Theorem rrxlinesc 45969

Description: Definition of lines passing through two different points in a generalized real Euclidean space of finite dimension, expressed by their coordinates. (Contributed by AV, 13-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxlinesc.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
rrxlinesc.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrxlinesc.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
rrxlinesc	⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐿 = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))}))

Distinct variable groups:   𝐸,𝑝,𝑡,𝑥,𝑦   𝑖,𝐼,𝑝,𝑡,𝑥,𝑦   𝑃,𝑖,𝑝,𝑡

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑖)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑡,𝑖,𝑝)

Proof of Theorem rrxlinesc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxlinesc.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
2		rrxlinesc.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
3		rrxlinesc.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐸) = ( ·𝑠 ‘𝐸)
5		eqid 2738	. . 3 ⊢ (+g‘𝐸) = (+g‘𝐸)
6	1, 2, 3, 4, 5	rrxlines 45967	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐿 = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡)( ·𝑠 ‘𝐸)𝑥)(+g‘𝐸)(𝑡( ·𝑠 ‘𝐸)𝑦))}))
7		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
8		simpll1 1210	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐼 ∈ Fin)
9		1red 10907	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
10		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
11	9, 10	resubcld 11333	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (1 − 𝑡) ∈ ℝ)
12		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
13	12, 1, 7	rrxbasefi 24479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝐸) = (ℝ ↑m 𝐼))
14	2, 13	eqtr4id 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝑃 = (Base‘𝐸))
15	14	eleq2d 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝑃 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐸)))
16	15	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐸))
17	16	3adant3 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐸))
18	17	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐸))
19		eldifi 4057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) → 𝑦 ∈ 𝑃)
20	14	eleq2d 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑦 ∈ 𝑃 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐸)))
21	19, 20	syl5ib 243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐸)))
22	21	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝑃 → (𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐸))))
23	22	3imp 1109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐸))
24	23	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐸))
25	14	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) → 𝑃 = (Base‘𝐸))
26	25	eleq2d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) → (𝑝 ∈ 𝑃 ↔ 𝑝 ∈ (Base‘𝐸)))
27	26	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐸))
28	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐸))
29	1, 7, 4, 8, 11, 18, 24, 28, 5, 10	rrxplusgvscavalb 24464	. . . . 5 ⊢ ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑝 = (((1 − 𝑡)( ·𝑠 ‘𝐸)𝑥)(+g‘𝐸)(𝑡( ·𝑠 ‘𝐸)𝑦)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))))
30	29	rexbidva 3224	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡)( ·𝑠 ‘𝐸)𝑥)(+g‘𝐸)(𝑡( ·𝑠 ‘𝐸)𝑦)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))))
31	30	rabbidva 3402	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥})) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡)( ·𝑠 ‘𝐸)𝑥)(+g‘𝐸)(𝑡( ·𝑠 ‘𝐸)𝑦))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))})
32	31	mpoeq3dva 7330	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝑝 = (((1 − 𝑡)( ·𝑠 ‘𝐸)𝑥)(+g‘𝐸)(𝑡( ·𝑠 ‘𝐸)𝑦))}) = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))}))
33	6, 32	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐿 = (𝑥 ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 ∖ {𝑥}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑖 ∈ 𝐼 (𝑝‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑥‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑦‘𝑖)))}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  {crab 3067   ∖ cdif 3880  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691  ℝcr 10801  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   − cmin 11135  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888   ·_𝑠 cvsca 16892  ℝ^crrx 24452  Line_Mcline 45961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cmn 19303  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-rnghom 19874  df-drng 19908  df-field 19909  df-subrg 19937  df-staf 20020  df-srng 20021  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-cnfld 20511  df-refld 20722  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-tng 23646  df-tcph 24238  df-rrx 24454  df-line 45963

This theorem is referenced by:  eenglngeehlnm  45973