Theorem dihjat6 40902

Description: Transfer the subspace sum of a closed subspace and an atom back to lattice join. (Contributed by NM, 25-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihjat6.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dihjat6.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihjat6.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat6.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihjat6.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihjat6.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dihjat6.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihjat6.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihjat6.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
dihjat6	⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑋 ⊕ 𝑄)) = ((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)))

Proof of Theorem dihjat6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihjat6.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2		dihjat6.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dihjat6.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		dihjat6.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dihjat6.s	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
6		dihjat6.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
7		dihjat6.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		dihjat6.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
9		dihjat6.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	dihjat4 40901	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ 𝑄) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄))))
11	10	fveq2d 6896	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑋 ⊕ 𝑄)) = (◡𝐼‘(𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)))))
12	7	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
13	12	hllatd 38831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
14		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
15	14, 2, 3	dihcnvcl 40739	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
16	7, 8, 15	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
17	2, 4, 3, 6	dih1dimat 40798	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ ran 𝐼)
18	7, 9, 17	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ran 𝐼)
19	14, 2, 3	dihcnvcl 40739	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
20	7, 18, 19	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
21	14, 1	latjcl 18425	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → ((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))
22	13, 16, 20, 21	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)) ∈ (Base‘𝐾))
23	14, 2, 3	dihcnvid1 40740	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)) ∈ (Base‘𝐾)) → (◡𝐼‘(𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)))) = ((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)))
24	7, 22, 23	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)))) = ((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)))
25	11, 24	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑋 ⊕ 𝑄)) = ((◡𝐼‘𝑋) ∨ (◡𝐼‘𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ^◡ccnv 5672  ran crn 5674  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415  Basecbs 17174  joincjn 18297  Latclat 18417  LSSumclsm 19583  LSAtomsclsa 38441  HLchlt 38817  LHypclh 39452  DVecHcdvh 40546  DIsoHcdih 40696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-riotaBAD 38420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8226  df-undef 8273  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-map 8841  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-0g 17417  df-proset 18281  df-poset 18299  df-plt 18316  df-lub 18332  df-glb 18333  df-join 18334  df-meet 18335  df-p0 18411  df-p1 18412  df-lat 18418  df-clat 18485  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-sbg 18889  df-subg 19072  df-cntz 19262  df-lsm 19585  df-cmn 19731  df-abl 19732  df-mgp 20069  df-rng 20087  df-ur 20116  df-ring 20169  df-oppr 20267  df-dvdsr 20290  df-unit 20291  df-invr 20321  df-dvr 20334  df-drng 20620  df-lmod 20739  df-lss 20810  df-lsp 20850  df-lvec 20982  df-lsatoms 38443  df-oposet 38643  df-ol 38645  df-oml 38646  df-covers 38733  df-ats 38734  df-atl 38765  df-cvlat 38789  df-hlat 38818  df-llines 38966  df-lplanes 38967  df-lvols 38968  df-lines 38969  df-psubsp 38971  df-pmap 38972  df-padd 39264  df-lhyp 39456  df-laut 39457  df-ldil 39572  df-ltrn 39573  df-trl 39627  df-tgrp 40211  df-tendo 40223  df-edring 40225  df-dveca 40471  df-disoa 40497  df-dvech 40547  df-dib 40607  df-dic 40641  df-dih 40697  df-doch 40816  df-djh 40863

This theorem is referenced by:  dvh4dimat  40906