Theorem dochpolN 39431

Description: The subspace orthocomplement for the DVecH vector space is a polarity. (Contributed by NM, 27-Dec-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochpol.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochpol.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochpol.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochpol.p	⊢ 𝑃 = (LPol‘𝑈)
dochpol.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
dochpolN	⊢ (𝜑 → ⊥ ∈ 𝑃)

Proof of Theorem dochpolN

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. 2 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
2		eqid 2738	. 2 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
3		eqid 2738	. 2 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
4		eqid 2738	. 2 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
5		eqid 2738	. 2 ⊢ (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
6		dochpol.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (LPol‘𝑈)
7		dochpol.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8	7	fvexi 6770	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ V
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
10		dochpol.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
12		dochpol.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
13		dochpol.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
14	10, 11, 7, 1, 12, 13	dochfN 39297	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⊥ :𝒫 (Base‘𝑈)⟶ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
15	10, 7, 11, 2	dihsslss 39217	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ⊆ (LSubSp‘𝑈))
16	13, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ⊆ (LSubSp‘𝑈))
17	14, 16	fssd 6602	. 2 ⊢ (𝜑 → ⊥ :𝒫 (Base‘𝑈)⟶(LSubSp‘𝑈))
18	10, 7, 12, 1, 3	doch1 39300	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘(Base‘𝑈)) = {(0g‘𝑈)})
19	13, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(Base‘𝑈)) = {(0g‘𝑈)})
20	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑦 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
21		simpr2 1193	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑦 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ⊆ (Base‘𝑈))
22		simpr3 1194	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑦 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)) → 𝑥 ⊆ 𝑦)
23	10, 7, 1, 12	dochss 39306	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑦 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) → ( ⊥ ‘𝑦) ⊆ ( ⊥ ‘𝑥))
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑦 ⊆ (Base‘𝑈) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦)) → ( ⊥ ‘𝑦) ⊆ ( ⊥ ‘𝑥))
25	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
26		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → 𝑥 ∈ (LSAtoms‘𝑈))
27	10, 7, 12, 4, 5, 25, 26	dochsatshp 39392	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ( ⊥ ‘𝑥) ∈ (LSHyp‘𝑈))
28	10, 7, 11, 4	dih1dimat 39271	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → 𝑥 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
29	25, 26, 28	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → 𝑥 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
30	10, 11, 12	dochoc 39308	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥)
31	25, 29, 30	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑥)) = 𝑥)
32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 17, 19, 24, 27, 31	islpoldN 39425	1 ⊢ (𝜑 → ⊥ ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530  {csn 4558  ran crn 5581  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  0_gc0g 17067  LSubSpclss 20108  LSAtomsclsa 36915  LSHypclsh 36916  HLchlt 37291  LHypclh 37925  DVecHcdvh 39019  DIsoHcdih 39169  ocHcoch 39288  LPolclpoN 39421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-undef 8060  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-0g 17069  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-lsatoms 36917  df-lshyp 36918  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100  df-tgrp 38684  df-tendo 38696  df-edring 38698  df-dveca 38944  df-disoa 38970  df-dvech 39020  df-dib 39080  df-dic 39114  df-dih 39170  df-doch 39289  df-djh 39336  df-lpolN 39422

This theorem is referenced by: (None)