Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochkrshp4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochkrshp4 38585
Description: Properties of the closure of the kernel of a functional. (Contributed by NM, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochkrshp3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochkrshp3.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochkrshp3.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochkrshp3.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochkrshp3.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochkrshp3.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochkrshp3.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dochkrshp3.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
dochkrshp4 (𝜑 → (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺) ↔ (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿𝐺) = 𝑉)))

Proof of Theorem dochkrshp4
StepHypRef Expression
1 df-ne 3014 . . . . . 6 ((𝐿𝐺) ≠ 𝑉 ↔ ¬ (𝐿𝐺) = 𝑉)
2 dochkrshp3.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 dochkrshp3.o . . . . . . . . 9 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4 dochkrshp3.u . . . . . . . . 9 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 dochkrshp3.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑈)
6 dochkrshp3.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7 dochkrshp3.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (LKer‘𝑈)
8 dochkrshp3.k . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
9 dochkrshp3.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐹)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9dochkrshp3 38584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉 ↔ (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺) ∧ (𝐿𝐺) ≠ 𝑉)))
1110biimprd 251 . . . . . . 7 (𝜑 → ((( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺) ∧ (𝐿𝐺) ≠ 𝑉) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉))
1211expdimp 456 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺)) → ((𝐿𝐺) ≠ 𝑉 → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉))
131, 12syl5bir 246 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺)) → (¬ (𝐿𝐺) = 𝑉 → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉))
1413orrd 860 . . . 4 ((𝜑 ∧ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺)) → ((𝐿𝐺) = 𝑉 ∨ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉))
1514orcomd 868 . . 3 ((𝜑 ∧ ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺)) → (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿𝐺) = 𝑉))
1615ex 416 . 2 (𝜑 → (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺) → (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿𝐺) = 𝑉)))
17 simpl 486 . . . 4 ((( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺) ∧ (𝐿𝐺) ≠ 𝑉) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺))
1810, 17syl6bi 256 . . 3 (𝜑 → (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉 → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺)))
192, 4, 3, 5, 8dochoc1 38557 . . . 4 (𝜑 → ( ‘( 𝑉)) = 𝑉)
20 2fveq3 6656 . . . . 5 ((𝐿𝐺) = 𝑉 → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = ( ‘( 𝑉)))
21 id 22 . . . . 5 ((𝐿𝐺) = 𝑉 → (𝐿𝐺) = 𝑉)
2220, 21eqeq12d 2840 . . . 4 ((𝐿𝐺) = 𝑉 → (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺) ↔ ( ‘( 𝑉)) = 𝑉))
2319, 22syl5ibrcom 250 . . 3 (𝜑 → ((𝐿𝐺) = 𝑉 → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺)))
2418, 23jaod 856 . 2 (𝜑 → ((( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿𝐺) = 𝑉) → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺)))
2516, 24impbid 215 1 (𝜑 → (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺) ↔ (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉 ∨ (𝐿𝐺) = 𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  cfv 6336  Basecbs 16472  LFnlclfn 36253  LKerclk 36281  HLchlt 36546  LHypclh 37180  DVecHcdvh 38274  ocHcoch 38543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-riotaBAD 36149
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-iin 4903  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-tpos 7875  df-undef 7922  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-fz 12884  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-0g 16704  df-proset 17527  df-poset 17545  df-plt 17557  df-lub 17573  df-glb 17574  df-join 17575  df-meet 17576  df-p0 17638  df-p1 17639  df-lat 17645  df-clat 17707  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17946  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-sbg 18097  df-subg 18265  df-cntz 18436  df-lsm 18750  df-cmn 18897  df-abl 18898  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288  df-oppr 19362  df-dvdsr 19380  df-unit 19381  df-invr 19411  df-dvr 19422  df-drng 19490  df-lmod 19622  df-lss 19690  df-lsp 19730  df-lvec 19861  df-lsatoms 36172  df-lshyp 36173  df-lfl 36254  df-lkr 36282  df-oposet 36372  df-ol 36374  df-oml 36375  df-covers 36462  df-ats 36463  df-atl 36494  df-cvlat 36518  df-hlat 36547  df-llines 36694  df-lplanes 36695  df-lvols 36696  df-lines 36697  df-psubsp 36699  df-pmap 36700  df-padd 36992  df-lhyp 37184  df-laut 37185  df-ldil 37300  df-ltrn 37301  df-trl 37355  df-tendo 37951  df-edring 37953  df-disoa 38225  df-dvech 38275  df-dib 38335  df-dic 38369  df-dih 38425  df-doch 38544
This theorem is referenced by:  dochsnkrlem3  38667  lcfl2  38689
  Copyright terms: Public domain W3C validator