Theorem dih2dimb 41263

Description: Extend dib2dim 41262 to isomorphism H. (Contributed by NM, 22-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih2dimb.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dih2dimb.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dih2dimb.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dih2dimb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih2dimb.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih2dimb.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dih2dimb.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih2dimb.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dih2dimb.p	⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊))
dih2dimb.q	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≤ 𝑊))

Assertion

Ref	Expression
dih2dimb	⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ⊆ ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)))

Proof of Theorem dih2dimb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dih2dimb.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		dih2dimb.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		dih2dimb.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		dih2dimb.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dih2dimb.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		dih2dimb.s	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
7		eqid 2735	. . 3 ⊢ ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)
8		dih2dimb.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		dih2dimb.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≤ 𝑊))
10		dih2dimb.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≤ 𝑊))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	dib2dim 41262	. 2 ⊢ (𝜑 → (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ⊆ ((((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃) ⊕ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄)))
12	8	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
13	9	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
14	10	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
15		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
16	15, 2, 3	hlatjcl 39385	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
17	12, 13, 14, 16	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
18	9	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑊)
19	10	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≤ 𝑊)
20	12	hllatd 39382	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
21	15, 3	atbase 39307	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
22	13, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
23	15, 3	atbase 39307	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
24	14, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
25	8	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐻)
26	15, 4	lhpbase 40017	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
28	15, 1, 2	latjle12 18460	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 ≤ 𝑊 ∧ 𝑄 ≤ 𝑊) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊))
29	20, 22, 24, 27, 28	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ≤ 𝑊 ∧ 𝑄 ≤ 𝑊) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊))
30	18, 19, 29	mpbi2and 712	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊)
31		dih2dimb.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
32	15, 1, 4, 31, 7	dihvalb 41256	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ 𝑊)) → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)))
33	8, 17, 30, 32	syl12anc 836	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑃 ∨ 𝑄)))
34	15, 1, 4, 31, 7	dihvalb 41256	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑃) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃))
35	8, 22, 18, 34	syl12anc 836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑃) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃))
36	15, 1, 4, 31, 7	dihvalb 41256	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑄) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄))
37	8, 24, 19, 36	syl12anc 836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑄) = (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄))
38	35, 37	oveq12d 7423	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)) = ((((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑃) ⊕ (((DIsoB‘𝐾)‘𝑊)‘𝑄)))
39	11, 33, 38	3sstr4d 4014	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝑃 ∨ 𝑄)) ⊆ ((𝐼‘𝑃) ⊕ (𝐼‘𝑄)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  lecple 17278  joincjn 18323  Latclat 18441  LSSumclsm 19615  Atomscatm 39281  HLchlt 39368  LHypclh 40003  DVecHcdvh 41097  DIsoBcdib 41157  DIsoHcdih 41247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-riotaBAD 38971

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-0g 17455  df-proset 18306  df-poset 18325  df-plt 18340  df-lub 18356  df-glb 18357  df-join 18358  df-meet 18359  df-p0 18435  df-p1 18436  df-lat 18442  df-clat 18509  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-cntz 19300  df-lsm 19617  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-dvr 20361  df-drng 20691  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-lvec 21061  df-oposet 39194  df-ol 39196  df-oml 39197  df-covers 39284  df-ats 39285  df-atl 39316  df-cvlat 39340  df-hlat 39369  df-llines 39517  df-lplanes 39518  df-lvols 39519  df-lines 39520  df-psubsp 39522  df-pmap 39523  df-padd 39815  df-lhyp 40007  df-laut 40008  df-ldil 40123  df-ltrn 40124  df-trl 40178  df-tgrp 40762  df-tendo 40774  df-edring 40776  df-dveca 41022  df-disoa 41048  df-dvech 41098  df-dib 41158  df-dih 41248

This theorem is referenced by:  dihjatb  41435