Theorem dihmeet2 42220

Description: Reverse isomorphism H of a closed subspace intersection. (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihmeet2.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihmeet2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihmeet2.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihmeet2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihmeet2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
dihmeet2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dihmeet2	⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = ((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌)))

Proof of Theorem dihmeet2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihmeet2.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dihmeet2.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ran 𝐼)
3		dihmeet2.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dihmeet2.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
5	3, 4	dihcnvid2 42147	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
6	1, 2, 5	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
7		dihmeet2.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
8	3, 4	dihcnvid2 42147	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) = 𝑌)
9	1, 7, 8	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌)) = 𝑌)
10	6, 9	ineq12d 4167	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ∩ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌))) = (𝑋 ∩ 𝑌))
11		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
12	11, 3, 4	dihcnvcl 42145	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
13	1, 2, 12	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
14	11, 3, 4	dihcnvcl 42145	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
15	1, 7, 14	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
16		dihmeet2.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
17	11, 16, 3, 4	dihmeet 42217	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))) = ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ∩ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌))))
18	1, 13, 15, 17	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))) = ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ∩ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑌))))
19	3, 4	dihmeetcl 42219	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼)) → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ ran 𝐼)
20	1, 2, 7, 19	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ ran 𝐼)
21	3, 4	dihcnvid2 42147	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌))) = (𝑋 ∩ 𝑌))
22	1, 20, 21	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌))) = (𝑋 ∩ 𝑌))
23	10, 18, 22	3eqtr4rd 2806	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌))) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))))
24	11, 3, 4	dihcnvcl 42145	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
25	1, 20, 24	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
26	1	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
27	26	hllatd 40238	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
28	11, 16	latmcl 18529	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) → ((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
29	27, 13, 15, 28	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾))
30	11, 3, 4	dih11 42139	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘(◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌))) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))) ↔ (◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = ((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))))
31	1, 25, 29, 30	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘(◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌))) = (𝐼‘((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))) ↔ (◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = ((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌))))
32	23, 31	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐼‘(𝑋 ∩ 𝑌)) = ((◡𝐼‘𝑋) ∧ (◡𝐼‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898  ^◡ccnv 5654  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302  meetcmee 18401  Latclat 18520  HLchlt 40224  LHypclh 40858  DIsoHcdih 42102

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-riotaBAD 39827

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-0g 17527  df-proset 18383  df-poset 18402  df-plt 18417  df-lub 18433  df-glb 18434  df-join 18435  df-meet 18436  df-p0 18512  df-p1 18513  df-lat 18521  df-clat 18588  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-subg 19247  df-cntz 19445  df-lsm 19764  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-dvr 20543  df-drng 20893  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-lvec 21288  df-lsatoms 39850  df-oposet 40050  df-ol 40052  df-oml 40053  df-covers 40140  df-ats 40141  df-atl 40172  df-cvlat 40196  df-hlat 40225  df-llines 40372  df-lplanes 40373  df-lvols 40374  df-lines 40375  df-psubsp 40377  df-pmap 40378  df-padd 40670  df-lhyp 40862  df-laut 40863  df-ldil 40978  df-ltrn 40979  df-trl 41033  df-tendo 41629  df-edring 41631  df-disoa 41903  df-dvech 41953  df-dib 42013  df-dic 42047  df-dih 42103

This theorem is used by:  dihoml4c  42250