Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  djhexmid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djhexmid 40924
Description: Excluded middle property of DVecH vector space closed subspace join. (Contributed by NM, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
djhexmid.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
djhexmid.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
djhexmid.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
djhexmid.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
djhexmid.j ∨ = ((joinHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
djhexmid (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ (𝑋 ∨ ( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = 𝑉)

Proof of Theorem djhexmid
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simpr 483 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑉)
3 djhexmid.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 djhexmid.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 djhexmid.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
6 djhexmid.o . . . 4 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
73, 4, 5, 6dochssv 40868 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) βŠ† 𝑉)
8 djhexmid.j . . . 4 ∨ = ((joinHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
93, 4, 5, 6, 8djhval 40911 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 βŠ† 𝑉 ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) βŠ† 𝑉)) β†’ (𝑋 ∨ ( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)))))
101, 2, 7, 9syl12anc 835 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ (𝑋 ∨ ( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)))))
11 eqid 2728 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
123, 4, 5, 11, 6dochlss 40867 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
13 eqid 2728 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
143, 4, 11, 13, 6dochnoncon 40904 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹))) = {(0gβ€˜π‘ˆ)})
1512, 14syldan 589 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹))) = {(0gβ€˜π‘ˆ)})
163, 4, 6, 5, 13doch1 40872 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‰) = {(0gβ€˜π‘ˆ)})
1716adantr 479 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜π‘‰) = {(0gβ€˜π‘ˆ)})
1815, 17eqtr4d 2771 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ (( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹))) = ( βŠ₯ β€˜π‘‰))
1918fveq2d 6906 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜(( βŠ₯ β€˜π‘‹) ∩ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‹)))) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‰)))
20 eqid 2728 . . . . 5 ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
213, 20, 4, 5dih1rn 40800 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑉 ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
2221adantr 479 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ 𝑉 ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
233, 20, 6dochoc 40880 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‰)) = 𝑉)
2422, 23syldan 589 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‰)) = 𝑉)
2510, 19, 243eqtrd 2772 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† 𝑉) β†’ (𝑋 ∨ ( βŠ₯ β€˜π‘‹)) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  {csn 4632  ran crn 5683  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  0gc0g 17430  LSubSpclss 20829  HLchlt 38862  LHypclh 39497  DVecHcdvh 40591  DIsoHcdih 40741  ocHcoch 40860  joinHcdjh 40907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-riotaBAD 38465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-undef 8287  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-0g 17432  df-proset 18296  df-poset 18314  df-plt 18331  df-lub 18347  df-glb 18348  df-join 18349  df-meet 18350  df-p0 18426  df-p1 18427  df-lat 18433  df-clat 18500  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19092  df-cntz 19282  df-lsm 19605  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-drng 20640  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-lvec 21002  df-lsatoms 38488  df-oposet 38688  df-ol 38690  df-oml 38691  df-covers 38778  df-ats 38779  df-atl 38810  df-cvlat 38834  df-hlat 38863  df-llines 39011  df-lplanes 39012  df-lvols 39013  df-lines 39014  df-psubsp 39016  df-pmap 39017  df-padd 39309  df-lhyp 39501  df-laut 39502  df-ldil 39617  df-ltrn 39618  df-trl 39672  df-tendo 40268  df-edring 40270  df-disoa 40542  df-dvech 40592  df-dib 40652  df-dic 40686  df-dih 40742  df-doch 40861  df-djh 40908
This theorem is referenced by:  dochsatshp  40964
  Copyright terms: Public domain W3C validator