Theorem dihsmsprn 39749

Description: Subspace sum of a closed subspace and the span of a singleton. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihsmsprn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihsmsprn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihsmsprn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihsmsprn.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihsmsprn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihsmsprn.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihsmsprn.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihsmsprn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihsmsprn.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dihsmsprn	⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dihsmsprn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihsmsprn.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dihsmsprn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dihsmsprn.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		dihsmsprn.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
5		dihsmsprn.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
6		dihsmsprn.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((joinH‘𝐾)‘𝑊) = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
8		dihsmsprn.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		dihsmsprn.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
10		dihsmsprn.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	dihjat1 39748	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋((joinH‘𝐾)‘𝑊)(𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
12	1, 2, 6, 3	dihrnss 39597	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
13	8, 9, 12	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
14	1, 2, 8	dvhlmod 39429	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
15	10	snssd 4760	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑇} ⊆ 𝑉)
16	3, 5	lspssv 20350	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑇} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ 𝑉)
17	14, 15, 16	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ 𝑉)
18	1, 6, 2, 3, 7	djhcl 39719	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑇}) ⊆ 𝑉)) → (𝑋((joinH‘𝐾)‘𝑊)(𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼)
19	8, 13, 17, 18	syl12anc 835	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋((joinH‘𝐾)‘𝑊)(𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼)
20	11, 19	eqeltrrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3901  {csn 4577  ran crn 5625  ‘cfv 6483  (class class class)co 7341  Basecbs 17009  LSSumclsm 19335  LModclmod 20228  LSpanclspn 20338  HLchlt 37668  LHypclh 38303  DVecHcdvh 39397  DIsoHcdih 39547  joinHcdjh 39713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053  ax-riotaBAD 37271

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4857  df-int 4899  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-tpos 8116  df-undef 8163  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-er 8573  df-map 8692  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-4 12143  df-5 12144  df-6 12145  df-n0 12339  df-z 12425  df-uz 12688  df-fz 13345  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-0g 17249  df-proset 18110  df-poset 18128  df-plt 18145  df-lub 18161  df-glb 18162  df-join 18163  df-meet 18164  df-p0 18240  df-p1 18241  df-lat 18247  df-clat 18314  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-sbg 18678  df-subg 18848  df-cntz 19019  df-lsm 19337  df-cmn 19483  df-abl 19484  df-mgp 19815  df-ur 19832  df-ring 19879  df-oppr 19956  df-dvdsr 19977  df-unit 19978  df-invr 20008  df-dvr 20019  df-drng 20094  df-lmod 20230  df-lss 20299  df-lsp 20339  df-lvec 20470  df-lsatoms 37294  df-oposet 37494  df-ol 37496  df-oml 37497  df-covers 37584  df-ats 37585  df-atl 37616  df-cvlat 37640  df-hlat 37669  df-llines 37817  df-lplanes 37818  df-lvols 37819  df-lines 37820  df-psubsp 37822  df-pmap 37823  df-padd 38115  df-lhyp 38307  df-laut 38308  df-ldil 38423  df-ltrn 38424  df-trl 38478  df-tgrp 39062  df-tendo 39074  df-edring 39076  df-dveca 39322  df-disoa 39348  df-dvech 39398  df-dib 39458  df-dic 39492  df-dih 39548  df-doch 39667  df-djh 39714

This theorem is referenced by:  dihsmsnrn  39754  lclkrlem2d  39829