Theorem dochpolN 42119

Description: The subspace orthocomplement for the DVecH vector space is a polarity. (Contributed by NM, 27-Dec-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochpol.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochpol.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochpol.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochpol.p	⊢ 𝑃 = (LPol‘𝑈)
dochpol.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dochpolN	⊢ (𝜑 → ⊥ ∈ 𝑃)

Proof of Theorem dochpolN

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2764	. 2 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
2		eqid 2764	. 2 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
3		eqid 2764	. 2 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
4		eqid 2764	. 2 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
5		eqid 2764	. 2 ⊢ (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
6		dochpol.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (LPol‘𝑈)
7		dochpol.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8	7	fvexi 6883	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ V
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
10		dochpol.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		eqid 2764	. . . 4 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
12		dochpol.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
13		dochpol.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
14	10, 11, 7, 1, 12, 13	dochfN 41985	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⊥ :𝒫 (Base‘𝑈)⟶ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
15	10, 7, 11, 2	dihsslss 41905	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ⊆ (LSubSp‘𝑈))
16	13, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ⊆ (LSubSp‘𝑈))
17	14, 16	fssd 6711	. 2 ⊢ (𝜑 → ⊥ :𝒫 (Base‘𝑈)⟶(LSubSp‘𝑈))
18	10, 7, 12, 1, 3	doch1 41988	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘(Base‘𝑈)) = {(0g‘𝑈)})
19	13, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(Base‘𝑈)) = {(0g‘𝑈)})
20	13	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑦 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
21		simpr2 1210	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑦 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ (Base‘𝑈))
22		simpr3 1211	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑦 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)) → 𝑥 ⊆ 𝑦)
23	10, 7, 1, 12	dochss 41994	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑦 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → ( ⊥ ‘𝑦) ⊆ ( ⊥ ‘𝑥))
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1392	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑦 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)) → ( ⊥ ‘𝑦) ⊆ ( ⊥ ‘𝑥))
25	13	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
26		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → 𝑥 ∈ (LSAtoms‘𝑈))
27	10, 7, 12, 4, 5, 25, 26	dochsatshp 42080	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑥) ∈ (LSHyp‘𝑈))
28	10, 7, 11, 4	dih1dimat 41959	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → 𝑥 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
29	25, 26, 28	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → 𝑥 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
30	10, 11, 12	dochoc 41996	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥)
31	25, 29, 30	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥)
32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 17, 19, 24, 27, 31	islpoldN 42113	1 ⊢ (𝜑 → ⊥ ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4557  {csn 4584  ran crn 5650  ‘cfv 6523  Basecbs 17247  0_gc0g 17470  LSubSpclss 21000  LSAtomsclsa 39603  LSHypclsh 39604  HLchlt 39979  LHypclh 40613  DVecHcdvh 41707  DIsoHcdih 41857  ocHcoch 41976  LPolclpoN 42109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-riotaBAD 39582

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-undef 8255  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-fz 13515  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-0g 17472  df-proset 18328  df-poset 18347  df-plt 18362  df-lub 18378  df-glb 18379  df-join 18380  df-meet 18381  df-p0 18457  df-p1 18458  df-lat 18466  df-clat 18533  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-submnd 18820  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-sbg 18982  df-subg 19167  df-cntz 19359  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-ring 20287  df-oppr 20388  df-dvdsr 20408  df-unit 20409  df-invr 20439  df-dvr 20452  df-drng 20783  df-lmod 20931  df-lss 21001  df-lsp 21041  df-lvec 21172  df-lsatoms 39605  df-lshyp 39606  df-oposet 39805  df-ol 39807  df-oml 39808  df-covers 39895  df-ats 39896  df-atl 39927  df-cvlat 39951  df-hlat 39980  df-llines 40127  df-lplanes 40128  df-lvols 40129  df-lines 40130  df-psubsp 40132  df-pmap 40133  df-padd 40425  df-lhyp 40617  df-laut 40618  df-ldil 40733  df-ltrn 40734  df-trl 40788  df-tgrp 41372  df-tendo 41384  df-edring 41386  df-dveca 41632  df-disoa 41658  df-dvech 41708  df-dib 41768  df-dic 41802  df-dih 41858  df-doch 41977  df-djh 42024  df-lpolN 42110

This theorem is referenced by: (None)