Theorem logblog 24933

Description: The general logarithm to the base being Euler's constant regarded as function is the natural logarithm. (Contributed by AV, 12-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
logblog	⊢ (curry logb ‘e) = log

Proof of Theorem logblog

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		loge 24733	. . . . . 6 ⊢ (log‘e) = 1
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (log‘e) = 1)
3	2	oveq2d 6922	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((log‘𝑦) / (log‘e)) = ((log‘𝑦) / 1))
4		eldifsn 4537	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
5		logcl 24715	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
6	4, 5	sylbi 209	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
7	6	div1d 11120	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((log‘𝑦) / 1) = (log‘𝑦))
8	3, 7	eqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((log‘𝑦) / (log‘e)) = (log‘𝑦))
9	8	mpteq2ia 4964	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ((log‘𝑦) / (log‘e))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (log‘𝑦))
10		ere 15192	. . . 4 ⊢ e ∈ ℝ
11	10	recni 10372	. . 3 ⊢ e ∈ ℂ
12		epr 15311	. . . 4 ⊢ e ∈ ℝ+
13		rpne0 12131	. . . 4 ⊢ (e ∈ ℝ+ → e ≠ 0)
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ e ≠ 0
15		egt2lt3 15309	. . . 4 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
16		1re 10357	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
17		2re 11426	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
18	16, 17, 10	3pm3.2i 1444	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ)
19		1lt2 11530	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 2
20		lttr 10434	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 < e) → 1 < e))
21	20	expd 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ) → (1 < 2 → (2 < e → 1 < e)))
22	18, 19, 21	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ (2 < e → 1 < e)
23	22	olcd 907	. . . . . 6 ⊢ (2 < e → (e < 1 ∨ 1 < e))
24	10, 16	pm3.2i 464	. . . . . . 7 ⊢ (e ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
25		lttri2 10440	. . . . . . 7 ⊢ ((e ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (e ≠ 1 ↔ (e < 1 ∨ 1 < e)))
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (2 < e → (e ≠ 1 ↔ (e < 1 ∨ 1 < e)))
27	23, 26	mpbird 249	. . . . 5 ⊢ (2 < e → e ≠ 1)
28	27	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((2 < e ∧ e < 3) → e ≠ 1)
29	15, 28	ax-mp 5	. . 3 ⊢ e ≠ 1
30		logbmpt 24929	. . 3 ⊢ ((e ∈ ℂ ∧ e ≠ 0 ∧ e ≠ 1) → (curry logb ‘e) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ((log‘𝑦) / (log‘e))))
31	11, 14, 29, 30	mp3an 1591	. 2 ⊢ (curry logb ‘e) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ((log‘𝑦) / (log‘e)))
32		logf1o 24711	. . . 4 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
33		f1ofn 6380	. . . 4 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log Fn (ℂ ∖ {0}))
34	32, 33	ax-mp 5	. . 3 ⊢ log Fn (ℂ ∖ {0})
35		dffn5 6489	. . 3 ⊢ (log Fn (ℂ ∖ {0}) ↔ log = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (log‘𝑦)))
36	34, 35	mpbi 222	. 2 ⊢ log = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (log‘𝑦))
37	9, 31, 36	3eqtr4i 2860	1 ⊢ (curry logb ‘e) = log

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 880   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000   ∖ cdif 3796  {csn 4398   class class class wbr 4874   ↦ cmpt 4953  ran crn 5344   Fn wfn 6119  –1-1-onto→wf1o 6123  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  curry ccur 7657  ℂcc 10251  ℝcr 10252  0cc0 10253  1c1 10254   < clt 10392   / cdiv 11010  2c2 11407  3c3 11408  ℝ⁺crp 12113  eceu 15166  logclog 24701   log_b clogb 24905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331  ax-addf 10332  ax-mulf 10333

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-supp 7561  df-cur 7659  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-2o 7828  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-pm 8126  df-ixp 8177  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fsupp 8546  df-fi 8587  df-sup 8618  df-inf 8619  df-oi 8685  df-card 9079  df-cda 9306  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-q 12073  df-rp 12114  df-xneg 12233  df-xadd 12234  df-xmul 12235  df-ioo 12468  df-ioc 12469  df-ico 12470  df-icc 12471  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-fl 12889  df-mod 12965  df-seq 13097  df-exp 13156  df-fac 13355  df-bc 13384  df-hash 13412  df-shft 14185  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-limsup 14580  df-clim 14597  df-rlim 14598  df-sum 14795  df-ef 15171  df-e 15172  df-sin 15173  df-cos 15174  df-pi 15176  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-starv 16321  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-ip 16324  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-unif 16329  df-hom 16330  df-cco 16331  df-rest 16437  df-topn 16438  df-0g 16456  df-gsum 16457  df-topgen 16458  df-pt 16459  df-prds 16462  df-xrs 16516  df-qtop 16521  df-imas 16522  df-xps 16524  df-mre 16600  df-mrc 16601  df-acs 16603  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-submnd 17690  df-mulg 17896  df-cntz 18101  df-cmn 18549  df-psmet 20099  df-xmet 20100  df-met 20101  df-bl 20102  df-mopn 20103  df-fbas 20104  df-fg 20105  df-cnfld 20108  df-top 21070  df-topon 21087  df-topsp 21109  df-bases 21122  df-cld 21195  df-ntr 21196  df-cls 21197  df-nei 21274  df-lp 21312  df-perf 21313  df-cn 21403  df-cnp 21404  df-haus 21491  df-tx 21737  df-hmeo 21930  df-fil 22021  df-fm 22113  df-flim 22114  df-flf 22115  df-xms 22496  df-ms 22497  df-tms 22498  df-cncf 23052  df-limc 24030  df-dv 24031  df-log 24703  df-logb 24906

This theorem is referenced by: (None)