Theorem dihjat3 39132

Description: Isomorphism H of lattice join with an atom. (Contributed by NM, 25-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihjat3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihjat3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjat3.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dihjat3.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihjat3.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat3.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihjat3.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat3.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihjat3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
dihjat3.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
dihjat3	⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑋 ∨ 𝑃)) = ((𝐼‘𝑋) ⊕ (𝐼‘𝑃)))

Proof of Theorem dihjat3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihjat3.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dihjat3.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		dihjat3.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
4		dihjat3.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		dihjat3.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	4, 5	atbase 36989	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
8		dihjat3.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9		dihjat3.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10		dihjat3.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
11		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ((joinH‘𝐾)‘𝑊) = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
12	4, 8, 9, 10, 11	djhlj 39101	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵)) → (𝐼‘(𝑋 ∨ 𝑃)) = ((𝐼‘𝑋)((joinH‘𝐾)‘𝑊)(𝐼‘𝑃)))
13	1, 2, 7, 12	syl12anc 837	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑋 ∨ 𝑃)) = ((𝐼‘𝑋)((joinH‘𝐾)‘𝑊)(𝐼‘𝑃)))
14		dihjat3.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
15		dihjat3.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
16		eqid 2736	. . 3 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
17	4, 9, 10	dihcl 38970	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
18	1, 2, 17	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
19	5, 9, 14, 10, 16	dihatlat 39034	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐼‘𝑃) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
20	1, 3, 19	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑃) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
21	9, 10, 11, 14, 15, 16, 1, 18, 20	dihjat2 39131	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑋)((joinH‘𝐾)‘𝑊)(𝐼‘𝑃)) = ((𝐼‘𝑋) ⊕ (𝐼‘𝑃)))
22	13, 21	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑋 ∨ 𝑃)) = ((𝐼‘𝑋) ⊕ (𝐼‘𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ran crn 5537  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  Basecbs 16666  joincjn 17772  LSSumclsm 18977  LSAtomsclsa 36674  Atomscatm 36963  HLchlt 37050  LHypclh 37684  DVecHcdvh 38778  DIsoHcdih 38928  joinHcdjh 39094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-riotaBAD 36653

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-iin 4893  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-tpos 7946  df-undef 7993  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-map 8488  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-fz 13061  df-struct 16668  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674  df-plusg 16762  df-mulr 16763  df-sca 16765  df-vsca 16766  df-0g 16900  df-proset 17756  df-poset 17774  df-plt 17790  df-lub 17806  df-glb 17807  df-join 17808  df-meet 17809  df-p0 17885  df-p1 17886  df-lat 17892  df-clat 17959  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-submnd 18173  df-grp 18322  df-minusg 18323  df-sbg 18324  df-subg 18494  df-cntz 18665  df-lsm 18979  df-cmn 19126  df-abl 19127  df-mgp 19459  df-ur 19471  df-ring 19518  df-oppr 19595  df-dvdsr 19613  df-unit 19614  df-invr 19644  df-dvr 19655  df-drng 19723  df-lmod 19855  df-lss 19923  df-lsp 19963  df-lvec 20094  df-lsatoms 36676  df-oposet 36876  df-ol 36878  df-oml 36879  df-covers 36966  df-ats 36967  df-atl 36998  df-cvlat 37022  df-hlat 37051  df-llines 37198  df-lplanes 37199  df-lvols 37200  df-lines 37201  df-psubsp 37203  df-pmap 37204  df-padd 37496  df-lhyp 37688  df-laut 37689  df-ldil 37804  df-ltrn 37805  df-trl 37859  df-tgrp 38443  df-tendo 38455  df-edring 38457  df-dveca 38703  df-disoa 38729  df-dvech 38779  df-dib 38839  df-dic 38873  df-dih 38929  df-doch 39048  df-djh 39095

This theorem is referenced by:  dihjat4  39133  dihjat5N  39137