Theorem irngssv 33371

Description: An integral element is an element of the base set. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
irngval.o	⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
irngval.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
irngval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
irngval.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
elirng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
elirng.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
irngssv	⊢ (𝜑 → (𝑅 IntgRing 𝑆) ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem irngssv

Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		irngval.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑅 evalSub1 𝑆)
2		irngval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
3		irngval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		irngval.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
5		elirng.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6		elirng.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	elirng 33369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑓)‘𝑥) = 0 )))
8		simpl 481	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑓 ∈ (Monic1p‘𝑈)((𝑂‘𝑓)‘𝑥) = 0 ) → 𝑥 ∈ 𝐵)
9	7, 8	biimtrdi 252	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑅 IntgRing 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵))
10	9	ssrdv 3986	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 IntgRing 𝑆) ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3066   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  Basecbs 17185   ↾_s cress 17214  0_gc0g 17426  CRingccrg 20179  SubRingcsubrg 20511   evalSub₁ ces1 22237  Monic_1pcmn1 26079   IntgRing cirng 33366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-ofr 7690  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-seq 14005  df-hash 14328  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-hom 17262  df-cco 17263  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-prds 17434  df-pws 17436  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-mulg 19029  df-subg 19083  df-ghm 19173  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-srg 20132  df-ring 20180  df-cring 20181  df-rhm 20416  df-subrng 20488  df-subrg 20513  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-lsp 20861  df-assa 21792  df-asp 21793  df-ascl 21794  df-psr 21847  df-mvr 21848  df-mpl 21849  df-opsr 21851  df-evls 22023  df-psr1 22104  df-ply1 22106  df-evls1 22239  df-mon1 26084  df-irng 33367

This theorem is referenced by:  irngnminplynz  33387  minplym1p  33388  algextdeglem1  33390  algextdeglem2  33391  algextdeglem3  33392  algextdeglem4  33393  algextdeglem5  33394  algextdeglem6  33395  algextdeglem7  33396  algextdeglem8  33397