Theorem evls1monply1 33662

Description: Subring evaluation of a scaled monomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
evls1monply1.1	⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
evls1monply1.2	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evls1monply1.3	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
evls1monply1.4	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evls1monply1.5	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
evls1monply1.6	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
evls1monply1.7	⊢ ∧ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
evls1monply1.8	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑊)
evls1monply1.9	⊢ · = (.r‘𝑆)
evls1monply1.10	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evls1monply1.11	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evls1monply1.12	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
evls1monply1.13	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
evls1monply1.14	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
evls1monply1	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴 ∗ (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝑌) = (𝐴 · (𝑁 ∧ 𝑌)))

Proof of Theorem evls1monply1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evls1monply1.1	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑆 evalSub1 𝑅)
2		evls1monply1.2	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
3		evls1monply1.3	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
4		evls1monply1.4	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
5		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		evls1monply1.8	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑊)
7		evls1monply1.9	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑆)
8		evls1monply1.10	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
9		evls1monply1.11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
10		evls1monply1.12	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
11		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑊) = (mulGrp‘𝑊)
12	11, 5	mgpbas 20117	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(mulGrp‘𝑊))
13		evls1monply1.6	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑊))
14	4	subrgring 20546	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑈 ∈ Ring)
15	9, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Ring)
16	3	ply1ring 22232	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Ring)
17	11	ringmgp 20211	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑊) ∈ Mnd)
18	15, 16, 17	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑊) ∈ Mnd)
19		evls1monply1.13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
20		evls1monply1.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑈)
21	20, 3, 5	vr1cl 22202	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
22	15, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
23	12, 13, 18, 19, 22	mulgnn0cld 19062	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑊))
24		evls1monply1.14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐾)
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 23, 24	evls1vsca 22359	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴 ∗ (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝑌) = (𝐴 · ((𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑌)))
26		evls1monply1.7	. . . 4 ⊢ ∧ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
27	1, 4, 3, 20, 2, 13, 26, 8, 9, 19, 24	evls1varpwval 22354	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑌) = (𝑁 ∧ 𝑌))
28	27	oveq2d 7372	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · ((𝑄‘(𝑁 ↑ 𝑋))‘𝑌)) = (𝐴 · (𝑁 ∧ 𝑌)))
29	25, 28	eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐴 ∗ (𝑁 ↑ 𝑋)))‘𝑌) = (𝐴 · (𝑁 ∧ 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℕ₀cn0 12428  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  ._rcmulr 17212   ·_𝑠 cvsca 17215  Mndcmnd 18693  ._gcmg 19034  mulGrpcmgp 20112  Ringcrg 20205  CRingccrg 20206  SubRingcsubrg 20541  var₁cv1 22161  Poly₁cpl1 22162   evalSub₁ ces1 22299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-srg 20159  df-ring 20207  df-cring 20208  df-rhm 20443  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-assa 21828  df-asp 21829  df-ascl 21830  df-psr 21884  df-mvr 21885  df-mpl 21886  df-opsr 21888  df-evls 22050  df-evl 22051  df-psr1 22165  df-vr1 22166  df-ply1 22167  df-coe1 22168  df-evls1 22301  df-evl1 22302

This theorem is referenced by:  extdgfialglem2  33877