Theorem dihjat6 42294

Description: Transfer the subspace sum of a closed subspace and an atom back to lattice join. (Contributed by NM, 25-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihjat6.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dihjat6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjat6.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat6.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat6.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihjat6.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dihjat6.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihjat6.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihjat6.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
dihjat6	⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑋 ⊕ 𝑄)) = ((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)))

Proof of Theorem dihjat6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihjat6.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2		dihjat6.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dihjat6.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		dihjat6.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dihjat6.s	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
6		dihjat6.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
7		dihjat6.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		dihjat6.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
9		dihjat6.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	dihjat4 42293	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ 𝑄) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄))))
11	10	fveq2d 6886	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑋 ⊕ 𝑄)) = (◡𝐼‘(𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)))))
12	7	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
13	12	hllatd 40224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
14		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
15	14, 2, 3	dihcnvcl 42131	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
16	7, 8, 15	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
17	2, 4, 3, 6	dih1dimat 42190	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ ran 𝐼)
18	7, 9, 17	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ran 𝐼)
19	14, 2, 3	dihcnvcl 42131	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
20	7, 18, 19	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
21	14, 1	latjcl 18531	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → ((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))
22	13, 16, 20, 21	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))
23	14, 2, 3	dihcnvid1 42132	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)) ∈ (Base‘𝐾)) → (◡𝐼‘(𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)))) = ((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)))
24	7, 22, 23	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)))) = ((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)))
25	11, 24	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑋 ⊕ 𝑄)) = ((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ^◡ccnv 5658  ran crn 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  joincjn 18403  Latclat 18523  LSSumclsm 19762  LSAtomsclsa 39834  HLchlt 40210  LHypclh 40844  DVecHcdvh 41938  DIsoHcdih 42088

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-riotaBAD 39813

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-undef 8274  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-0g 17530  df-proset 18386  df-poset 18405  df-plt 18420  df-lub 18436  df-glb 18437  df-join 18438  df-meet 18439  df-p0 18515  df-p1 18516  df-lat 18524  df-clat 18591  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-subg 19247  df-cntz 19445  df-lsm 19764  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-dvr 20543  df-drng 20893  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-lvec 21288  df-lsatoms 39836  df-oposet 40036  df-ol 40038  df-oml 40039  df-covers 40126  df-ats 40127  df-atl 40158  df-cvlat 40182  df-hlat 40211  df-llines 40358  df-lplanes 40359  df-lvols 40360  df-lines 40361  df-psubsp 40363  df-pmap 40364  df-padd 40656  df-lhyp 40848  df-laut 40849  df-ldil 40964  df-ltrn 40965  df-trl 41019  df-tgrp 41603  df-tendo 41615  df-edring 41617  df-dveca 41863  df-disoa 41889  df-dvech 41939  df-dib 41999  df-dic 42033  df-dih 42089  df-doch 42208  df-djh 42255

This theorem is used by:  dvh4dimat  42298