp 19176  df-ur 19188  df-ring 19235  df-cring 19236  df-oppr 19309  df-dvdsr 19327  df-unit 19328  df-invr 19358  df-dvr 19369  df-rnghom 19403  df-drng 19440  df-field 19441  df-subrg 19469  df-staf 19552  df-srng 19553  df-lmod 19572  df-lss 19640  df-sra 19880  df-rgmod 19881  df-cnfld 20481  df-refld 20684  df-dsmm 20811  df-frlm 20826  df-tng 23128  df-tcph 23707  df-rrx 23922  df-line 44618 This theorem is referenced by:  eenglngeehlnm  44628
 Copyright terms: Public domain W3C validator