Theorem dihsmsprn 37593

Description: Subspace sum of a closed subspace and the span of a singleton. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihsmsprn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihsmsprn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihsmsprn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihsmsprn.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihsmsprn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihsmsprn.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihsmsprn.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihsmsprn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihsmsprn.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dihsmsprn	⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dihsmsprn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihsmsprn.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dihsmsprn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dihsmsprn.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		dihsmsprn.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
5		dihsmsprn.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
6		dihsmsprn.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2778	. . 3 ⊢ ((joinH‘𝐾)‘𝑊) = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
8		dihsmsprn.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		dihsmsprn.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
10		dihsmsprn.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	dihjat1 37592	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋((joinH‘𝐾)‘𝑊)(𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
12	1, 2, 6, 3	dihrnss 37441	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
13	8, 9, 12	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
14	1, 2, 8	dvhlmod 37273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
15	10	snssd 4573	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑇} ⊆ 𝑉)
16	3, 5	lspssv 19389	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑇} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ 𝑉)
17	14, 15, 16	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ 𝑉)
18	1, 6, 2, 3, 7	djhcl 37563	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑇}) ⊆ 𝑉)) → (𝑋((joinH‘𝐾)‘𝑊)(𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼)
19	8, 13, 17, 18	syl12anc 827	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋((joinH‘𝐾)‘𝑊)(𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼)
20	11, 19	eqeltrrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3792  {csn 4398  ran crn 5358  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16266  LSSumclsm 18444  LModclmod 19266  LSpanclspn 19377  HLchlt 35513  LHypclh 36147  DVecHcdvh 37241  DIsoHcdih 37391  joinHcdjh 37557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-riotaBAD 35116

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-tpos 7636  df-undef 7683  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-0g 16499  df-proset 17325  df-poset 17343  df-plt 17355  df-lub 17371  df-glb 17372  df-join 17373  df-meet 17374  df-p0 17436  df-p1 17437  df-lat 17443  df-clat 17505  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-submnd 17733  df-grp 17823  df-minusg 17824  df-sbg 17825  df-subg 17986  df-cntz 18144  df-lsm 18446  df-cmn 18592  df-abl 18593  df-mgp 18888  df-ur 18900  df-ring 18947  df-oppr 19021  df-dvdsr 19039  df-unit 19040  df-invr 19070  df-dvr 19081  df-drng 19152  df-lmod 19268  df-lss 19336  df-lsp 19378  df-lvec 19509  df-lsatoms 35139  df-oposet 35339  df-ol 35341  df-oml 35342  df-covers 35429  df-ats 35430  df-atl 35461  df-cvlat 35485  df-hlat 35514  df-llines 35661  df-lplanes 35662  df-lvols 35663  df-lines 35664  df-psubsp 35666  df-pmap 35667  df-padd 35959  df-lhyp 36151  df-laut 36152  df-ldil 36267  df-ltrn 36268  df-trl 36322  df-tgrp 36906  df-tendo 36918  df-edring 36920  df-dveca 37166  df-disoa 37192  df-dvech 37242  df-dib 37302  df-dic 37336  df-dih 37392  df-doch 37511  df-djh 37558

This theorem is referenced by:  dihsmsnrn  37598  lclkrlem2d  37673