Theorem dochsnkrlem3 40131

Description: Lemma for dochsnkr 40132. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsnkr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsnkr.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnkr.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnkr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochsnkr.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochsnkr.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochsnkr.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochsnkr.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsnkr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
dochsnkr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
dochsnkrlem3	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))

Proof of Theorem dochsnkrlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsnkr.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dochsnkr.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochsnkr.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochsnkr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		dochsnkr.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
6		dochsnkr.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7		dochsnkr.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8		dochsnkr.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		dochsnkr.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
10		dochsnkr.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	dochsnkrlem1 40129	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉)
12	11	orcd 871	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉))
13	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9	dochkrshp4 40049	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺) ↔ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉)))
14	12, 13	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939   ∖ cdif 3938  {csn 4619  ‘cfv 6529  Basecbs 17123  0_gc0g 17364  LFnlclfn 37716  LKerclk 37744  HLchlt 38009  LHypclh 38644  DVecHcdvh 39738  ocHcoch 40007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-cnex 11145  ax-resscn 11146  ax-1cn 11147  ax-icn 11148  ax-addcl 11149  ax-addrcl 11150  ax-mulcl 11151  ax-mulrcl 11152  ax-mulcom 11153  ax-addass 11154  ax-mulass 11155  ax-distr 11156  ax-i2m1 11157  ax-1ne0 11158  ax-1rid 11159  ax-rnegex 11160  ax-rrecex 11161  ax-cnre 11162  ax-pre-lttri 11163  ax-pre-lttrn 11164  ax-pre-ltadd 11165  ax-pre-mulgt0 11166  ax-riotaBAD 37612

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-tp 4624  df-op 4626  df-uni 4899  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6286  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7836  df-1st 7954  df-2nd 7955  df-tpos 8190  df-undef 8237  df-frecs 8245  df-wrecs 8276  df-recs 8350  df-rdg 8389  df-1o 8445  df-er 8683  df-map 8802  df-en 8920  df-dom 8921  df-sdom 8922  df-fin 8923  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12192  df-2 12254  df-3 12255  df-4 12256  df-5 12257  df-6 12258  df-n0 12452  df-z 12538  df-uz 12802  df-fz 13464  df-struct 17059  df-sets 17076  df-slot 17094  df-ndx 17106  df-base 17124  df-ress 17153  df-plusg 17189  df-mulr 17190  df-sca 17192  df-vsca 17193  df-0g 17366  df-proset 18227  df-poset 18245  df-plt 18262  df-lub 18278  df-glb 18279  df-join 18280  df-meet 18281  df-p0 18357  df-p1 18358  df-lat 18364  df-clat 18431  df-mgm 18540  df-sgrp 18589  df-mnd 18600  df-submnd 18645  df-grp 18794  df-minusg 18795  df-sbg 18796  df-subg 18972  df-cntz 19144  df-lsm 19465  df-cmn 19611  df-abl 19612  df-mgp 19944  df-ur 19961  df-ring 20013  df-oppr 20099  df-dvdsr 20120  df-unit 20121  df-invr 20151  df-dvr 20162  df-drng 20264  df-lmod 20417  df-lss 20487  df-lsp 20527  df-lvec 20658  df-lsatoms 37635  df-lshyp 37636  df-lfl 37717  df-lkr 37745  df-oposet 37835  df-ol 37837  df-oml 37838  df-covers 37925  df-ats 37926  df-atl 37957  df-cvlat 37981  df-hlat 38010  df-llines 38158  df-lplanes 38159  df-lvols 38160  df-lines 38161  df-psubsp 38163  df-pmap 38164  df-padd 38456  df-lhyp 38648  df-laut 38649  df-ldil 38764  df-ltrn 38765  df-trl 38819  df-tendo 39415  df-edring 39417  df-disoa 39689  df-dvech 39739  df-dib 39799  df-dic 39833  df-dih 39889  df-doch 40008

This theorem is referenced by:  dochsnkr  40132  lcfrlem9  40210