Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochsnkrlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochsnkrlem2 38648
Description: Lemma for dochsnkr 38650. (Contributed by NM, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochsnkr.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsnkr.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnkr.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnkr.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochsnkr.z 0 = (0g𝑈)
dochsnkr.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochsnkr.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochsnkr.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dochsnkr.g (𝜑𝐺𝐹)
dochsnkr.x (𝜑𝑋 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }))
dochsnkr.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
dochsnkrlem2 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem dochsnkrlem2
StepHypRef Expression
1 dochsnkr.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dochsnkr.o . . 3 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 dochsnkr.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 dochsnkr.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 dochsnkr.z . . 3 0 = (0g𝑈)
6 dochsnkr.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7 dochsnkr.l . . 3 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8 dochsnkr.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
9 dochsnkr.g . . 3 (𝜑𝐺𝐹)
10 dochsnkr.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10dochsnkrlem1 38647 . 2 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉)
12 dochsnkr.a . . 3 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
131, 2, 3, 4, 12, 6, 7, 8, 9dochkrsat2 38634 . 2 (𝜑 → (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉 ↔ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ 𝐴))
1411, 13mpbid 235 1 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007  cdif 3907  {csn 4540  cfv 6328  Basecbs 16462  0gc0g 16692  LSAtomsclsa 36152  LFnlclfn 36235  LKerclk 36263  HLchlt 36528  LHypclh 37162  DVecHcdvh 38256  ocHcoch 38525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-riotaBAD 36131
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-tpos 7867  df-undef 7914  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-0g 16694  df-proset 17517  df-poset 17535  df-plt 17547  df-lub 17563  df-glb 17564  df-join 17565  df-meet 17566  df-p0 17628  df-p1 17629  df-lat 17635  df-clat 17697  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-subg 18255  df-cntz 18426  df-lsm 18740  df-cmn 18887  df-abl 18888  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-dvr 19412  df-drng 19480  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-lsp 19720  df-lvec 19851  df-lsatoms 36154  df-lshyp 36155  df-lfl 36236  df-lkr 36264  df-oposet 36354  df-ol 36356  df-oml 36357  df-covers 36444  df-ats 36445  df-atl 36476  df-cvlat 36500  df-hlat 36529  df-llines 36676  df-lplanes 36677  df-lvols 36678  df-lines 36679  df-psubsp 36681  df-pmap 36682  df-padd 36974  df-lhyp 37166  df-laut 37167  df-ldil 37282  df-ltrn 37283  df-trl 37337  df-tgrp 37921  df-tendo 37933  df-edring 37935  df-dveca 38181  df-disoa 38207  df-dvech 38257  df-dib 38317  df-dic 38351  df-dih 38407  df-doch 38526  df-djh 38573
This theorem is referenced by:  dochsnkr  38650  lcfrlem16  38736
  Copyright terms: Public domain W3C validator