Theorem dihsmatrn 39444

Description: The subspace sum of a closed subspace and an atom is closed. TODO: see if proof at http://math.stackexchange.com/a/1233211/50776 and Mon, 13 Apr 2015 20:44:07 -0400 email could be used instead of this and dihjat2 39439. (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihsmatrn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihsmatrn.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihsmatrn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihsmatrn.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihsmatrn.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dihsmatrn.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihsmatrn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihsmatrn.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
dihsmatrn	⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ 𝑄) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dihsmatrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihsmatrn.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dihsmatrn.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ((joinH‘𝐾)‘𝑊) = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
4		dihsmatrn.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dihsmatrn.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
6		dihsmatrn.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
7		dihsmatrn.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		dihsmatrn.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
9		dihsmatrn.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	dihjat2 39439	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋((joinH‘𝐾)‘𝑊)𝑄) = (𝑋 ⊕ 𝑄))
11	10	eqcomd 2746	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ 𝑄) = (𝑋((joinH‘𝐾)‘𝑊)𝑄))
12		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
13		eqid 2740	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
14	1, 4, 2, 13	dihrnlss 39285	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
15	7, 8, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
16	1, 4, 7	dvhlmod 39118	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
17	13, 6, 16, 9	lsatlssel 37005	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑈))
18	1, 4, 12, 13, 5, 2, 3, 7, 15, 17	djhlsmcl 39422	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ⊕ 𝑄) ∈ ran 𝐼 ↔ (𝑋 ⊕ 𝑄) = (𝑋((joinH‘𝐾)‘𝑊)𝑄)))
19	11, 18	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ 𝑄) ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ran crn 5590  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269  Basecbs 16908  LSSumclsm 19235  LSubSpclss 20189  LSAtomsclsa 36982  HLchlt 37358  LHypclh 37992  DVecHcdvh 39086  DIsoHcdih 39236  joinHcdjh 39402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947  ax-riotaBAD 36961

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-tpos 8031  df-undef 8078  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8479  df-map 8598  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-5 12037  df-6 12038  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12580  df-fz 13237  df-struct 16844  df-sets 16861  df-slot 16879  df-ndx 16891  df-base 16909  df-ress 16938  df-plusg 16971  df-mulr 16972  df-sca 16974  df-vsca 16975  df-0g 17148  df-proset 18009  df-poset 18027  df-plt 18044  df-lub 18060  df-glb 18061  df-join 18062  df-meet 18063  df-p0 18139  df-p1 18140  df-lat 18146  df-clat 18213  df-mgm 18322  df-sgrp 18371  df-mnd 18382  df-submnd 18427  df-grp 18576  df-minusg 18577  df-sbg 18578  df-subg 18748  df-cntz 18919  df-lsm 19237  df-cmn 19384  df-abl 19385  df-mgp 19717  df-ur 19734  df-ring 19781  df-oppr 19858  df-dvdsr 19879  df-unit 19880  df-invr 19910  df-dvr 19921  df-drng 19989  df-lmod 20121  df-lss 20190  df-lsp 20230  df-lvec 20361  df-lsatoms 36984  df-oposet 37184  df-ol 37186  df-oml 37187  df-covers 37274  df-ats 37275  df-atl 37306  df-cvlat 37330  df-hlat 37359  df-llines 37506  df-lplanes 37507  df-lvols 37508  df-lines 37509  df-psubsp 37511  df-pmap 37512  df-padd 37804  df-lhyp 37996  df-laut 37997  df-ldil 38112  df-ltrn 38113  df-trl 38167  df-tgrp 38751  df-tendo 38763  df-edring 38765  df-dveca 39011  df-disoa 39037  df-dvech 39087  df-dib 39147  df-dic 39181  df-dih 39237  df-doch 39356  df-djh 39403

This theorem is referenced by:  dihjat5N  39445  dvh4dimat  39446  dochkrsm  39466  dochexmidlem6  39473  lclkrlem2c  39517