Theorem dihmeet2 42405

Description: Reverse isomorphism H of a closed subspace intersection. (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihmeet2.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihmeet2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihmeet2.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihmeet2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihmeet2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihmeet2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dihmeet2	⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = ((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌)))

Proof of Theorem dihmeet2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihmeet2.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dihmeet2.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
3		dihmeet2.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dihmeet2.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
5	3, 4	dihcnvid2 42332	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
6	1, 2, 5	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
7		dihmeet2.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
8	3, 4	dihcnvid2 42332	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) = 𝑌)
9	1, 7, 8	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) = 𝑌)
10	6, 9	ineq12d 4167	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ∩ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌))) = (𝑋 ∩ 𝑌))
11		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12	11, 3, 4	dihcnvcl 42330	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
13	1, 2, 12	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
14	11, 3, 4	dihcnvcl 42330	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
15	1, 7, 14	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
16		dihmeet2.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
17	11, 16, 3, 4	dihmeet 42402	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))) = ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ∩ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌))))
18	1, 13, 15, 17	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))) = ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ∩ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌))))
19	3, 4	dihmeetcl 42404	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ ran 𝐼)
20	1, 2, 7, 19	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ ran 𝐼)
21	3, 4	dihcnvid2 42332	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌))) = (𝑋 ∩ 𝑌))
22	1, 20, 21	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌))) = (𝑋 ∩ 𝑌))
23	10, 18, 22	3eqtr4rd 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌))) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))))
24	11, 3, 4	dihcnvcl 42330	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
25	1, 20, 24	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
26	1	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
27	26	hllatd 40423	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
28	11, 16	latmcl 18615	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → ((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
29	27, 13, 15, 28	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
30	11, 3, 4	dih11 42324	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘(◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌))) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))) ↔ (◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = ((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))))
31	1, 25, 29, 30	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌))) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))) ↔ (◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = ((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))))
32	23, 31	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = ((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898  ^◡ccnv 5650  ran crn 5652  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17388  meetcmee 18487  Latclat 18606  HLchlt 40409  LHypclh 41043  DIsoHcdih 42287

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-riotaBAD 40012

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8244  df-undef 8291  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-map 8850  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-0g 17613  df-proset 18469  df-poset 18488  df-plt 18503  df-lub 18519  df-glb 18520  df-join 18521  df-meet 18522  df-p0 18598  df-p1 18599  df-lat 18607  df-clat 18674  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-submnd 18980  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-sbg 19150  df-subg 19334  df-cntz 19532  df-lsm 19851  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-oppr 20568  df-dvdsr 20588  df-unit 20589  df-invr 20619  df-dvr 20632  df-drng 20983  df-lmod 21138  df-lss 21208  df-lsp 21248  df-lvec 21379  df-lsatoms 40035  df-oposet 40235  df-ol 40237  df-oml 40238  df-covers 40325  df-ats 40326  df-atl 40357  df-cvlat 40381  df-hlat 40410  df-llines 40557  df-lplanes 40558  df-lvols 40559  df-lines 40560  df-psubsp 40562  df-pmap 40563  df-padd 40855  df-lhyp 41047  df-laut 41048  df-ldil 41163  df-ltrn 41164  df-trl 41218  df-tendo 41814  df-edring 41816  df-disoa 42088  df-dvech 42138  df-dib 42198  df-dic 42232  df-dih 42288

This theorem is used by:  dihoml4c  42435