Theorem dihmeet2 38923

Description: Reverse isomorphism H of a closed subspace intersection. (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihmeet2.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihmeet2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihmeet2.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihmeet2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihmeet2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihmeet2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dihmeet2	⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = ((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌)))

Proof of Theorem dihmeet2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihmeet2.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dihmeet2.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
3		dihmeet2.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dihmeet2.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
5	3, 4	dihcnvid2 38850	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
6	1, 2, 5	syl2anc 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
7		dihmeet2.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
8	3, 4	dihcnvid2 38850	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) = 𝑌)
9	1, 7, 8	syl2anc 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) = 𝑌)
10	6, 9	ineq12d 4119	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ∩ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌))) = (𝑋 ∩ 𝑌))
11		eqid 2759	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12	11, 3, 4	dihcnvcl 38848	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
13	1, 2, 12	syl2anc 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
14	11, 3, 4	dihcnvcl 38848	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
15	1, 7, 14	syl2anc 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
16		dihmeet2.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
17	11, 16, 3, 4	dihmeet 38920	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))) = ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ∩ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌))))
18	1, 13, 15, 17	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))) = ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ∩ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌))))
19	3, 4	dihmeetcl 38922	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ ran 𝐼)
20	1, 2, 7, 19	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ ran 𝐼)
21	3, 4	dihcnvid2 38850	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌))) = (𝑋 ∩ 𝑌))
22	1, 20, 21	syl2anc 588	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌))) = (𝑋 ∩ 𝑌))
23	10, 18, 22	3eqtr4rd 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌))) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))))
24	11, 3, 4	dihcnvcl 38848	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
25	1, 20, 24	syl2anc 588	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
26	1	simpld 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
27	26	hllatd 36941	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
28	11, 16	latmcl 17729	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → ((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
29	27, 13, 15, 28	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
30	11, 3, 4	dih11 38842	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘(◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌))) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))) ↔ (◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = ((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))))
31	1, 25, 29, 30	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌))) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))) ↔ (◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = ((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))))
32	23, 31	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = ((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ∩ cin 3858  ^◡ccnv 5524  ran crn 5526  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  Basecbs 16542  meetcmee 17622  Latclat 17722  HLchlt 36927  LHypclh 37561  DIsoHcdih 38805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653  ax-riotaBAD 36530

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-tpos 7903  df-undef 7950  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-er 8300  df-map 8419  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-nn 11676  df-2 11738  df-3 11739  df-4 11740  df-5 11741  df-6 11742  df-n0 11936  df-z 12022  df-uz 12284  df-fz 12941  df-struct 16544  df-ndx 16545  df-slot 16546  df-base 16548  df-sets 16549  df-ress 16550  df-plusg 16637  df-mulr 16638  df-sca 16640  df-vsca 16641  df-0g 16774  df-proset 17605  df-poset 17623  df-plt 17635  df-lub 17651  df-glb 17652  df-join 17653  df-meet 17654  df-p0 17716  df-p1 17717  df-lat 17723  df-clat 17785  df-mgm 17919  df-sgrp 17968  df-mnd 17979  df-submnd 18024  df-grp 18173  df-minusg 18174  df-sbg 18175  df-subg 18344  df-cntz 18515  df-lsm 18829  df-cmn 18976  df-abl 18977  df-mgp 19309  df-ur 19321  df-ring 19368  df-oppr 19445  df-dvdsr 19463  df-unit 19464  df-invr 19494  df-dvr 19505  df-drng 19573  df-lmod 19705  df-lss 19773  df-lsp 19813  df-lvec 19944  df-lsatoms 36553  df-oposet 36753  df-ol 36755  df-oml 36756  df-covers 36843  df-ats 36844  df-atl 36875  df-cvlat 36899  df-hlat 36928  df-llines 37075  df-lplanes 37076  df-lvols 37077  df-lines 37078  df-psubsp 37080  df-pmap 37081  df-padd 37373  df-lhyp 37565  df-laut 37566  df-ldil 37681  df-ltrn 37682  df-trl 37736  df-tendo 38332  df-edring 38334  df-disoa 38606  df-dvech 38656  df-dib 38716  df-dic 38750  df-dih 38806

This theorem is referenced by:  dihoml4c  38953