Theorem evl1fpws 33577

Description: Evaluation of a univariate polynomial as a function in a power series. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1fpws.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1fpws.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
evl1fpws.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1fpws.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑊)
evl1fpws.s	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1fpws.y	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
evl1fpws.1	⊢ · = (.r‘𝑅)
evl1fpws.2	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
evl1fpws.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
evl1fpws	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑥))))))

Distinct variable groups:   · ,𝑘,𝑥   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀   𝑅,𝑘,𝑥   𝑈,𝑘,𝑥   𝑘,𝑊,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   ↑ (𝑥,𝑘)   𝑀(𝑥)   𝑂(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem evl1fpws

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1fpws.q	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
2		evl1fpws.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	evl1fval1 22269	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝐵)
4	3	fveq1i 6877	. 2 ⊢ (𝑂‘𝑀) = ((𝑅 evalSub1 𝐵)‘𝑀)
5		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝑅 evalSub1 𝐵) = (𝑅 evalSub1 𝐵)
6		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)) = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))
7		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)
8		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))) = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))
9		evl1fpws.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10	9	crngringd 20206	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11	2	subrgid 20533	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
13		evl1fpws.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
14	2	ressid 17265	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
15	9, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
16	15	fveq2d 6880	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)) = (Poly1‘𝑅))
17		evl1fpws.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
18	16, 17	eqtr4di 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)) = 𝑊)
19	18	fveq2d 6880	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))) = (Base‘𝑊))
20		evl1fpws.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑊)
21	19, 20	eqtr4di 2788	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))) = 𝑈)
22	13, 21	eleqtrrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))
23		evl1fpws.1	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
24		evl1fpws.2	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
25		evl1fpws.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝑀)
26	5, 2, 6, 7, 8, 9, 12, 22, 23, 24, 25	evls1fpws 22307	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐵)‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑥))))))
27	4, 26	eqtrid 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑥))))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ↦ cmpt 5201  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℕ₀cn0 12501  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  ._rcmulr 17272   Σ_g cgsu 17454  ._gcmg 19050  mulGrpcmgp 20100  Ringcrg 20193  CRingccrg 20194  SubRingcsubrg 20529  Poly₁cpl1 22112  coe₁cco1 22113   evalSub₁ ces1 22251  eval₁ce1 22252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-ofr 7672  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-sup 9454  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-hom 17295  df-cco 17296  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-prds 17461  df-pws 17463  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-ghm 19196  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-srg 20147  df-ring 20195  df-cring 20196  df-rhm 20432  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-assa 21813  df-asp 21814  df-ascl 21815  df-psr 21869  df-mvr 21870  df-mpl 21871  df-opsr 21873  df-evls 22032  df-evl 22033  df-psr1 22115  df-vr1 22116  df-ply1 22117  df-coe1 22118  df-evls1 22253  df-evl1 22254

This theorem is referenced by:  evl1deg1  33589  evl1deg2  33590  evl1deg3  33591