Theorem dochpolN 42348

Description: The subspace orthocomplement for the DVecH vector space is a polarity. (Contributed by NM, 27-Dec-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochpol.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochpol.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochpol.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochpol.p	⊢ 𝑃 = (LPol‘𝑈)
dochpol.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dochpolN	⊢ (𝜑 → ⊥ ∈ 𝑃)

Proof of Theorem dochpolN

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. 2 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
2		eqid 2762	. 2 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
3		eqid 2762	. 2 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
4		eqid 2762	. 2 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
5		eqid 2762	. 2 ⊢ (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
6		dochpol.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (LPol‘𝑈)
7		dochpol.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8	7	fvexi 6896	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ V
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
10		dochpol.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
12		dochpol.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
13		dochpol.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
14	10, 11, 7, 1, 12, 13	dochfN 42214	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⊥ :𝒫 (Base‘𝑈)⟶ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
15	10, 7, 11, 2	dihsslss 42134	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ⊆ (LSubSp‘𝑈))
16	13, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ⊆ (LSubSp‘𝑈))
17	14, 16	fssd 6724	. 2 ⊢ (𝜑 → ⊥ :𝒫 (Base‘𝑈)⟶(LSubSp‘𝑈))
18	10, 7, 12, 1, 3	doch1 42217	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘(Base‘𝑈)) = {(0g‘𝑈)})
19	13, 18	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(Base‘𝑈)) = {(0g‘𝑈)})
20	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑦 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
21		simpr2 1214	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑦 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ (Base‘𝑈))
22		simpr3 1215	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑦 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)) → 𝑥 ⊆ 𝑦)
23	10, 7, 1, 12	dochss 42223	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑦 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → ( ⊥ ‘𝑦) ⊆ ( ⊥ ‘𝑥))
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑦 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)) → ( ⊥ ‘𝑦) ⊆ ( ⊥ ‘𝑥))
25	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
26		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → 𝑥 ∈ (LSAtoms‘𝑈))
27	10, 7, 12, 4, 5, 25, 26	dochsatshp 42309	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑥) ∈ (LSHyp‘𝑈))
28	10, 7, 11, 4	dih1dimat 42188	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → 𝑥 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
29	25, 26, 28	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → 𝑥 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
30	10, 11, 12	dochoc 42225	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥)
31	25, 29, 30	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥)
32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 17, 19, 24, 27, 31	islpoldN 42342	1 ⊢ (𝜑 → ⊥ ∈ 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4560  {csn 4587  ran crn 5660  ‘cfv 6537  Basecbs 17303  0_gc0g 17526  LSubSpclss 21114  LSAtomsclsa 39832  LSHypclsh 39833  HLchlt 40208  LHypclh 40842  DVecHcdvh 41936  DIsoHcdih 42086  ocHcoch 42205  LPolclpoN 42338

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-riotaBAD 39811

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-undef 8274  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13562  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-0g 17528  df-proset 18384  df-poset 18403  df-plt 18418  df-lub 18434  df-glb 18435  df-join 18436  df-meet 18437  df-p0 18513  df-p1 18514  df-lat 18522  df-clat 18589  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18891  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-sbg 19061  df-subg 19245  df-cntz 19443  df-lsm 19762  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-oppr 20477  df-dvdsr 20497  df-unit 20498  df-invr 20528  df-dvr 20541  df-drng 20891  df-lmod 21045  df-lss 21115  df-lsp 21155  df-lvec 21286  df-lsatoms 39834  df-lshyp 39835  df-oposet 40034  df-ol 40036  df-oml 40037  df-covers 40124  df-ats 40125  df-atl 40156  df-cvlat 40180  df-hlat 40209  df-llines 40356  df-lplanes 40357  df-lvols 40358  df-lines 40359  df-psubsp 40361  df-pmap 40362  df-padd 40654  df-lhyp 40846  df-laut 40847  df-ldil 40962  df-ltrn 40963  df-trl 41017  df-tgrp 41601  df-tendo 41613  df-edring 41615  df-dveca 41861  df-disoa 41887  df-dvech 41937  df-dib 41997  df-dic 42031  df-dih 42087  df-doch 42206  df-djh 42253  df-lpolN 42339

This theorem is used by: (None)