Theorem dihmeet 41330

Description: Isomorphism H of a lattice meet. (Contributed by NM, 13-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihmeet.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihmeet.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dihmeet.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihmeet.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihmeet	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)))

Proof of Theorem dihmeet

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
2		dihmeet.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
3		simp1l 1198	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
4		simp2 1137	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		simp3 1138	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	meetval 18330	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) = ((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}))
7	6	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = (𝐼‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})))
8		simp1 1136	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		prssi 4781	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵)
10	9	3adant1 1130	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵)
11		prnzg 4738	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
12	11	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)
13		dihmeet.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
14		dihmeet.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15		dihmeet.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
16	13, 1, 14, 15	dihglb 41328	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ({𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑋, 𝑌} ≠ ∅)) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼‘𝑥))
17	8, 10, 12, 16	syl12anc 836	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼‘((glb‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌})) = ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼‘𝑥))
18		fveq2 6840	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑋))
19		fveq2 6840	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑌))
20	18, 19	iinxprg 5048	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼‘𝑥) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)))
21	20	3adant1 1130	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ∩ 𝑥 ∈ {𝑋, 𝑌} (𝐼‘𝑥) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)))
22	7, 17, 21	3eqtrd 2768	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝐼‘𝑋) ∩ (𝐼‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  {cpr 4587  ∩ ciin 4952  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  glbcglb 18251  meetcmee 18253  HLchlt 39336  LHypclh 39971  DIsoHcdih 41215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-riotaBAD 38939

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-undef 8229  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17380  df-proset 18235  df-poset 18254  df-plt 18269  df-lub 18285  df-glb 18286  df-join 18287  df-meet 18288  df-p0 18364  df-p1 18365  df-lat 18373  df-clat 18440  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-subg 19037  df-cntz 19231  df-lsm 19550  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-dvr 20321  df-drng 20651  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-lsp 20910  df-lvec 21042  df-lsatoms 38962  df-oposet 39162  df-ol 39164  df-oml 39165  df-covers 39252  df-ats 39253  df-atl 39284  df-cvlat 39308  df-hlat 39337  df-llines 39485  df-lplanes 39486  df-lvols 39487  df-lines 39488  df-psubsp 39490  df-pmap 39491  df-padd 39783  df-lhyp 39975  df-laut 39976  df-ldil 40091  df-ltrn 40092  df-trl 40146  df-tendo 40742  df-edring 40744  df-disoa 41016  df-dvech 41066  df-dib 41126  df-dic 41160  df-dih 41216

This theorem is referenced by:  dihmeetcl  41332  dihmeet2  41333  dochnoncon  41378  djhlj  41388