Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  djhexmid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem djhexmid 40598
Description: Excluded middle property of DVecH vector space closed subspace join. (Contributed by NM, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
djhexmid.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
djhexmid.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
djhexmid.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
djhexmid.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
djhexmid.j = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
djhexmid (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋 ( 𝑋)) = 𝑉)

Proof of Theorem djhexmid
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simpr 484 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
3 djhexmid.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 djhexmid.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 djhexmid.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
6 djhexmid.o . . . 4 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
73, 4, 5, 6dochssv 40542 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ( 𝑋) ⊆ 𝑉)
8 djhexmid.j . . . 4 = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
93, 4, 5, 6, 8djhval 40585 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝑉 ∧ ( 𝑋) ⊆ 𝑉)) → (𝑋 ( 𝑋)) = ( ‘(( 𝑋) ∩ ( ‘( 𝑋)))))
101, 2, 7, 9syl12anc 834 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋 ( 𝑋)) = ( ‘(( 𝑋) ∩ ( ‘( 𝑋)))))
11 eqid 2731 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
123, 4, 5, 11, 6dochlss 40541 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ( 𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈))
13 eqid 2731 . . . . . 6 (0g𝑈) = (0g𝑈)
143, 4, 11, 13, 6dochnoncon 40578 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → (( 𝑋) ∩ ( ‘( 𝑋))) = {(0g𝑈)})
1512, 14syldan 590 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (( 𝑋) ∩ ( ‘( 𝑋))) = {(0g𝑈)})
163, 4, 6, 5, 13doch1 40546 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( 𝑉) = {(0g𝑈)})
1716adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ( 𝑉) = {(0g𝑈)})
1815, 17eqtr4d 2774 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (( 𝑋) ∩ ( ‘( 𝑋))) = ( 𝑉))
1918fveq2d 6895 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ( ‘(( 𝑋) ∩ ( ‘( 𝑋)))) = ( ‘( 𝑉)))
20 eqid 2731 . . . . 5 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
213, 20, 4, 5dih1rn 40474 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
2221adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
233, 20, 6dochoc 40554 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ‘( 𝑉)) = 𝑉)
2422, 23syldan 590 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ( ‘( 𝑉)) = 𝑉)
2510, 19, 243eqtrd 2775 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋 ( 𝑋)) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  cin 3947  wss 3948  {csn 4628  ran crn 5677  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  0gc0g 17392  LSubSpclss 20690  HLchlt 38536  LHypclh 39171  DVecHcdvh 40265  DIsoHcdih 40415  ocHcoch 40534  joinHcdjh 40581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-riotaBAD 38139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-undef 8264  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-0g 17394  df-proset 18255  df-poset 18273  df-plt 18290  df-lub 18306  df-glb 18307  df-join 18308  df-meet 18309  df-p0 18385  df-p1 18386  df-lat 18392  df-clat 18459  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-submnd 18709  df-grp 18861  df-minusg 18862  df-sbg 18863  df-subg 19043  df-cntz 19226  df-lsm 19549  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20033  df-rng 20051  df-ur 20080  df-ring 20133  df-oppr 20229  df-dvdsr 20252  df-unit 20253  df-invr 20283  df-dvr 20296  df-drng 20506  df-lmod 20620  df-lss 20691  df-lsp 20731  df-lvec 20862  df-lsatoms 38162  df-oposet 38362  df-ol 38364  df-oml 38365  df-covers 38452  df-ats 38453  df-atl 38484  df-cvlat 38508  df-hlat 38537  df-llines 38685  df-lplanes 38686  df-lvols 38687  df-lines 38688  df-psubsp 38690  df-pmap 38691  df-padd 38983  df-lhyp 39175  df-laut 39176  df-ldil 39291  df-ltrn 39292  df-trl 39346  df-tendo 39942  df-edring 39944  df-disoa 40216  df-dvech 40266  df-dib 40326  df-dic 40360  df-dih 40416  df-doch 40535  df-djh 40582
This theorem is referenced by:  dochsatshp  40638
  Copyright terms: Public domain W3C validator