Theorem dihjat4 42240

Description: Transfer the subspace sum of a closed subspace and an atom back to lattice join. (Contributed by NM, 25-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihjat4.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dihjat4.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjat4.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat4.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat4.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihjat4.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dihjat4.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihjat4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihjat4.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
dihjat4	⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ 𝑄) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄))))

Proof of Theorem dihjat4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		dihjat4.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dihjat4.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		eqid 2766	. . 3 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5		dihjat4.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		dihjat4.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
7		dihjat4.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
8		dihjat4.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		dihjat4.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
10	1, 2, 7	dihcnvcl 42078	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
11	8, 9, 10	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
12		dihjat4.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
13		dihjat4.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
14	4, 2, 5, 7, 13	dihlatat 42144	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (◡𝐼‘𝑄) ∈ (Atoms‘𝐾))
15	8, 12, 14	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑄) ∈ (Atoms‘𝐾))
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 15	dihjat3 42239	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄))) = ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ⊕ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑄))))
17	2, 7	dihcnvid2 42080	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
18	8, 9, 17	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
19	2, 5, 7, 13	dih1dimat 42137	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ ran 𝐼)
20	8, 12, 19	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ran 𝐼)
21	2, 7	dihcnvid2 42080	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑄)) = 𝑄)
22	8, 20, 21	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑄)) = 𝑄)
23	18, 22	oveq12d 7441	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ⊕ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑄))) = (𝑋 ⊕ 𝑄))
24	16, 23	eqtr2d 2802	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ 𝑄) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ^◡ccnv 5665  ran crn 5667  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  joincjn 18392  LSSumclsm 19729  LSAtomsclsa 39781  Atomscatm 40070  HLchlt 40157  LHypclh 40791  DVecHcdvh 41885  DIsoHcdih 42035

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-riotaBAD 39760

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-undef 8278  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-0g 17519  df-proset 18375  df-poset 18394  df-plt 18409  df-lub 18425  df-glb 18426  df-join 18427  df-meet 18428  df-p0 18504  df-p1 18505  df-lat 18513  df-clat 18580  df-mgm 18723  df-sgrp 18802  df-mnd 18818  df-submnd 18867  df-grp 19028  df-minusg 19029  df-sbg 19030  df-subg 19214  df-cntz 19412  df-lsm 19731  df-cmn 19877  df-abl 19878  df-mgp 20242  df-rng 20256  df-ur 20289  df-ring 20342  df-oppr 20445  df-dvdsr 20465  df-unit 20466  df-invr 20496  df-dvr 20509  df-drng 20859  df-lmod 21013  df-lss 21083  df-lsp 21123  df-lvec 21254  df-lsatoms 39783  df-oposet 39983  df-ol 39985  df-oml 39986  df-covers 40073  df-ats 40074  df-atl 40105  df-cvlat 40129  df-hlat 40158  df-llines 40305  df-lplanes 40306  df-lvols 40307  df-lines 40308  df-psubsp 40310  df-pmap 40311  df-padd 40603  df-lhyp 40795  df-laut 40796  df-ldil 40911  df-ltrn 40912  df-trl 40966  df-tgrp 41550  df-tendo 41562  df-edring 41564  df-dveca 41810  df-disoa 41836  df-dvech 41886  df-dib 41946  df-dic 41980  df-dih 42036  df-doch 42155  df-djh 42202

This theorem is used by:  dihjat6  42241  dvh4dimat  42245