Theorem dochvalr2 42528

Description: Orthocomplement of a closed subspace. (Contributed by NM, 21-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochvalr2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dochvalr2.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
dochvalr2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochvalr2.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dochvalr2.n	⊢ 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dochvalr2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem dochvalr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochvalr2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dochvalr2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dochvalr2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	dihcl 42436	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
5		dochvalr2.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
6		dochvalr2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7	5, 2, 3, 6	dochvalr 42523	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ ran 𝐼) → (𝑁‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘( ⊥ ‘(◡𝐼‘(𝐼‘𝑋)))))
8	4, 7	syldan 603	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘( ⊥ ‘(◡𝐼‘(𝐼‘𝑋)))))
9	1, 2, 3	dihcnvid1 42438	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (◡𝐼‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
10	9	fveq2d 6894	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(◡𝐼‘(𝐼‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑋))
11	10	fveq2d 6894	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘( ⊥ ‘(◡𝐼‘(𝐼‘𝑋)))) = (𝐼‘( ⊥ ‘𝑋)))
12	8, 11	eqtrd 2795	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘( ⊥ ‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ^◡ccnv 5650  ran crn 5652  ‘cfv 6543  Basecbs 17396  occoc 17445  HLchlt 40516  LHypclh 41150  DIsoHcdih 42394  ocHcoch 42513

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-riotaBAD 40119

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-tpos 8250  df-undef 8297  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-map 8856  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-0g 17621  df-proset 18477  df-poset 18496  df-plt 18511  df-lub 18527  df-glb 18528  df-join 18529  df-meet 18530  df-p0 18606  df-p1 18607  df-lat 18615  df-clat 18682  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-subg 19342  df-cntz 19540  df-lsm 19859  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-ring 20470  df-oppr 20576  df-dvdsr 20596  df-unit 20597  df-invr 20627  df-dvr 20640  df-drng 20991  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-lsp 21256  df-lvec 21387  df-oposet 40342  df-ol 40344  df-oml 40345  df-covers 40432  df-ats 40433  df-atl 40464  df-cvlat 40488  df-hlat 40517  df-llines 40664  df-lplanes 40665  df-lvols 40666  df-lines 40667  df-psubsp 40669  df-pmap 40670  df-padd 40962  df-lhyp 41154  df-laut 41155  df-ldil 41270  df-ltrn 41271  df-trl 41325  df-tendo 41921  df-edring 41923  df-disoa 42195  df-dvech 42245  df-dib 42305  df-dic 42339  df-dih 42395  df-doch 42514

This theorem is used by:  doch2val2  42530  djhlj  42567