Theorem rrxlinesc 48656

Description: Definition of lines passing through two different points in a generalized real Euclidean space of finite dimension, expressed by their coordinates. (Contributed by AV, 13-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxlinesc.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrxlinesc.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrxlinesc.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
rrxlinesc	⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐿 = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))}))

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝,𝑡,𝑥,𝑦   𝑖,𝐼,𝑝,𝑡,𝑥,𝑦   𝑃,𝑖,𝑝,𝑡

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑖)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑡,𝑖,𝑝)

Proof of Theorem rrxlinesc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxlinesc.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
2		rrxlinesc.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
3		rrxlinesc.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐸) = ( ·𝑠 ‘𝐸)
5		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝐸) = (+g‘𝐸)
6	1, 2, 3, 4, 5	rrxlines 48654	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐿 = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡)( ·𝑠 ‘𝐸)𝑥)(+g‘𝐸)(𝑡( ·𝑠 ‘𝐸)𝑦))}))
7		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
8		simpll1 1213	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐼 ∈ Fin)
9		1red 11262	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
10		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
11	9, 10	resubcld 11691	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
12		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
13	12, 1, 7	rrxbasefi 25444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝐸) = (ℝ ↑m 𝐼))
14	2, 13	eqtr4id 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝑃 = (Base‘𝐸))
15	14	eleq2d 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝑃 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐸)))
16	15	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐸))
17	16	3adant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐸))
18	17	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐸))
19		eldifi 4131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) → 𝑦 ∈ 𝑃)
20	14	eleq2d 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑦 ∈ 𝑃 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐸)))
21	19, 20	imbitrid 244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐸)))
22	21	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝑃 → (𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐸))))
23	22	3imp 1111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐸))
24	23	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐸))
25	14	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) → 𝑃 = (Base‘𝐸))
26	25	eleq2d 2827	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) → (𝑝 ∈ 𝑃 ↔ 𝑝 ∈ (Base‘𝐸)))
27	26	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐸))
28	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐸))
29	1, 7, 4, 8, 11, 18, 24, 28, 5, 10	rrxplusgvscavalb 25429	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑝 = (((1 − 𝑡)( ·𝑠 ‘𝐸)𝑥)(+g‘𝐸)(𝑡( ·𝑠 ‘𝐸)𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))))
30	29	rexbidva 3177	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡)( ·𝑠 ‘𝐸)𝑥)(+g‘𝐸)(𝑡( ·𝑠 ‘𝐸)𝑦)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))))
31	30	rabbidva 3443	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡)( ·𝑠 ‘𝐸)𝑥)(+g‘𝐸)(𝑡( ·𝑠 ‘𝐸)𝑦))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))})
32	31	mpoeq3dva 7510	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡)( ·𝑠 ‘𝐸)𝑥)(+g‘𝐸)(𝑡( ·𝑠 ‘𝐸)𝑦))}) = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))}))
33	6, 32	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐿 = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3436   ∖ cdif 3948  {csn 4626  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433   ↑_m cmap 8866  Fincfn 8985  ℝcr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   − cmin 11492  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297   ·_𝑠 cvsca 17301  ℝ^crrx 25417  Line_Mcline 48648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-field 20732  df-staf 20840  df-srng 20841  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-cnfld 21365  df-refld 21623  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-tng 24597  df-tcph 25203  df-rrx 25419  df-line 48650

This theorem is referenced by:  eenglngeehlnm  48660