Theorem evl1fpws 33526

Description: Evaluation of a univariate polynomial as a function in a power series. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evl1fpws.q	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
evl1fpws.w	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
evl1fpws.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
evl1fpws.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑊)
evl1fpws.s	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
evl1fpws.y	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
evl1fpws.1	⊢ · = (.r‘𝑅)
evl1fpws.2	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
evl1fpws.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
evl1fpws	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑥))))))

Distinct variable groups:   · ,𝑘,𝑥   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀   𝑅,𝑘,𝑥   𝑈,𝑘,𝑥   𝑘,𝑊,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   ↑ (𝑥,𝑘)   𝑀(𝑥)   𝑂(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem evl1fpws

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evl1fpws.q	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
2		evl1fpws.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	evl1fval1 22251	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝐵)
4	3	fveq1i 6841	. 2 ⊢ (𝑂‘𝑀) = ((𝑅 evalSub1 𝐵)‘𝑀)
5		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑅 evalSub1 𝐵) = (𝑅 evalSub1 𝐵)
6		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)) = (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))
7		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)
8		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))) = (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)))
9		evl1fpws.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
10	9	crngringd 20166	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
11	2	subrgid 20493	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
13		evl1fpws.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑈)
14	2	ressid 17190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
15	9, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐵) = 𝑅)
16	15	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)) = (Poly1‘𝑅))
17		evl1fpws.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑅)
18	16, 17	eqtr4di 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵)) = 𝑊)
19	18	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))) = (Base‘𝑊))
20		evl1fpws.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑊)
21	19, 20	eqtr4di 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))) = 𝑈)
22	13, 21	eleqtrrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝑅 ↾s 𝐵))))
23		evl1fpws.1	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
24		evl1fpws.2	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑅))
25		evl1fpws.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝑀)
26	5, 2, 6, 7, 8, 9, 12, 22, 23, 24, 25	evls1fpws 22289	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 evalSub1 𝐵)‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑥))))))
27	4, 26	eqtrid 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑀) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑘) · (𝑘 ↑ 𝑥))))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℕ₀cn0 12418  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176  ._rcmulr 17197   Σ_g cgsu 17379  ._gcmg 18981  mulGrpcmgp 20060  Ringcrg 20153  CRingccrg 20154  SubRingcsubrg 20489  Poly₁cpl1 22094  coe₁cco1 22095   evalSub₁ ces1 22233  eval₁ce1 22234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-mulg 18982  df-subg 19037  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-srg 20107  df-ring 20155  df-cring 20156  df-rhm 20392  df-subrng 20466  df-subrg 20490  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-lsp 20910  df-assa 21795  df-asp 21796  df-ascl 21797  df-psr 21851  df-mvr 21852  df-mpl 21853  df-opsr 21855  df-evls 22014  df-evl 22015  df-psr1 22097  df-vr1 22098  df-ply1 22099  df-coe1 22100  df-evls1 22235  df-evl1 22236

This theorem is referenced by:  evl1deg1  33538  evl1deg2  33539  evl1deg3  33540