Theorem dihjat4 38125

Description: Transfer the subspace sum of a closed subspace and an atom back to lattice join. (Contributed by NM, 25-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihjat4.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dihjat4.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjat4.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat4.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat4.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihjat4.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dihjat4.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihjat4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihjat4.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
dihjat4	⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ 𝑄) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄))))

Proof of Theorem dihjat4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2795	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		dihjat4.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dihjat4.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		eqid 2795	. . 3 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5		dihjat4.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		dihjat4.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
7		dihjat4.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
8		dihjat4.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		dihjat4.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
10	1, 2, 7	dihcnvcl 37963	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
11	8, 9, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
12		dihjat4.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
13		dihjat4.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
14	4, 2, 5, 7, 13	dihlatat 38029	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (◡𝐼‘𝑄) ∈ (Atoms‘𝐾))
15	8, 12, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑄) ∈ (Atoms‘𝐾))
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 15	dihjat3 38124	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄))) = ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ⊕ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑄))))
17	2, 7	dihcnvid2 37965	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
18	8, 9, 17	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
19	2, 5, 7, 13	dih1dimat 38022	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ ran 𝐼)
20	8, 12, 19	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ran 𝐼)
21	2, 7	dihcnvid2 37965	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑄)) = 𝑄)
22	8, 20, 21	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑄)) = 𝑄)
23	18, 22	oveq12d 7039	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ⊕ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑄))) = (𝑋 ⊕ 𝑄))
24	16, 23	eqtr2d 2832	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ 𝑄) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ^◡ccnv 5447  ran crn 5449  ‘cfv 6230  (class class class)co 7021  Basecbs 16317  joincjn 17388  LSSumclsm 18494  LSAtomsclsa 35666  Atomscatm 35955  HLchlt 36042  LHypclh 36676  DVecHcdvh 37770  DIsoHcdih 37920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465  ax-riotaBAD 35645

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-iin 4832  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-tpos 7748  df-undef 7795  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-oadd 7962  df-er 8144  df-map 8263  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-2 11553  df-3 11554  df-4 11555  df-5 11556  df-6 11557  df-n0 11751  df-z 11835  df-uz 12099  df-fz 12748  df-struct 16319  df-ndx 16320  df-slot 16321  df-base 16323  df-sets 16324  df-ress 16325  df-plusg 16412  df-mulr 16413  df-sca 16415  df-vsca 16416  df-0g 16549  df-proset 17372  df-poset 17390  df-plt 17402  df-lub 17418  df-glb 17419  df-join 17420  df-meet 17421  df-p0 17483  df-p1 17484  df-lat 17490  df-clat 17552  df-mgm 17686  df-sgrp 17728  df-mnd 17739  df-submnd 17780  df-grp 17869  df-minusg 17870  df-sbg 17871  df-subg 18035  df-cntz 18193  df-lsm 18496  df-cmn 18640  df-abl 18641  df-mgp 18935  df-ur 18947  df-ring 18994  df-oppr 19068  df-dvdsr 19086  df-unit 19087  df-invr 19117  df-dvr 19128  df-drng 19199  df-lmod 19331  df-lss 19399  df-lsp 19439  df-lvec 19570  df-lsatoms 35668  df-oposet 35868  df-ol 35870  df-oml 35871  df-covers 35958  df-ats 35959  df-atl 35990  df-cvlat 36014  df-hlat 36043  df-llines 36190  df-lplanes 36191  df-lvols 36192  df-lines 36193  df-psubsp 36195  df-pmap 36196  df-padd 36488  df-lhyp 36680  df-laut 36681  df-ldil 36796  df-ltrn 36797  df-trl 36851  df-tgrp 37435  df-tendo 37447  df-edring 37449  df-dveca 37695  df-disoa 37721  df-dvech 37771  df-dib 37831  df-dic 37865  df-dih 37921  df-doch 38040  df-djh 38087

This theorem is referenced by:  dihjat6  38126  dvh4dimat  38130