Theorem dihjat4 42175

Description: Transfer the subspace sum of a closed subspace and an atom back to lattice join. (Contributed by NM, 25-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihjat4.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dihjat4.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjat4.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat4.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat4.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihjat4.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dihjat4.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihjat4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihjat4.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
dihjat4	⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ 𝑄) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄))))

Proof of Theorem dihjat4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		dihjat4.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dihjat4.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
5		dihjat4.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		dihjat4.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
7		dihjat4.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
8		dihjat4.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		dihjat4.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
10	1, 2, 7	dihcnvcl 42013	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
11	8, 9, 10	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
12		dihjat4.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
13		dihjat4.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
14	4, 2, 5, 7, 13	dihlatat 42079	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (◡𝐼‘𝑄) ∈ (Atoms‘𝐾))
15	8, 12, 14	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑄) ∈ (Atoms‘𝐾))
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 15	dihjat3 42174	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄))) = ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ⊕ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑄))))
17	2, 7	dihcnvid2 42015	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
18	8, 9, 17	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
19	2, 5, 7, 13	dih1dimat 42072	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ ran 𝐼)
20	8, 12, 19	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ran 𝐼)
21	2, 7	dihcnvid2 42015	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑄)) = 𝑄)
22	8, 20, 21	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑄)) = 𝑄)
23	18, 22	oveq12d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ⊕ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑄))) = (𝑋 ⊕ 𝑄))
24	16, 23	eqtr2d 2797	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ 𝑄) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ^◡ccnv 5660  ran crn 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17268  joincjn 18366  LSSumclsm 19703  LSAtomsclsa 39716  Atomscatm 40005  HLchlt 40092  LHypclh 40726  DVecHcdvh 41820  DIsoHcdih 41970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-riotaBAD 39695

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8221  df-undef 8268  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-0g 17493  df-proset 18349  df-poset 18368  df-plt 18383  df-lub 18399  df-glb 18400  df-join 18401  df-meet 18402  df-p0 18478  df-p1 18479  df-lat 18487  df-clat 18554  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-subg 19188  df-cntz 19386  df-lsm 19705  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-invr 20469  df-dvr 20482  df-drng 20814  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-lsp 21072  df-lvec 21203  df-lsatoms 39718  df-oposet 39918  df-ol 39920  df-oml 39921  df-covers 40008  df-ats 40009  df-atl 40040  df-cvlat 40064  df-hlat 40093  df-llines 40240  df-lplanes 40241  df-lvols 40242  df-lines 40243  df-psubsp 40245  df-pmap 40246  df-padd 40538  df-lhyp 40730  df-laut 40731  df-ldil 40846  df-ltrn 40847  df-trl 40901  df-tgrp 41485  df-tendo 41497  df-edring 41499  df-dveca 41745  df-disoa 41771  df-dvech 41821  df-dib 41881  df-dic 41915  df-dih 41971  df-doch 42090  df-djh 42137

This theorem is referenced by:  dihjat6  42176  dvh4dimat  42180