Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihmeet2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihmeet2 39859
Description: Reverse isomorphism H of a closed subspace intersection. (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeet2.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dihmeet2.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihmeet2.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihmeet2.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dihmeet2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihmeet2.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ran 𝐼)
Assertion
Ref Expression
dihmeet2 (πœ‘ β†’ (β—‘πΌβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = ((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ)))

Proof of Theorem dihmeet2
StepHypRef Expression
1 dihmeet2.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 dihmeet2.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ran 𝐼)
3 dihmeet2.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 dihmeet2.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
53, 4dihcnvid2 39786 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
61, 2, 5syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
7 dihmeet2.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ran 𝐼)
83, 4dihcnvid2 39786 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
91, 7, 8syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
106, 9ineq12d 4177 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) ∩ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘Œ))) = (𝑋 ∩ π‘Œ))
11 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
1211, 3, 4dihcnvcl 39784 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
131, 2, 12syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1411, 3, 4dihcnvcl 39784 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
151, 7, 14syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
16 dihmeet2.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
1711, 16, 3, 4dihmeet 39856 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΌβ€˜((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ))) = ((πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) ∩ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘Œ))))
181, 13, 15, 17syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ))) = ((πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) ∩ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘Œ))))
193, 4dihmeetcl 39858 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ π‘Œ ∈ ran 𝐼)) β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∈ ran 𝐼)
201, 2, 7, 19syl12anc 836 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∈ ran 𝐼)
213, 4dihcnvid2 39786 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∈ ran 𝐼) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ))) = (𝑋 ∩ π‘Œ))
221, 20, 21syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ))) = (𝑋 ∩ π‘Œ))
2310, 18, 223eqtr4rd 2784 . 2 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ))) = (πΌβ€˜((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ))))
2411, 3, 4dihcnvcl 39784 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∩ π‘Œ) ∈ ran 𝐼) β†’ (β—‘πΌβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
251, 20, 24syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘πΌβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
261simpld 496 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
2726hllatd 37876 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2811, 16latmcl 18337 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2927, 13, 15, 28syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3011, 3, 4dih11 39778 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β—‘πΌβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ))) = (πΌβ€˜((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ))) ↔ (β—‘πΌβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = ((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ))))
311, 25, 29, 30syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ))) = (πΌβ€˜((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ))) ↔ (β—‘πΌβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = ((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ))))
3223, 31mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ (β—‘πΌβ€˜(𝑋 ∩ π‘Œ)) = ((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3913  β—‘ccnv 5636  ran crn 5638  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  meetcmee 18209  Latclat 18328  HLchlt 37862  LHypclh 38497  DIsoHcdih 39741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-undef 8208  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-0g 17331  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-cntz 19105  df-lsm 19426  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-lvec 20608  df-lsatoms 37488  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-tendo 39268  df-edring 39270  df-disoa 39542  df-dvech 39592  df-dib 39652  df-dic 39686  df-dih 39742
This theorem is referenced by:  dihoml4c  39889
  Copyright terms: Public domain W3C validator