Theorem dochvalr2 37437

Description: Orthocomplement of a closed subspace. (Contributed by NM, 21-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochvalr2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dochvalr2.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
dochvalr2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochvalr2.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dochvalr2.n	⊢ 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dochvalr2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem dochvalr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochvalr2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		dochvalr2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dochvalr2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	dihcl 37345	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ∈ ran 𝐼)
5		dochvalr2.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
6		dochvalr2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
7	5, 2, 3, 6	dochvalr 37432	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐼‘𝑋) ∈ ran 𝐼) → (𝑁‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘( ⊥ ‘(◡𝐼‘(𝐼‘𝑋)))))
8	4, 7	syldan 587	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘( ⊥ ‘(◡𝐼‘(𝐼‘𝑋)))))
9	1, 2, 3	dihcnvid1 37347	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (◡𝐼‘(𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
10	9	fveq2d 6437	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( ⊥ ‘(◡𝐼‘(𝐼‘𝑋))) = ( ⊥ ‘𝑋))
11	10	fveq2d 6437	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘( ⊥ ‘(◡𝐼‘(𝐼‘𝑋)))) = (𝐼‘( ⊥ ‘𝑋)))
12	8, 11	eqtrd 2861	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝐼‘𝑋)) = (𝐼‘( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ^◡ccnv 5341  ran crn 5343  ‘cfv 6123  Basecbs 16222  occoc 16313  HLchlt 35425  LHypclh 36059  DIsoHcdih 37303  ocHcoch 37422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-riotaBAD 35028

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-tpos 7617  df-undef 7664  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-0g 16455  df-proset 17281  df-poset 17299  df-plt 17311  df-lub 17327  df-glb 17328  df-join 17329  df-meet 17330  df-p0 17392  df-p1 17393  df-lat 17399  df-clat 17461  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-subg 17942  df-cntz 18100  df-lsm 18402  df-cmn 18548  df-abl 18549  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-oppr 18977  df-dvdsr 18995  df-unit 18996  df-invr 19026  df-dvr 19037  df-drng 19105  df-lmod 19221  df-lss 19289  df-lsp 19331  df-lvec 19462  df-oposet 35251  df-ol 35253  df-oml 35254  df-covers 35341  df-ats 35342  df-atl 35373  df-cvlat 35397  df-hlat 35426  df-llines 35573  df-lplanes 35574  df-lvols 35575  df-lines 35576  df-psubsp 35578  df-pmap 35579  df-padd 35871  df-lhyp 36063  df-laut 36064  df-ldil 36179  df-ltrn 36180  df-trl 36234  df-tendo 36830  df-edring 36832  df-disoa 37104  df-dvech 37154  df-dib 37214  df-dic 37248  df-dih 37304  df-doch 37423

This theorem is referenced by:  doch2val2  37439  djhlj  37476