Theorem dihsmsnrn 41544

Description: The subspace sum of two singleton spans is closed. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihsmsnrn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihsmsnrn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihsmsnrn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihsmsnrn.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihsmsnrn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihsmsnrn.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihsmsnrn.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihsmsnrn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
dihsmsnrn.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dihsmsnrn	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dihsmsnrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihsmsnrn.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dihsmsnrn.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dihsmsnrn.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		dihsmsnrn.p	. 2 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
5		dihsmsnrn.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
6		dihsmsnrn.i	. 2 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
7		dihsmsnrn.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		dihsmsnrn.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9	1, 2, 3, 5, 6	dihlsprn 41440	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
10	7, 8, 9	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
11		dihsmsnrn.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11	dihsmsprn 41539	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4577  ran crn 5622  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17130  LSSumclsm 19556  LSpanclspn 20914  HLchlt 39459  LHypclh 40093  DVecHcdvh 41187  DIsoHcdih 41337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-riotaBAD 39062

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-tpos 8165  df-undef 8212  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-fz 13418  df-struct 17068  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-mulr 17185  df-sca 17187  df-vsca 17188  df-0g 17355  df-proset 18210  df-poset 18229  df-plt 18244  df-lub 18260  df-glb 18261  df-join 18262  df-meet 18263  df-p0 18339  df-p1 18340  df-lat 18348  df-clat 18415  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-submnd 18702  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19046  df-cntz 19239  df-lsm 19558  df-cmn 19704  df-abl 19705  df-mgp 20069  df-rng 20081  df-ur 20110  df-ring 20163  df-oppr 20265  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-drng 20656  df-lmod 20805  df-lss 20875  df-lsp 20915  df-lvec 21047  df-lsatoms 39085  df-oposet 39285  df-ol 39287  df-oml 39288  df-covers 39375  df-ats 39376  df-atl 39407  df-cvlat 39431  df-hlat 39460  df-llines 39607  df-lplanes 39608  df-lvols 39609  df-lines 39610  df-psubsp 39612  df-pmap 39613  df-padd 39905  df-lhyp 40097  df-laut 40098  df-ldil 40213  df-ltrn 40214  df-trl 40268  df-tgrp 40852  df-tendo 40864  df-edring 40866  df-dveca 41112  df-disoa 41138  df-dvech 41188  df-dib 41248  df-dic 41282  df-dih 41338  df-doch 41457  df-djh 41504

This theorem is referenced by:  lcfrlem23  41674