Theorem dihsmatrn 42569

Description: The subspace sum of a closed subspace and an atom is closed. TODO: see if proof at https://math.stackexchange.com/a/1233211/50776 and Mon, 13 Apr 2015 20:44:07 -0400 email could be used instead of this and dihjat2 42564. (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihsmatrn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihsmatrn.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihsmatrn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihsmatrn.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dihsmatrn.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dihsmatrn.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihsmatrn.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihsmatrn.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
dihsmatrn	⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ 𝑄) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dihsmatrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihsmatrn.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dihsmatrn.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ((joinH‘𝐾)‘𝑊) = ((joinH‘𝐾)‘𝑊)
4		dihsmatrn.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dihsmatrn.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
6		dihsmatrn.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
7		dihsmatrn.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8		dihsmatrn.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
9		dihsmatrn.q	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	dihjat2 42564	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋((joinH‘𝐾)‘𝑊)𝑄) = (𝑋 ⊕ 𝑄))
11	10	eqcomd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ 𝑄) = (𝑋((joinH‘𝐾)‘𝑊)𝑄))
12		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
13		eqid 2760	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
14	1, 4, 2, 13	dihrnlss 42410	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
15	7, 8, 14	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (LSubSp‘𝑈))
16	1, 4, 7	dvhlmod 42243	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
17	13, 6, 16, 9	lsatlssel 40130	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑈))
18	1, 4, 12, 13, 5, 2, 3, 7, 15, 17	djhlsmcl 42547	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ⊕ 𝑄) ∈ ran 𝐼 ↔ (𝑋 ⊕ 𝑄) = (𝑋((joinH‘𝐾)‘𝑊)𝑄)))
19	11, 18	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊕ 𝑄) ∈ ran 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ran crn 5651  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17388  LSSumclsm 19849  LSubSpclss 21207  LSAtomsclsa 40107  HLchlt 40483  LHypclh 41117  DVecHcdvh 42211  DIsoHcdih 42361  joinHcdjh 42527

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-riotaBAD 40086

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8244  df-undef 8291  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-map 8850  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-0g 17613  df-proset 18469  df-poset 18488  df-plt 18503  df-lub 18519  df-glb 18520  df-join 18521  df-meet 18522  df-p0 18598  df-p1 18599  df-lat 18607  df-clat 18674  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-submnd 18980  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-sbg 19150  df-subg 19334  df-cntz 19532  df-lsm 19851  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-oppr 20568  df-dvdsr 20588  df-unit 20589  df-invr 20619  df-dvr 20632  df-drng 20983  df-lmod 21138  df-lss 21208  df-lsp 21248  df-lvec 21379  df-lsatoms 40109  df-oposet 40309  df-ol 40311  df-oml 40312  df-covers 40399  df-ats 40400  df-atl 40431  df-cvlat 40455  df-hlat 40484  df-llines 40631  df-lplanes 40632  df-lvols 40633  df-lines 40634  df-psubsp 40636  df-pmap 40637  df-padd 40929  df-lhyp 41121  df-laut 41122  df-ldil 41237  df-ltrn 41238  df-trl 41292  df-tgrp 41876  df-tendo 41888  df-edring 41890  df-dveca 42136  df-disoa 42162  df-dvech 42212  df-dib 42272  df-dic 42306  df-dih 42362  df-doch 42481  df-djh 42528

This theorem is used by:  dihjat5N  42570  dvh4dimat  42571  dochkrsm  42591  dochexmidlem6  42598  lclkrlem2c  42642