Theorem djhexmid 40277

Description: Excluded middle property of DVecH vector space closed subspace join. (Contributed by NM, 22-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
djhexmid.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
djhexmid.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
djhexmid.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
djhexmid.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
djhexmid.j	⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
djhexmid	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)

Proof of Theorem djhexmid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simpr 485	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
3		djhexmid.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		djhexmid.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		djhexmid.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		djhexmid.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	dochssv 40221	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
8		djhexmid.j	. . . 4 ⊢ ∨ = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
9	3, 4, 5, 6, 8	djhval 40264	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)) → (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑋)) = ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))))
10	1, 2, 7, 9	syl12anc 835	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑋)) = ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))))
11		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
12	3, 4, 5, 11, 6	dochlss 40220	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈))
13		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
14	3, 4, 11, 13, 6	dochnoncon 40257	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = {(0g‘𝑈)})
15	12, 14	syldan 591	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = {(0g‘𝑈)})
16	3, 4, 6, 5, 13	doch1 40225	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘𝑉) = {(0g‘𝑈)})
17	16	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑉) = {(0g‘𝑈)})
18	15, 17	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑉))
19	18	fveq2d 6895	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑉)))
20		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
21	3, 20, 4, 5	dih1rn 40153	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
22	21	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
23	3, 20, 6	dochoc 40233	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑉)) = 𝑉)
24	22, 23	syldan 591	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑉)) = 𝑉)
25	10, 19, 24	3eqtrd 2776	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → (𝑋 ∨ ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  {csn 4628  ran crn 5677  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  0_gc0g 17384  LSubSpclss 20541  HLchlt 38215  LHypclh 38850  DVecHcdvh 39944  DIsoHcdih 40094  ocHcoch 40213  joinHcdjh 40260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 37818

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-undef 8257  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17386  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-cntz 19180  df-lsm 19503  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-lvec 20713  df-lsatoms 37841  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365  df-lvols 38366  df-lines 38367  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025  df-tendo 39621  df-edring 39623  df-disoa 39895  df-dvech 39945  df-dib 40005  df-dic 40039  df-dih 40095  df-doch 40214  df-djh 40261

This theorem is referenced by:  dochsatshp  40317