Theorem evls1monply1 33660

Description: Subring evaluation of a scaled monomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1monply1.1	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1monply1.2	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evls1monply1.3	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1monply1.4	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1monply1.5	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
evls1monply1.6	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
evls1monply1.7	⊢ ∧ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
evls1monply1.8	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑊)
evls1monply1.9	⊢ · = (.r‘𝑆)
evls1monply1.10	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1monply1.11	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1monply1.12	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
evls1monply1.13	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
evls1monply1.14	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evls1monply1	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴 ∗ (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝑌) = (𝐴 · (𝑁 ∧ 𝑌)))

Proof of Theorem evls1monply1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1monply1.1	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
2		evls1monply1.2	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
3		evls1monply1.3	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
4		evls1monply1.4	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
5		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		evls1monply1.8	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		evls1monply1.9	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑆)
8		evls1monply1.10	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
9		evls1monply1.11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
10		evls1monply1.12	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
11		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑊) = (mulGrp‘𝑊)
12	11, 5	mgpbas 20080	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(mulGrp‘𝑊))
13		evls1monply1.6	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
14	4	subrgring 20507	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
15	9, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
16	3	ply1ring 22188	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
17	11	ringmgp 20174	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑊) ∈ Mnd)
18	15, 16, 17	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑊) ∈ Mnd)
19		evls1monply1.13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
20		evls1monply1.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
21	20, 3, 5	vr1cl 22158	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
22	15, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
23	12, 13, 18, 19, 22	mulgnn0cld 19025	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
24		evls1monply1.14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24	evls1vsca 22317	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴 ∗ (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝑌) = (𝐴 · ((𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑌)))
26		evls1monply1.7	. . . 4 ⊢ ∧ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
27	1, 4, 3, 20, 2, 13, 26, 8, 9, 19, 24	evls1varpwval 22312	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑌) = (𝑁 ∧ 𝑌))
28	27	oveq2d 7374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · ((𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑌)) = (𝐴 · (𝑁 ∧ 𝑌)))
29	25, 28	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴 ∗ (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝑌) = (𝐴 · (𝑁 ∧ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℕ₀cn0 12401  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  ._rcmulr 17178   ·_𝑠 cvsca 17181  Mndcmnd 18659  ._gcmg 18997  mulGrpcmgp 20075  Ringcrg 20168  CRingccrg 20169  SubRingcsubrg 20502  var₁cv1 22116  Poly₁cpl1 22117   evalSub₁ ces1 22257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-srg 20122  df-ring 20170  df-cring 20171  df-rhm 20408  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-assa 21808  df-asp 21809  df-ascl 21810  df-psr 21865  df-mvr 21866  df-mpl 21867  df-opsr 21869  df-evls 22029  df-evl 22030  df-psr1 22120  df-vr1 22121  df-ply1 22122  df-coe1 22123  df-evls1 22259  df-evl1 22260

This theorem is referenced by:  extdgfialglem2  33850