Theorem dihjat6 40608

Description: Transfer the subspace sum of a closed subspace and an atom back to lattice join. (Contributed by NM, 25-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihjat6.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dihjat6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjat6.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat6.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat6.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihjat6.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dihjat6.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihjat6.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihjat6.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
dihjat6	⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑋 ⊕ 𝑄)) = ((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)))

Proof of Theorem dihjat6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihjat6.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2		dihjat6.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dihjat6.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		dihjat6.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dihjat6.s	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
6		dihjat6.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
7		dihjat6.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		dihjat6.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
9		dihjat6.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	dihjat4 40607	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ 𝑄) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄))))
11	10	fveq2d 6895	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑋 ⊕ 𝑄)) = (◡𝐼‘(𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)))))
12	7	simpld 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
13	12	hllatd 38537	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
14		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
15	14, 2, 3	dihcnvcl 40445	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
16	7, 8, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
17	2, 4, 3, 6	dih1dimat 40504	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ ran 𝐼)
18	7, 9, 17	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ran 𝐼)
19	14, 2, 3	dihcnvcl 40445	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
20	7, 18, 19	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
21	14, 1	latjcl 18396	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → ((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))
22	13, 16, 20, 21	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))
23	14, 2, 3	dihcnvid1 40446	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)) ∈ (Base‘𝐾)) → (◡𝐼‘(𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)))) = ((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)))
24	7, 22, 23	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)))) = ((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)))
25	11, 24	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑋 ⊕ 𝑄)) = ((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ^◡ccnv 5675  ran crn 5677  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  joincjn 18268  Latclat 18388  LSSumclsm 19543  LSAtomsclsa 38147  HLchlt 38523  LHypclh 39158  DVecHcdvh 40252  DIsoHcdih 40402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38126

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-0g 17391  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858  df-lsatoms 38149  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333  df-tgrp 39917  df-tendo 39929  df-edring 39931  df-dveca 40177  df-disoa 40203  df-dvech 40253  df-dib 40313  df-dic 40347  df-dih 40403  df-doch 40522  df-djh 40569

This theorem is referenced by:  dvh4dimat  40612