Theorem dihsmsprn 41053

Description: Subspace sum of a closed subspace and the span of a singleton. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihsmsprn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihsmsprn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihsmsprn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihsmsprn.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihsmsprn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihsmsprn.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihsmsprn.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihsmsprn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihsmsprn.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dihsmsprn	⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dihsmsprn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihsmsprn.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dihsmsprn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dihsmsprn.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		dihsmsprn.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
5		dihsmsprn.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
6		dihsmsprn.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2725	. . 3 ⊢ ((joinH‘𝐾)‘𝑊) = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
8		dihsmsprn.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		dihsmsprn.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
10		dihsmsprn.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	dihjat1 41052	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋((joinH‘𝐾)‘𝑊)(𝑁‘{𝑇})) = (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})))
12	1, 2, 6, 3	dihrnss 40901	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
13	8, 9, 12	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
14	1, 2, 8	dvhlmod 40733	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
15	10	snssd 4814	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑇} ⊆ 𝑉)
16	3, 5	lspssv 20896	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ {𝑇} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ 𝑉)
17	14, 15, 16	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ 𝑉)
18	1, 6, 2, 3, 7	djhcl 41023	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘{𝑇}) ⊆ 𝑉)) → (𝑋((joinH‘𝐾)‘𝑊)(𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼)
19	8, 13, 17, 18	syl12anc 835	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋((joinH‘𝐾)‘𝑊)(𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼)
20	11, 19	eqeltrrd 2826	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ (𝑁‘{𝑇})) ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3944  {csn 4630  ran crn 5679  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17199  LSSumclsm 19618  LModclmod 20772  LSpanclspn 20884  HLchlt 38972  LHypclh 39607  DVecHcdvh 40701  DIsoHcdih 40851  joinHcdjh 41017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-riotaBAD 38575

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-undef 8279  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17135  df-sets 17152  df-slot 17170  df-ndx 17182  df-base 17200  df-ress 17229  df-plusg 17265  df-mulr 17266  df-sca 17268  df-vsca 17269  df-0g 17442  df-proset 18306  df-poset 18324  df-plt 18341  df-lub 18357  df-glb 18358  df-join 18359  df-meet 18360  df-p0 18436  df-p1 18437  df-lat 18443  df-clat 18510  df-mgm 18619  df-sgrp 18698  df-mnd 18714  df-submnd 18760  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919  df-subg 19103  df-cntz 19297  df-lsm 19620  df-cmn 19766  df-abl 19767  df-mgp 20104  df-rng 20122  df-ur 20151  df-ring 20204  df-oppr 20302  df-dvdsr 20325  df-unit 20326  df-invr 20356  df-dvr 20369  df-drng 20655  df-lmod 20774  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-lvec 21017  df-lsatoms 38598  df-oposet 38798  df-ol 38800  df-oml 38801  df-covers 38888  df-ats 38889  df-atl 38920  df-cvlat 38944  df-hlat 38973  df-llines 39121  df-lplanes 39122  df-lvols 39123  df-lines 39124  df-psubsp 39126  df-pmap 39127  df-padd 39419  df-lhyp 39611  df-laut 39612  df-ldil 39727  df-ltrn 39728  df-trl 39782  df-tgrp 40366  df-tendo 40378  df-edring 40380  df-dveca 40626  df-disoa 40652  df-dvech 40702  df-dib 40762  df-dic 40796  df-dih 40852  df-doch 40971  df-djh 41018

This theorem is referenced by:  dihsmsnrn  41058  lclkrlem2d  41133