Theorem dochkrshp4 41386

Description: Properties of the closure of the kernel of a functional. (Contributed by NM, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochkrshp3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochkrshp3.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochkrshp3.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochkrshp3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochkrshp3.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochkrshp3.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochkrshp3.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochkrshp3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dochkrshp4	⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺) ↔ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉)))

Proof of Theorem dochkrshp4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2941	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉 ↔ ¬ (𝐿‘𝐺) = 𝑉)
2		dochkrshp3.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dochkrshp3.o	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochkrshp3.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dochkrshp3.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		dochkrshp3.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7		dochkrshp3.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8		dochkrshp3.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		dochkrshp3.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	dochkrshp3 41385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ↔ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉)))
11	10	biimprd 248	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉))
12	11	expdimp 452	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)) → ((𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉))
13	1, 12	biimtrrid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)) → (¬ (𝐿‘𝐺) = 𝑉 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉))
14	13	orrd 864	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)) → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉))
15	14	orcomd 872	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉))
16	15	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉)))
17		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
18	10, 17	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
19	2, 4, 3, 5, 8	dochoc1 41358	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑉)) = 𝑉)
20		2fveq3 6919	. . . . 5 ⊢ ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑉)))
21		id 22	. . . . 5 ⊢ ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 → (𝐿‘𝐺) = 𝑉)
22	20, 21	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺) ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑉)) = 𝑉))
23	19, 22	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
24	18, 23	jaod 860	. 2 ⊢ (𝜑 → ((( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
25	16, 24	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺) ↔ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ‘cfv 6569  Basecbs 17254  LFnlclfn 39053  LKerclk 39081  HLchlt 39346  LHypclh 39981  DVecHcdvh 41075  ocHcoch 41344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239  ax-riotaBAD 38949

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-tp 4639  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-iun 5001  df-iin 5002  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-tpos 8259  df-undef 8306  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-er 8753  df-map 8876  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-4 12338  df-5 12339  df-6 12340  df-n0 12534  df-z 12621  df-uz 12886  df-fz 13554  df-struct 17190  df-sets 17207  df-slot 17225  df-ndx 17237  df-base 17255  df-ress 17284  df-plusg 17320  df-mulr 17321  df-sca 17323  df-vsca 17324  df-0g 17497  df-proset 18361  df-poset 18380  df-plt 18397  df-lub 18413  df-glb 18414  df-join 18415  df-meet 18416  df-p0 18492  df-p1 18493  df-lat 18499  df-clat 18566  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-drng 20757  df-lmod 20886  df-lss 20957  df-lsp 20997  df-lvec 21129  df-lsatoms 38972  df-lshyp 38973  df-lfl 39054  df-lkr 39082  df-oposet 39172  df-ol 39174  df-oml 39175  df-covers 39262  df-ats 39263  df-atl 39294  df-cvlat 39318  df-hlat 39347  df-llines 39495  df-lplanes 39496  df-lvols 39497  df-lines 39498  df-psubsp 39500  df-pmap 39501  df-padd 39793  df-lhyp 39985  df-laut 39986  df-ldil 40101  df-ltrn 40102  df-trl 40156  df-tendo 40752  df-edring 40754  df-disoa 41026  df-dvech 41076  df-dib 41136  df-dic 41170  df-dih 41226  df-doch 41345

This theorem is referenced by:  dochsnkrlem3  41468  lcfl2  41490